1、概率統(tǒng)計(jì)模型概率統(tǒng)計(jì)模型 現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的?，F(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對研究對象的影響必須那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對研究對象的影響必須考慮，可用考慮，可用描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型型-概率模型。概率模型。 如果由于客

2、觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的模型，那無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，這就，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機(jī)模型是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機(jī)模型統(tǒng)計(jì)回歸模型。統(tǒng)計(jì)回歸模型。是指在作出決策時(shí)，往往有某些隨機(jī)性的因素是指在作出決策時(shí)，往往有某些隨機(jī)性的因素影響，而決策者對于這些因素的了解不足，但是對各種因素影響，而決策者對于這些因素的了解不足，但是對各種因素發(fā)生的概率已知或者可估算出來，因

3、此這種決策因存在一定發(fā)生的概率已知或者可估算出來，因此這種決策因存在一定的風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn). .：參謀人員為決策者提供的各種可行計(jì)劃和謀：參謀人員為決策者提供的各種可行計(jì)劃和謀略略. . ：進(jìn)行決策的個(gè)人、委員會(huì)或某個(gè)組織：進(jìn)行決策的個(gè)人、委員會(huì)或某個(gè)組織. .在問題比較在問題比較重大和嚴(yán)肅時(shí)，通常應(yīng)以后者形式出現(xiàn)重大和嚴(yán)肅時(shí)，通常應(yīng)以后者形式出現(xiàn). .：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn)：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn). .作為風(fēng)險(xiǎn)型決策，采用作為風(fēng)險(xiǎn)型決策，采用的比較多的準(zhǔn)則是期望效益值準(zhǔn)則，也即根據(jù)每個(gè)方案的數(shù)的比較多的準(zhǔn)則是期望效益值準(zhǔn)則，也即根據(jù)每個(gè)方案的數(shù)學(xué)期望值作出判斷學(xué)期望值作出判斷. .：不為決策

4、者可控制的客觀存在的且將發(fā)生的：不為決策者可控制的客觀存在的且將發(fā)生的自然狀態(tài)稱為狀態(tài)自然狀態(tài)稱為狀態(tài)( (事件事件) )，如下小雨，下大雨和下暴雨即為，如下小雨，下大雨和下暴雨即為三個(gè)事件或稱三種狀態(tài)，均為人所不可控因素三個(gè)事件或稱三種狀態(tài)，均為人所不可控因素. .：某事件：某事件( (狀態(tài)狀態(tài)) )發(fā)生帶來的收益或損失值發(fā)生帶來的收益或損失值. .上例的決策樹如圖所示，其中：上例的決策樹如圖所示，其中： 表示表示，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù)，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù) 表示表示，從它引出的分支叫概率分支，每條概率分支代表一，從它引出的分支叫概率分支，每條概率

5、分支代表一種自然狀態(tài)，并標(biāo)種自然狀態(tài)，并標(biāo) 有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。 稱為稱為，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。X5000-2000P0.60.4X5000-2000P0.60.4【例【例3 3】 銷路好銷路好 0.70.7銷路差銷路差 0.30.3建大廠建大廠100-20建小廠建小廠 4010狀態(tài)及概率狀態(tài)及概率 益損值益損值方案方案n圖41 決策樹 注意：決策問題的目標(biāo)如果是效益（如利潤、投資、回報(bào)等）應(yīng)取期望值的最大值，如果決策目標(biāo)是費(fèi)用的支出或損失，則應(yīng)取期望值的最小值。（2）多級決策問題下面以投資決策問題為

6、例，說明決策方法。（a）畫決策樹（圖42） （b）計(jì)算各點(diǎn)的益損期望值：點(diǎn)2：0.7100+0.3(-20)10(年)-300（大廠投資）=340萬元點(diǎn)3：0.740+0.31010(年)-160（小廠投資）=150萬元由此可見，建大廠的方案是合理的。n現(xiàn)在考慮一種情況：假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期n考慮。根據(jù)市場預(yù)測，前三年銷路好的概率為n0.7，而如果前三年銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠那個(gè)方案好？（a）畫出決策樹如下（圖43）圖43 決策樹n（b）計(jì)算各點(diǎn)的益損期望值點(diǎn)4：0.9100+0.1(20)

7、7(年)=616萬元點(diǎn)5：1.0(20)7(年)= 140萬元點(diǎn)2：0.71003(年)+0.7616+0.3(20)3(年)+0.3(140) 300(大廠投資)=281.2點(diǎn)6：0.940+0.1107(年)=259點(diǎn)7：1.0107(年)=70點(diǎn)3：0.7403(年)+0.7259+0.3103(年)+0.370160(小廠投資)=135.3通過比較，建大廠仍然是合理方案?！纠纠? 3】 某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在3030天內(nèi)按期完成工天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，1515天后肯定變壞，有天后肯定

8、變壞，有40%40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會(huì)影響的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度工程進(jìn)度; ;有有50%50%的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲1515天天; ;另有另有10%10%的可能遇到大風(fēng)暴而的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲使工期推遲2020天。對于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：天。對于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1 1）提前加班，確保工程在）提前加班，確保工程在1515天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付18 00018 000元。元。（2 2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到）先維持原定的施工進(jìn)度，等到1515天后

9、根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策：天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策： a a）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。 b b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工程延期損失費(fèi)程延期損失費(fèi)20 00020 000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有50%50%的可能減少誤工期的可能減少誤工期1 1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24 00024 000元元;

10、 ; 的可能減少誤工期的可能減少誤工期2 2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18 00018 000元元; ;有有20%20%的可能減少誤工期的可能減少誤工期3 3天支付延期天支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用12 00012 000元。元。3 3）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期損失費(fèi)損失費(fèi) 50 00050 000元元; ;二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有70%70%的可能的可能減少誤工期減少

11、誤工期 2 2天，支付天，支付 延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用54 00054 000元元; ;有有20%20%可能減小誤工期可能減小誤工期3 3天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用46 00046 000元元; ;有有10%10%的可能減少誤工期的可能減少誤工期4 4天，支付延期天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用38 00038 000元。元。 試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。 A正常速度 風(fēng)暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 減少誤工3天(0

12、.2) 減少誤工4天(0.1)減少誤工2天 (0.7) 減少誤工1天 (0.5)減少誤工2天 (0.3) 減少誤工3天(0.2) 陰雨0.40.5 0.1 - 提前加班 應(yīng)急正常施工 正常施工 應(yīng)急 臺風(fēng) A正常速度 風(fēng)暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 陰雨 0.40.5 0.1 提前加班 應(yīng)急正常施工 正常施工 應(yīng)急 臺風(fēng) A正常速度 風(fēng)暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800

13、050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 陰雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 應(yīng)急正常施工 正常施工 應(yīng)急 臺風(fēng) A正常速度 風(fēng)暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0.7) (0.5) (0.3) (0.2) 陰雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 應(yīng)急正常施工 正常施工 應(yīng)急 臺風(fēng) A正常速度 風(fēng)暴CE018000 1200018000 24000 20000 BDF54000 46000 3800050000 (0.2)(0.1) (0

14、.7) (0.5) (0.3) (0.2) 陰雨 0.40.5 0.1 - 提前加班 應(yīng)急正常施工 正常施工 應(yīng)急 臺風(fēng) 【討論題】天龍服裝廠設(shè)計(jì)了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如【討論題】天龍服裝廠設(shè)計(jì)了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如果直接大批量生產(chǎn)與銷售，主觀估計(jì)成功與失敗的概率各為果直接大批量生產(chǎn)與銷售，主觀估計(jì)成功與失敗的概率各為0.50.5其分別的獲利為其分別的獲利為12001200萬元與萬元與-500-500萬元，如取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃，萬元，如取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃，則損失設(shè)計(jì)與準(zhǔn)備費(fèi)用則損失設(shè)計(jì)與準(zhǔn)備費(fèi)用4040萬元。為穩(wěn)妥起見，可先小批量生產(chǎn)試萬元。為穩(wěn)妥起見，可先小批量生產(chǎn)試銷，試銷的投入

15、需銷，試銷的投入需4545萬元。據(jù)歷史資料與專家估計(jì)，試銷成功與萬元。據(jù)歷史資料與專家估計(jì)，試銷成功與失敗的概率分別為失敗的概率分別為0.60.6與與0.40.4，又據(jù)過去情況，大批生產(chǎn)銷售為成，又據(jù)過去情況，大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占功的例子中，試銷成功的占84%84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占銷成功的占36%36%。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過建立決策樹模型按期望值。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過建立決策樹模型按期望值準(zhǔn)則確定最優(yōu)決策。準(zhǔn)則確定最優(yōu)決策。 4.設(shè)定以下變量設(shè)定以下變量 1.1.問題涉及直接大批量生產(chǎn)與銷售、取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃和小批量試銷

16、售這問題涉及直接大批量生產(chǎn)與銷售、取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃和小批量試銷售這樣三個(gè)決策方案的取舍，在每種方案下又分為成功或失敗兩種結(jié)果；樣三個(gè)決策方案的取舍，在每種方案下又分為成功或失敗兩種結(jié)果；2.2.決策目標(biāo)在表面上看是獲利大小，實(shí)際上是要決定試銷與否；決策目標(biāo)在表面上看是獲利大小，實(shí)際上是要決定試銷與否；3.3.尚需注意后面幾句話：尚需注意后面幾句話：“大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占84%84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%”36%”，這意味著要計(jì)算，這意味著要計(jì)算兩個(gè)概率，其一是當(dāng)試銷成功時(shí)

17、，大批量銷售成功與失敗的概率；其二是兩個(gè)概率，其一是當(dāng)試銷成功時(shí)，大批量銷售成功與失敗的概率；其二是試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率，這意味試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率，這意味著要利用貝葉斯著要利用貝葉斯概率公式；概率公式；AABB -試銷成功，則試銷成功，則 ,36. 0)/(, 6 . 0)(,84. 0)/(BAPBPBAP)()/()()/()()/()/(BPBAPBPBAPBPBAPABP,78. 04 . 036. 06 . 084. 06 . 084. 0.22. 0)/(ABP代入貝葉斯概率公式代入貝葉斯概率公式 從而即當(dāng)試銷成功時(shí)，大批量銷售成功與失

18、敗的概率分別為即當(dāng)試銷成功時(shí)，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.780.78和和0.22.0.22.同理可以算出在試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率分同理可以算出在試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率分別為別為0.220.22和和0.780.78.試銷試銷-45-45萬萬成功成功0.60.6失敗失敗0.40.4不試銷不試銷大量銷售大量銷售大量銷售大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功成功0.780.78成功成功0.220.22成功成功0.50.5失敗失敗0.780.78失敗失敗0.220.22失敗失敗0.50.51200萬-500萬 -40

19、萬1200萬-500萬 -40萬1200萬-500萬 -40萬試銷與否作為決策思路，從左至由畫出決策樹模型如下，這棵樹即為所求的數(shù)學(xué)試銷與否作為決策思路，從左至由畫出決策樹模型如下，這棵樹即為所求的數(shù)學(xué)模型。模型。為了簡單化，原題沒有對求解等后續(xù)過程作要求。我們不妨將模型求解出來。為了簡單化，原題沒有對求解等后續(xù)過程作要求。我們不妨將模型求解出來。（三）模型求解（三）模型求解試銷成功成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功0.78成功0.22成功0.5失敗0.78失敗0.22失敗0.51200萬-500萬 -40萬1200萬-500萬 -4

20、0萬1200萬-500萬 -40萬圖-3350350-40-126479.6434.68268261.問題的提出問題的提出 在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個(gè)優(yōu)質(zhì)服務(wù)項(xiàng)目在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個(gè)優(yōu)質(zhì)服務(wù)項(xiàng)目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購機(jī)票的乘客如果未能按時(shí)前來登機(jī)，可以乘坐是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購機(jī)票的乘客如果未能按時(shí)前來登機(jī)，可以乘坐下一班機(jī)或退票，無需附加任何費(fèi)用。當(dāng)然也可以訂票時(shí)只訂座，登機(jī)時(shí)才付款，下一班機(jī)或退票，無需附加任何費(fèi)用。當(dāng)然也可以訂票時(shí)只訂座，登機(jī)時(shí)才付款，這兩種辦法對于下面的討論是等價(jià)的。這兩種辦法對于下面

21、的討論是等價(jià)的。 設(shè)某種型號的飛機(jī)容量為設(shè)某種型號的飛機(jī)容量為n n，若公司限制預(yù)定，若公司限制預(yù)定n n張機(jī)票，那么由于總會(huì)有一些訂張機(jī)票，那么由于總會(huì)有一些訂了機(jī)票的乘客不按時(shí)來登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本，如果了機(jī)票的乘客不按時(shí)來登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時(shí)前來登機(jī)的乘客超過飛機(jī)容量時(shí)，必然會(huì)引起不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時(shí)前來登機(jī)的乘客超過飛機(jī)容量時(shí)，必然會(huì)引起那些不能登機(jī)飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補(bǔ)那些不能登機(jī)飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補(bǔ)救，也

22、會(huì)導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟(jì)損失，如客員減少，擠掉以后班機(jī)乘客，公司無償救，也會(huì)導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟(jì)損失，如客員減少，擠掉以后班機(jī)乘客，公司無償供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經(jīng)濟(jì)利益，必然存在一個(gè)恰供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經(jīng)濟(jì)利益，必然存在一個(gè)恰當(dāng)訂票數(shù)量和限額。當(dāng)訂票數(shù)量和限額。 假設(shè)飛機(jī)容量為假設(shè)飛機(jī)容量為300300，乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場而未乘上飛機(jī)賠償費(fèi)是機(jī)票價(jià)格的，乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場而未乘上飛機(jī)賠償費(fèi)是機(jī)票價(jià)格的10%10%，飛行費(fèi)用與飛機(jī)容量、機(jī)票價(jià)格成正比（由統(tǒng)計(jì)資料知，比例系數(shù)為飛行費(fèi)用與飛機(jī)容量、機(jī)票價(jià)格成正比（由統(tǒng)計(jì)資料知，比例系數(shù)為0.60.

23、6，乘客不按，乘客不按時(shí)前來登機(jī)的概率為時(shí)前來登機(jī)的概率為0.030.03），），請你請你: : 1 1）建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟(jì)利益和社會(huì)聲譽(yù)的指標(biāo)，對）建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟(jì)利益和社會(huì)聲譽(yù)的指標(biāo)，對上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。 2 2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無約束的預(yù)定票）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無約束的預(yù)定票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價(jià)，而按時(shí)上下班的雇員或游客，會(huì)愿意以業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價(jià)，而按時(shí)上下班的雇員或游客，會(huì)愿意以若不能按時(shí)前來登機(jī)則機(jī)票失效為代價(jià)，換取較低額的票價(jià)

24、。公司為降低若不能按時(shí)前來登機(jī)則機(jī)票失效為代價(jià)，換取較低額的票價(jià)。公司為降低風(fēng)險(xiǎn)，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實(shí)際情況，制定更好的預(yù)訂票風(fēng)險(xiǎn)，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實(shí)際情況，制定更好的預(yù)訂票策略。策略。（1 1）假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時(shí)前來登機(jī)是隨機(jī)的。）假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時(shí)前來登機(jī)是隨機(jī)的。（2 2）假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來登機(jī)的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。）假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來登機(jī)的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。（3 3）假設(shè)飛機(jī)的飛行費(fèi)用與乘客的多少無關(guān)。）假設(shè)飛機(jī)的飛行費(fèi)用與乘客的多少無關(guān)。n n：飛機(jī)的座位數(shù)，即飛機(jī)的容量；：飛機(jī)的座位數(shù)，即飛機(jī)的容量；g g：機(jī)票的價(jià)格

25、；：機(jī)票的價(jià)格；f f：飛行的費(fèi)用；：飛行的費(fèi)用；b b：乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場而未乘上飛機(jī)的賠償費(fèi)；：乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場而未乘上飛機(jī)的賠償費(fèi)； m m：售出的機(jī)票數(shù)；：售出的機(jī)票數(shù)；k k：已預(yù)訂票的乘客不能前來登機(jī)的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量；：已預(yù)訂票的乘客不能前來登機(jī)的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量；p pk k：已預(yù)訂票的：已預(yù)訂票的m m個(gè)乘客中有個(gè)乘客中有k k個(gè)乘客不能按時(shí)前來登機(jī)的概率；個(gè)乘客不能按時(shí)前來登機(jī)的概率；p p：每位乘客遲到的概率；：每位乘客遲到的概率；P Pj j（m m）：已預(yù)訂票前來登機(jī)的乘客中至少擠掉）：已預(yù)訂票前來登機(jī)的乘客中至少擠掉j

26、j人的概率，即社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)；人的概率，即社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)；S S：公司的利潤；：公司的利潤；ESES：公司的平均利潤。：公司的平均利潤。當(dāng)當(dāng)m-knm-kn 時(shí)，說明時(shí)，說明m-km-k個(gè)乘客全部登機(jī)，此時(shí)利潤個(gè)乘客全部登機(jī)，此時(shí)利潤S =S =（m - km - k）g - fg - f通過上面引進(jìn)的符號易知，賠償費(fèi)通過上面引進(jìn)的符號易知，賠償費(fèi)b b=0.1g=0.1g，飛行費(fèi)用，飛行費(fèi)用f f=0.6=0.6ngng，每位乘客遲，每位乘客遲到的概率到的概率p p=0.03=0.03，已預(yù)訂票的，已預(yù)訂票的m m個(gè)乘客中，恰有個(gè)乘客中，恰有k k個(gè)乘客不能按時(shí)前來登機(jī)，個(gè)乘客不能按時(shí)前來登機(jī)，

27、即遲到的乘客數(shù)即遲到的乘客數(shù)k k服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B B（m m，p p），），當(dāng)當(dāng)m-kn m-kn 時(shí)，說明有時(shí)，說明有n n個(gè)乘客登機(jī)，有個(gè)乘客登機(jī)，有m-k-nm-k-n個(gè)乘客沒有登上飛機(jī)，即被擠個(gè)乘客沒有登上飛機(jī)，即被擠掉了，此時(shí)利潤掉了，此時(shí)利潤S = ng f - (m k - n) bS = ng f - (m k - n) b根據(jù)以上的分析，利潤根據(jù)以上的分析，利潤S可表示為：可表示為：)()()()(nmknkmbnkmfngnmknkmfgkmSkmnmknmkkpfgkmpbnkmfngES)()(10101010010)()()()()1)()()(nmkkn

28、mkknmkkmkknmkkmnmkkmnmkkkmnmkkpgkgEpfmgfmgkpkpgpfmgkpgpfmgpfgkm于是平均利潤于是平均利潤因?yàn)橐驗(yàn)橛捎趉服從B（n，p）可知，隨機(jī)變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=mp，此時(shí)，1010101010)()()()()()()()()()(nmkknmkknmkknmkknmkkpnkmgbfgkEmpgkfmgbnkmfngfgkEmkpgkgEpfmgfmgpbnkmfngESkmkkmnmkppCnkmgbfmgpES)1 ()()()1 (10kmkkmkppCp)1 (所以所以通過以上對問題的分析，可以在一定的社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)通過以上對問題

29、的分析，可以在一定的社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)P Pj j（m m）范圍內(nèi)，尋）范圍內(nèi)，尋求合適的求合適的m m，根據(jù)，根據(jù)f f=0.6=0.6NgNg的關(guān)系，使得目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系，使得目標(biāo)函數(shù)ES/fES/f達(dá)到最大，即達(dá)到最大，即1)1 ()()1 ()1(6 . 01max10kmkkmnmkppCnkmgbmpNfES1)1 ()300(1 . 197. 0180110kmkkmnmkppCkmm下面考慮社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)下面考慮社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo): : 由于由于m=n+k+jm=n+k+j，所以，所以k=m-n-jk=m-n-j，即當(dāng)被擠掉的乘客數(shù)為，即當(dāng)被擠掉的乘客數(shù)為j j時(shí)，等價(jià)的說法是恰有時(shí)，等價(jià)的說法是恰有m-n-jm-n-j個(gè)遲到的乘客。個(gè)遲到的乘客。 公司希望被擠掉的乘客人數(shù)不要太多，被擠掉的概率不要公司希望被擠掉的乘客人數(shù)不要太多，被擠掉的概率不要太大，可用至少擠掉太大，可用至少擠掉j j人的概率作為聲譽(yù)指標(biāo)，相應(yīng)地人的概率作為聲譽(yù)指標(biāo)，相應(yīng)地k k的取值的取值范圍為范圍為k k=0,1,2,=0,1,2,m-n-jm-n-j，社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)，社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo) kmkkmjnmkjppCmP)1 ()(0 m ES p 305 0.6436 9.2338e-005 306 0.6490 9.3723e-004 307 0.6543 0.0048 308 309 310 311 31