1、19A卷北京科技大學(xué)2014 2015 學(xué)年度第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題（每小題3 分，共 15 分）1. 從一副撲克牌四個(gè)花色的52 張牌中隨機(jī)抽取兩張牌，則取到的兩張恰是不同花色且最大點(diǎn)數(shù)為7 的概率是。a2. 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)是fX x 2 , x ，則 a。4 x223. 若 X N 1, 2 ，且 P 0 X 20.9544，則 P X 0。4. 設(shè)隨機(jī)變量X 滿足 DX 2.5，由切比雪夫不等式可以知道P X EX 7.5。5. 設(shè)隨機(jī)變量X ,Y 獨(dú)立同分布，概率密度函數(shù)是f t e t,t 0。 那么隨機(jī)變量Z X Y概率分布密24.452t

2、5. 2e 2t,t 0度函數(shù)fZ z填空題答案：1. 12. 23. 0.022817二選擇題（每小題3 分，共 15 分）1 對(duì)隨機(jī)事件A 和 B ，下述關(guān)系中正確的是A)A B B AC)A B B A8) A B B A BD) A B B AB2一種零件的加工需要先后完成兩道工序，第一道工序的廢品率是p 次，第二道工序的廢品率是q ，兩道工序相互獨(dú)立，則該零件加工的成品率是。（A）1pq（B）1 pq（C）1pqpq（D）1 p1 q3. 設(shè)F1x 和F2x 分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，令F xaF1xbF2x ，則下列各組a,b 的值中能使得F x 是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的是。

3、32B) a ,b5523D) a ,b3422A) a ,b3331C) a ,b22244. 設(shè)隨機(jī)變量X N , 2 ，則 E X。B)4D) 3A) 0C) 2 45. 設(shè) X1, X2, ,Xn 是來自總體X 的一個(gè)樣本，則DX2的無偏估計(jì)是1n2A) X i Xn 1i11 n12B) Xi Xn 1i11n2C) 1 X i Xni11n12D) 1 X i Xni1選擇題答案：1.B2.C3.B 4.D5.A三 （本題 8 分）有兩只編號(hào)的口袋，一號(hào)口袋中放有4 個(gè)黑球。任取一只口袋，再從中任取一個(gè)球，問：（ 1）取出的這個(gè)球是白球的概率是多少？（ 2）如果取出的是白球，分析它

4、來自哪只口袋的可能性大？2 個(gè)白球及5 個(gè)黑球，二號(hào)口袋中放有3 個(gè)白球及1）2）Ai 表示取出i（i 1,2） 號(hào)口袋，A表示最后取出的是白球（123PAPAA1 PA1PAA2 PA22 7 714P A A1 P A1P A1 A111 P A A1 P A1P A A2 P A212271 分） 。2 分） 。P A2 AP A A2 P A21227132713 5273 分）P A A1 P A1P A A2 P A21 2 1 327 2733 ( 1 分)5所以，60%來自二號(hào)口袋，40%來自一號(hào)口袋（1 分） 。四 （本題 12 分）運(yùn)動(dòng)員在一段時(shí)期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)呈正態(tài)分布。一個(gè)跳

5、遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員在一周的運(yùn)動(dòng)測試中取得如下成績（單位：米）1 .5 6.4 6.8 6.3 6.3 6.6 6.7 6.2 6.7。均值和方差分別記作和 2 。問題： （ 1） 求均值的置信區(qū)間，置信度為0.95； （ 2） 是否可以認(rèn)為這名運(yùn)動(dòng)員的平均成績達(dá)到0 6.1 ？顯著性水平0.05 ； （ 3）是否可以認(rèn)為這名運(yùn)動(dòng)員的平均成績6.1 ？顯著性水平0.05。0.05.t0.05 81.860；t0.05 91.833；t0.05 101.813；z0.0251.96； t0.025 82.306； t0.025 92.262； t0.025 102.228。解：構(gòu)造t 統(tǒng)計(jì)量 tS3t t

6、8 （ 2 分） 。簡單計(jì)算得到X 6.5， S2 0.045 。 （ 2分）1）置信度為0.95，則t0.025 82.306，置信區(qū)間為S t0.025 86.336,6.664 。 （ 2分）2）作雙邊檢驗(yàn)H0 :6.1,H1 :6.1 ， （ 1 分）拒絕域?yàn)閠XS3t0.025 82.306 ， （1分）本題t 5.66 2.306，因此不接受零假設(shè)H 0，不能認(rèn)為這名運(yùn)動(dòng)員的平均成績是0 6.1 （ 1 分） 。X分） 本 題3 ） 作單 邊檢驗(yàn)H0 :6.1,H1 :6.1 ， （1 分 ）拒 絕域?yàn)閠XSt0.05 81.860， （1t 5.66 1.860，因此拒絕原假設(shè)H

7、 0，認(rèn)為這名運(yùn)動(dòng)員的平均成績6.1 。 （ 1 分）五 （本題 10 分） 設(shè)隨機(jī)變量X N 0,22 。 問題： （ 1） 寫出 X 的概率密度函數(shù)；（ 2） 隨機(jī)變量Y X 2 2解： （ 1）隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為1x82fX x 2 2 e ，x （ 2 分）2）設(shè)隨機(jī)變量Y X 2 2的分布函數(shù)為FY y ，則有22FY y P Y y P X2 2 y P X2 y 2 。 （ 2分）所以，當(dāng)y 2時(shí)，F(xiàn)Y y 0； （ 1 分）當(dāng) y 2時(shí)，F(xiàn)Y y P X2 y 2 P y 2 X y 2122y 2 x2e 8 dxy2y 2 x2e 8 dx02y2 e8y2（ 3 分

8、） y2Y X 2 2 的密度函數(shù)為1y822 11fY yFY y 2 e 2 y 20六 （本題 10 分）甲、乙兩人投籃，甲、乙的命中率均為p, 0 p 1 。兩人依次投籃，甲先投，誰先投中誰獲勝。當(dāng)有一人獲勝時(shí)，兩人投籃的總次數(shù)是隨機(jī)變量，記為X 。 （ 1 ）求X 的分布律；（ 2）求X的數(shù)學(xué)期望；（ 3）求兩人獲勝的概率各是多少；（ 4）這個(gè)比賽可否是公平的？解： （ 1）隨機(jī)變量X 的取值是正整數(shù)，P X k p 1 p k 1 , k 1 （ 2 分） 。k1 1（ 2） P kP X k k p 1 p （ 2+2 分） 。k1k1p2k1（ 3）甲勝利的概率為P1P X 2

9、k 1 p 1 p 2k p 1 （ 2 分） ，乙勝利的概k 0k 02p p 2 p1 1p率為P2 1（ 1 分） 。2 2p2pX,Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為4）由于P2P1 ，所以這個(gè)比賽不可能是公平的（1 分） 。七 （本題 12 分）設(shè)二維隨機(jī)變量kxy 0 y x 1f x,y，0 其它其中 k 為常數(shù)。問題：（ 1）求常數(shù)k 的值； （ 2）求X 與 Y 的邊緣概率密度函數(shù)；（ 3）求條件概率密度函數(shù)； （ 4） X 與 Y 是否相互獨(dú)立？kk解： （ 1）由于kxydxdy （ 1 分） ，因此1 ，解出 k 8（ 1 分） 。0yx188x1（ 2） fX x 8xydy 4x

10、 ,0 x 1 （ 1 分） ， fY y 8xydx 4y 1 y ,0 y 1 （ 2 分） 。（ 3）當(dāng)0 y 1 時(shí)， fXY x y , y 8xyx 2 , y x 1 ， （ 2 分）XYfY y 4y 1 y21 y2當(dāng) 0 x 1 時(shí)，fYX y x x, y8xy3 22y ,0 y x（ 2 分）Y XfX x4x3x2（ 4）由于f x, y fX x fY y （ 1 分） ，因此不獨(dú)立（2 分） 。八 （本題 18 分）某個(gè)總體X 的分布密度是f x e x ,x ，其中0是未知參數(shù)。為確定參數(shù)的取值，從總體中抽取一個(gè)容量為6 的樣本：1,4,3,2,3,5 . 問

11、題： （ 1）求總體的數(shù)學(xué)期望和方差；（ 2）求總體參數(shù)的矩估計(jì)量和矩估計(jì)值；（ 3）求總體參數(shù)的極大似然估計(jì)量和極大似然估計(jì)值；（ 4）可否利用總體二階矩估計(jì)未知參數(shù)的值？如果不可以，請(qǐng)說明理由；如果可以，請(qǐng)給出這個(gè)估計(jì)量和估計(jì)值。解答： （ 1）由數(shù)學(xué)期望的定義得到EX x e x dx 1。 （ 1 分）由方差的定義得到DX x 12 e x dx 1 。 （ 2 分）（ 2）由于樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)（1 分） ，因此令1 X （ 1 分） ，可以解得參數(shù)a 0 的矩估計(jì)量為 X 1 （ 1 分） ，矩估計(jì)值為3（ 1 分） 。666 xi（ 3）構(gòu)造似然函數(shù)L e xie 若P

12、 AB 0 ，則。 1 （ 1 分） ，由于xi（ 1 分） ，因此min xi （ 1 分） ，也就是說i1的極大似然估計(jì)量為min X i （ 1 分） ， 的極大似然估計(jì)值為1 （ 1 分） 。1i6（ 4）可以（1 分） 。由于 EX2 DX EX 2 112（ 1 分） ，令總體二階矩等于樣本二階矩2（ 1 分） ，那么 1 122 ，從中可以解出的矩估計(jì)量為2 1 11X i2 1 1 （ 1 分） 。由于樣本二階矩 2 12 42 32 22 32 52 32（ 1 分） ，所以矩估計(jì)值29 1 （ 1 分） 。633B卷北京科技大學(xué)2014 2015 學(xué)年度第一學(xué)期概率論與數(shù)理

13、統(tǒng)計(jì)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題答案：1. 0.02282.213.1724.455.2e2t,t 01.B2.D3.B 4.C5.AC卷北京科技大學(xué)2014 2015 學(xué)年度第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題(本題共15 分，每小題3 分)11 設(shè)事件A, B 相互獨(dú)立，且P AB P AB ，則 P A。2設(shè)z 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)，如果z 0.95，那么z1。0 x 1,0 y x,，那么 X 的邊其它3 10 個(gè)人隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，其中甲和乙兩個(gè)人坐在一起的概率是4設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y 的聯(lián)合概率密度是f x, y 3x緣密度是。5設(shè)nA是 n 次試驗(yàn)中事件A發(fā)生

14、的次數(shù)，p 0.7 是事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的0， lim P nApnn填空題答案：fX xx2 ,0 x 1 5.11 12.0.95 3.24.29二、選擇題(本題共15 分，每小題3 分)A) P A B P A P B ；B) P A 0 或者 P B 0 ；C) A, B 是互不相容的事件；D) A, B 是對(duì)立的事件。2. 設(shè)樣本X1, X2, ,Xn 來自總體X ，且 EX ,DX 2，其中與 2均未知，則下列結(jié)論正確的3將一枚骰子投擲1n2A)Xi X 是 2的無偏估計(jì)；ni11n22C) Xi X 是 2的無偏估計(jì)；n 1i1n 次， X 表示出現(xiàn)三點(diǎn)或

15、四點(diǎn)的次數(shù)的總和，B)1n1 X i 是 的無偏估計(jì)； n 1i11nD) 1 X i X 是 的無偏估計(jì)。ni1Y 表示出現(xiàn)一、二、五、六點(diǎn)的次數(shù)的總和，那么X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)是。（ A）1（ B） 0（ C）0.5（ D） 14設(shè)隨機(jī)變量, 相互獨(dú)立，又X 25,Y 38 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A） D X Y 4D 9D ；B） D X Y 4D 9D ；C）rXY0 ；D） E XY E X E Y 。5檢驗(yàn)正態(tài)總體均值時(shí)，在 H0 :0, H1 :0，下列結(jié)論中是正確的（2已A）拒絕域Z z知，顯著水平，其中 Z（ C）拒絕域Z z選擇題答案：1 A 2.C 3.A 4.B 5.D

16、B）拒絕域Z z 2D）拒絕域Z z三、 （本題 8 分）有兩個(gè)罐子，第一個(gè)罐子中放有2 個(gè)白球及5 個(gè)黑球，第二個(gè)罐子中放有3 個(gè)白球及4 個(gè)黑球。任取一個(gè)罐子，再從中任取一個(gè)球，問：（ 1）取出的這個(gè)球是白球的概率是多少？（ 2）如果取出的是白球，問它來自哪只罐子？Ai 表示取出第i（i 1,2） 個(gè)罐子，A表示最后取出的是白球（1 分） 。1）123P A P AA1PA1P AA2PA2122773142 分） 。2）P A1 AP A A1 P A11227P A A1 P A1P A A2 P A21 2 1 322 （ 3 分）5P A A2 P A2P A2 A222 P A

17、A1 P A1P A A2 P A212所以，60%來自第二個(gè)罐子，40%來自第一個(gè)罐子（12713272172分） 。33 （ 1 分）5（本題 10 分）0設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)是F x A Bxx00 x 2，問：x21） A, B 各是多少？（ 2）X 的概率密度函數(shù)是什么？（ 3）求出隨機(jī)變量Y sin X 1 的概率密度函數(shù)。A01【解】（ 1）由于 lim F x 1, lim F x 0 （ 2 分） ，所以，解出得到A 0, Bx 2 0x 0 0A 2B 12（ 1 分） 。x1（ 2）在0 x 2時(shí)， F x x ，所以概率密度函數(shù)f x F x （ 1 分） 。

18、在 x 0 和 x 2 時(shí)， f x F x 0 （ 1 分） 。（ 3）當(dāng)y 1 或者 y 1 時(shí)，fY y 0 （ 1 分） 。1 y 1 時(shí)，F(xiàn) y P Y y P sin2X1 y P2X1arcsin y21111P X arcsin y 1 arcsin y （ 3 分） ，于是，f y F y（ 1 分） 。21y25、 （本題 10 分）將兩枚骰子拋擲n 次，令 X 表示點(diǎn)對(duì)（1,1 ） 、 （ 2,2 ） 、 （ 3,3） 、 （ 4,4） 、 （ 5,5） 、 （ 6,6）出現(xiàn)的總次數(shù)。求：（ 1） X 的分布律；（ 2） E X 2 ；3）點(diǎn)對(duì)（1,1 ） 、 （ 2,2

19、 ） 、 （ 3,3 ） 、 （ 4,4 ） 、 （ 5,5 ） 、 （ 6,6 ）至少出現(xiàn)一次的概率。P X 11 ,P X 05 （ 1 分） 。P X kCnk 1566nk，661 ）顯然這是一個(gè)n 重貝努利試驗(yàn)，X 服從二項(xiàng)分布，其分布律是k 0,1,2, ,n （ 2分） 。2）X 服從二項(xiàng)分布B n, 1 ， 因此，6nEX ,DX65n（ 2 分） ， 于是3622 nn 5EX 2 DX EX363 分） 。X3 和 X4 服從同一個(gè)指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為2 分） 。5n3 ） P X 11 P X 01566、 （本題 16 分）設(shè)隨機(jī)變量X1 和 X2 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

20、分布，f3 xex,x0。 如果X1,X2, X3, X4是相互獨(dú)立的，且記隨機(jī)變量Y13X14X2，Y24X13X2 。1）隨機(jī)變量Y1 服從什么分布？其概率密度函數(shù)是什么？數(shù)學(xué)期望和方差各是多少？2）隨機(jī)變量Y1 和 Y2 的協(xié)方差是多少？Y1 和 Y2 是否相互獨(dú)立？3）隨機(jī)變量X1 X3的數(shù)學(xué)期望與方差分別是多少？4）X3X4 的概率密度函數(shù)是什么？x2（ 1） Y1 服從正態(tài)分布（ 1 分） ， EY1 0, DY1 25（ 2 分） ， fY152e 50 ，x （ 1 分） 。2） covY1,Y2EY1EY1Y2EY2EY1Y2EY1EY2（1分） ，而22EY1Y2 E 12X12 7X1X2 12X220 ，因此得到協(xié)方差是0（ 2 分） 。于是，Y1,Y2相互獨(dú)立（1 分） 。3） EX3xe xdx 1 ， EX32x2e xdx 2，所以，DX3 1（ 1 分） 。于是，E X1X3 EX1EX31 （ 1 分） ， D X1X3DX1DX31 12（2分） 。（ 4）記Y X3 X4， Y的分布函數(shù)為F y ，顯然當(dāng)y 0時(shí)， F y 0（ 1 分） 。當(dāng) y 0時(shí)，F(xiàn) y P Y y