1、2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標準方程基礎過關練題組一雙曲線的定義及應用1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.射線D.雙曲線2.已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點A,B在雙曲線的右支上,線段AB經過雙曲線的右焦點F2,|AB|=m,F1為雙曲線的左焦點,則ABF1的周長為()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m3.已知定點A(1,4),F是雙曲線x24-y212=1的左焦點,P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為()A.6B.8C.9D.124.設F1,F2是

2、雙曲線x2-y224=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則PF1F2的面積等于. 題組二雙曲線的標準方程5.若方程x2k+3+y2k+2=1,kR表示焦點在x軸上的雙曲線,則k的取值范圍是()A.-3<k<-2 B.k<-3C.k<-3或k>-2D.k>-26.若ax2+by2=b(ab<0),則這個曲線是()A.雙曲線,焦點在x軸上B.雙曲線,焦點在y軸上C.橢圓,焦點在x軸上 D.橢圓,焦點在y軸上7.已知雙曲線的中心在坐標原點,兩個焦點F1,F2的坐標分別為(5,0)和(-5,0),點P在雙曲線上,且PF1

3、PF2,PF1F2的面積為1,則雙曲線的標準方程為()A.x22-y23=1B.x23-y22=1C.x24-y2=1D.x2-y24=18.已知雙曲線的中心在坐標原點,且一個焦點為F1(-5,0),點P位于該雙曲線上,線段PF1中點的坐標為(0,2),則該雙曲線的標準方程是()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.x22-y23=1D.x23-y22=19.以橢圓x28+y25=1長軸的兩端點為焦點,且經過點(3,10)的雙曲線的標準方程為. 10.如圖所示,已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A,B為左、右焦點,且雙曲線過C,D兩頂點.若AB=4,BC=3,則此雙曲線的標準方程

4、為. 11.已知焦點在x軸上的雙曲線過點P(42,-3),且點Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,求此雙曲線的標準方程.題組三與雙曲線有關的軌跡問題12.已知平面內兩定點A(-5,0),B(5,0),動點M滿足|MA|-|MB|=6,則點M的軌跡方程是()A.x216-y29=1 B.x216-y29=1(x4)C.x29-y216=1 D.x29-y216=1(x3)13.已知定圓F1:x2+y2+10x+24=0,定圓F2:x2+y2-10x+9=0,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.能力提升練一、選擇題1.(河北石家莊二中高二月考,)已知雙曲線x2a-3+y

5、22-a=1的焦點在x軸上,若焦距為4,則a=()A.212B.7C.92 D.122.(廣西梧州高二期末,)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|=()A.2B.4C.6D.83.(2018四川綿陽培城模擬,)如圖,F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1(-7,0)的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若ABF2為等邊三角形,則雙曲線的方程為()A.5x27-5y228=1B.x26-y2=1C.x2-y26=1 D.5x228-5y27

6、=14.(2018四川成都診斷,)已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x+5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x-5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12二、填空題5.(安徽阜陽三中高二月考,)已知點F1,F2分別是雙曲線x2a2-y29=1(a>0)的左、右焦點,P是該雙曲線上的一點,且|PF1|=2|PF2|=16,則PF1F2的周長是. 6.()已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲線為C.給出以下四個結論:當1<t<4時,曲線C為橢圓;當t>4或t<1時,曲線C為雙曲線;若

7、曲線C為焦點在x軸上的橢圓,則1<t<52;若曲線C為焦點在y軸上的雙曲線,則t>4.其中正確的是(只填正確結論的序號). 三、解答題7.()已知雙曲線x24-y29=1,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.(1)若F1MF2=90°,求F1MF2的面積;(2)若F1MF2=120°,F1MF2的面積是多少?若F1MF2=60°,F1MF2的面積又是多少?(3)觀察以上計算結果,你能看出隨F1MF2的變化,F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論.8.(天津一中高二期末,)已知點M(-2,0),N(2,0)是平面上的兩點,動點P

8、滿足|PM|+|PN|=6.(1)求點P的軌跡方程;(2)若(1-cosMPN)|PM|·|PN|=2,求點P的坐標.9.()A,B,C是我方三個炮兵陣地,A在B正東6 km處,C在B北偏西30°方向,與B相距4 km,P為敵炮兵陣地,某時刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮兵陣地發(fā)出的某種信號,由于B,C兩地比A距P地遠,因此4 s后,B,C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號,已知此信號的傳播速度為1 km/s,A若炮擊P地,求炮擊的方向角.答案全解全析基礎過關練1.D因為|PM|-|PN|=3<|MN|=4,所以由雙曲線的定義可知,點P的軌跡是雙曲線.2.B由題意知|AF1|-|AF2|=2a,|BF

9、1|-|BF2|=2a,即|AF1|=2a+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|, 又|AF2|+|BF2|=|AB|=m,所以ABF1的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m.3.C由雙曲線的方程可知a=2,設其右焦點為F1,則F1(4,0).|PF|-|PF1|=2a=4,即|PF|=|PF1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF1|+|PA|+4|AF1|+4,當且僅當A,P,F1三點共線時取等號,此時|AF1|=(4-1)2+42=25=5,所以|PF|+|PA|AF1|+4=9,即|PF|+|PA|的最小值為9.4.答案24解析由題意得a=1,2a=2,焦距

10、|F1F2|=2×1+24=10.3|PF1|=4|PF2|,|PF1|=43|PF2|,|PF1|-|PF2|=43|PF2|-|PF2|=13|PF2|=2,|PF2|=6,|PF1|=8,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,PF1PF2,SPF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×6×8=24.5.A由題意知k+3>0,k+2<0,解得-3<k<-2.6.B原方程可化為x2ba+y2=1,因為ab<0,所以ba<0,所以方程表示的曲線是雙曲線,且焦點在y軸上.7.C由題意得,|PF1|·|P

11、F2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2,(|PF1|-|PF2|)2=16,即(2a)2=16,則2a=4,解得a=2,又c=5,b=1,雙曲線的標準方程為x24-y2=1.故選C.8.B由雙曲線的一個焦點為F1(-5,0)知c=5,因為線段PF1中點的坐標為(0,2),所以P(5,4),設雙曲線的右焦點為F2,則有PF2x軸,且PF2=4,又點P在雙曲線右支上,所以PF1=(25)2+42=36=6,所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以雙曲線的標準方程為x2-y24=1.9.答案x23-y25=1解析由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且半焦距

12、為22.設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1,解得a2=3,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為x23-y25=1.10.答案x2-y23=1解析設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由題意得B(2,0),C(2,3),a2+b2=4,4a2-9b2=1,解得a2=1,b2=3,雙曲線的標準方程為x2-y23=1.11.解析因為雙曲線的焦點在x軸上,所以設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),焦點F1(-c,0),F2(c,0).因為雙曲線過點

13、P(42,-3),所以32a2-9b2=1.因為點Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,所以QF1·QF2=0,即-c2+25=0,解得c2=25.又c2=a2+b2,所以由解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求雙曲線的標準方程是x216-y29=1.12.D由題意知,點M的軌跡是以A(-5,0),B(5,0)為焦點的雙曲線的右支.易得c=5,a=3,b2=16,點M的軌跡方程為x29-y216=1(x3).13.解析由題意得,圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1.圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.|F

14、1F2|=10.設動圓M的半徑為R,則|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|.點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線的左支,且a=32,c=5,b2=c2-a2=914.動圓圓心M的軌跡方程為4x29-4y291=1x-32.能力提升練一、選擇題1.C雙曲線x2a-3+y22-a=1的焦點在x軸上,焦距為4,2-a<0,a-3>0,a-3-2+a=2,解得a=92.2.B由雙曲線方程得a=1,b=1,c=2,|F1F2|=22,在F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|·cosF1PF2

15、,即8=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,即8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a=2,8=22+|PF1|·|PF2|,|PF1|·|PF2|=4.3.C根據雙曲線的定義,有|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于ABF2為等邊三角形,則|AF2|=|AB|=|BF2|,+,得|BF1|-|AF1|=4a,則|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,又F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a

16、5;4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,則b2=c2-a2=6,所以雙曲線的方程為x2-y26=1.4.C不妨設C1:x216-y29=1的兩個焦點分別是F1(-5,0)與F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而這兩點正好是兩圓(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圓心,兩圓(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半徑分別是r2=1,r3=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值為(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.故選C.二、填空題5.答案

17、34解析|PF1|=2|PF2|=16,|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,a=4.又b2=9,c2=25,2c=10.PF1F2的周長為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.答案解析錯誤,當t=52時,曲線C為圓;正確,若曲線C為雙曲線,則(4-t)(t-1)<0,t<1或t>4;正確,若曲線C為焦點在x軸上的橢圓,則4-t>t-1>0,1<t<52;正確,若曲線C為焦點在y軸上的雙曲線,則4-t<0,t-1>0,t>4.三、解答題7.解析設|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨設

18、r1>r2),=F1MF2,因為SF1MF2=12r1r2sin ,已知,所以只要求r1r2即可,因此考慮到用雙曲線的定義及余弦定理的知識,求出r1r2.(1)當=90°時,SF1MF2=12r1r2sin =12r1r2.由雙曲線方程知a=2,b=3,c=13,由雙曲線的定義,得|r1-r2|=2a=4,兩邊平方,得r12+r22-2r1r2=16,又r12+r22=|F1F2|2,所以|F1F2|2-4SF1MF2=16,即52-16=4SF1MF2,解得SF1MF2=9.(2)若F1MF2=120°,在MF1F2中,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2co

19、s 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,所以SF1MF2=12r1r2sin 120°=33.同理,若F1MF2=60°,則SF1MF2=93.(3)由以上結果可見,隨著F1MF2的增大,F1MF2的面積將減小.證明如下:由雙曲線的定義及余弦定理,得(r1-r2)2=4a2,r12+r22-2r1r2cos=4c2.-,得r1r2=4c2-4a22(1-cos),所以SF1MF2=12r1r2sin =(c2-a2)sin1-cos=b2cot 2.因為0<<,所以0<2<2,在0,2內,y=cot 2是減函數(shù).因此當增大時,SF1MF2=b2cot 2減小.8.解析(1)設動點P的坐標為(x,y).點M(-2,0),N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足|PM|+|PN|=6>|MN|,點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,設其方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),且a=3,c=2,b2=9-4=5.點P的軌跡方程為x29+y25=1.(2)在MPN中,co