1、 向量間的乘積向量間的乘積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積三、向量的混合積四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題 cos|sFW 向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實例實例1. 定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.)0( 2. 數(shù)量積的運算法則：數(shù)量積的運算法則：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)：

2、 ).()()(baba 關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：.|)1(2aaa 證證, 0 .|cos|2aaaaa 0)2( ba.ba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達式數(shù)量積的坐標(biāo)表達式3. 數(shù)量積的坐標(biāo)運算數(shù)量積的坐標(biāo)運算 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxb

3、ababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(解解; 1100111 AMB cosAMBBAM 求求和和、已知三點已知三點例例),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 3.,的夾角的夾角與與就是向量就是向量作向量作向量 MBMAAMBMBMA1 , 0 ,

4、 1,0 , 1 , 1 MBMA MBMA2,2 MBMA MBMAMBMA21221 3 AMB例例4 4 試用向量證明三角形的余弦定理試用向量證明三角形的余弦定理.ABCab c BCAABC中，中，設(shè)在設(shè)在要證明要證明,cABbCAaBC cos2222abbac baccABbCAaCB 則有則有記記,)()(2babaccc babbaa 2 cos222baba cos2222abbac |FOQM sin|FOP 實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO sin|bac 1. 定義定義關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(

5、/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.abbac 2. 向量積的運算法則：向量積的運算法則：（1 1）反反交換律：交換律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 （3 3）結(jié)合律：）結(jié)合律：,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kb

6、abajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達式向量積的坐標(biāo)表達式3. 向量積的坐標(biāo)運算向量積的坐標(biāo)運算為了幫助記憶，為了幫助記憶，向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxzyxzyxbbbaaakjibbbaaaba ,ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( zzyxbaaa 000, 0 yxaa說明說明xb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零，例如，例如，abba

7、c 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjb

8、ibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達式混合積的坐標(biāo)表達式三、向量的混合積三、向量的混合積 向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義：acbba hSVAOBD OABDbaOBOASAOBD cosch .的夾角的夾角與與是是bac cos cba)(cbacba 混合積的幾個結(jié)論混合積的幾個結(jié)論：)2(cbacba )(. 0 cba利用混合積的幾何意義可證明利用混合積的幾何意義可證明利用行列式的性質(zhì)可證明利用行列式的性質(zhì)可證明acb )(bac )( 已知已知2 cba， 計算計算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba

9、ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例8解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個向量）四、小結(jié)四、小結(jié) cos|baba sin|baba .,zyxzyxzyxzyxbbbaaakjibbbaaaba bac 向量的混合積向量的混合積cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa （結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）. 0 cba 向量混合積的幾何意義向量混合積的幾何意義思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(