1、拋體運動的規(guī)律研究拋體中的現(xiàn)象2一從拋物線的幾何性質(zhì)看拋體運動的射程問題1、 在水平地面某處，以相同的速率v0 用不同的拋射角拋射小球，求當拋射角為何值時，它的射程最大，最大射程是多少？不考慮空氣阻力。2、 大炮在山腳下對著傾角為的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度大小為v0 ， 要在山坡上達到盡可能遠的射程，則大炮的瞄準角為多少？最遠的射程為多少？不考慮空氣阻力。3、 在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為h ，若出手時的速度大小為v0 ，求以何角度擲球時，水平射程最遠？最遠射程是多少？不考慮空氣阻力。二解答與分析21、 第一個問題當拋射角為450 時射程最大，最大射程是v0g2、 第二個問題分別將v0

2、,g 按沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解得，當v0方向沿斜面和時，射程最大，最大射程為422v0 1 sin2 g cos3、第三個問題做鉛球的速度矢量如圖1 所示，由三角形面積公式得其中v0為初速度，vt 為末速度（其值為v02 2gh ), 分別為初、末速度與豎直方向的夾角， g 為重力加速度，t 為運動時間，x 為水平射程。arctanv0v02 2gh時， x 取最大值，最大射程為2v0 v02 2ghggt1第 6 頁三三個問題歸納為一個問題1、 拋物線上任意一點到焦點的距離與其到準線的距離相等，即在圖 2 中， 線段 AM AN2、 由拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)其表面反射后，反射光線

3、平行于其主軸，在圖2 中，法線AQ 平分角 MAB ，且 AM 、 AB 與切線 AP 所成的角也相等。在問題 3 中，建立如圖3 所示的坐標系，則拋體運動的參數(shù)方程為23222O 的拋物線，其焦點坐標為（v0 sin 2 , v0 cos2 ） ， 準線方程為y v0 。2g2g2g可以看出，雖然拋射角不同時，不同拋物線的焦點坐標不同，但所有的拋物線有著相同的準線， 對于上述所有拋射角度的拋物線而言，拋出點和落地點到準線的距離分別為一定值。在圖 4 中， 由于兩條拋物線共享一條準線，則 OC1=OP， A1C1=A 1M1， OC2=OP， A2C2=A2M2，2且 OC1+A1C1=OC2

4、+A2C2= v0 h ，其中 O 為拋出點，A1， A2分別為為兩條拋物線對應的落g地點，C1 ， C2分別為兩條拋物線對應的焦點。現(xiàn)在來研究焦點為 yC2的這條拋物線，分別過拋出點O 和落地點A 2做拋物線的切線，2A 2y，如圖v0 5 所示。設OQ 與 OC2夾角為，由拋物線的性質(zhì)得，OQ 與豎直線 P （拋物線的主軸方向）2夾角也為 g兩切線相交于Q 點，連接 M 2 MO1與豎直線夾角為h22C1（此時y A2 QA1A3三點共線，如圖4。在 OCx2 A2 中，有O， 從而 OC2與豎直線夾角為2 ， 同理，A 2C22v0OC2 A2 C2 OA2，即0 h OA2，易知g6

5、所示） ，即當/ 2 時（ OQ 與yA 3A 垂直時） P ， O(vg02h)2h2O2gh x2y vv0023 取到最大值2gh ，此時也達到了最大水平射程，其值為2 v0 y 2g而此時 OQ 與 A3Q 垂直，即初、末速度相互垂直（軌跡的切線方向）A2點， OO C1，問題在1 是上面問題2 可以看成上面問題的逆過程，如圖點看做落地點，則當斜面傾角為圖 5時，最大射程即為圖中的圖 6 OA 3的連線長度，即問6 所示，將A2 A3看做拋出題 2 與問題 3 在本質(zhì)上也為同一類問題。從圖 6 結合性質(zhì)2 還可以很容易看出，為何在向上坡拋物體時，當v0 方向（即A3Q 方向）沿斜面和豎

6、直線夾角的角平分線時，射程最大。例 1 沿斜面上升方向拋物體如圖 1 所示， 用初速度v0在傾角為的斜面上某一處沿斜面上升方向拋物體，拋射角為（拋射方向與斜面間的夾角），物體沿兩方向的運動方程為式（ 1） 、 y（ 2）聯(lián)立消去所以A的方程為直線 OAvy點是拋物線和直線的交點，其坐標值可由式（)ta2x 利用式（ xt ，得物體運動的軌道方程 A點是拋物線和直線的交點，其坐標值可由式（ v0圖1x222v0cos (最佳拋射角 0最大射程v01這種拋射，拋體所受合力即為重力，方向豎直 s 0 1 sin(5)(7)3） 、 （ 4）聯(lián)立解出向下 . 如果我們將拋射點和落地點所在的平面叫做拋射

7、面，在圖 1 中， 要讓拋射面與拋體所受合力方向垂直，需將拋射面順時針轉(zhuǎn)角，這個角正好就是式（6）中的角 . 亦即，當拋射面在垂直于質(zhì)點所受合力方向上逆時針轉(zhuǎn)角時，最佳拋射角在450的基礎上減小角 .例 2 沿斜面下降方向拋物體如圖 2 所示， 若用初速度v 0在傾角為的斜面上某一處沿斜面下降方向拋物體，拋射角為 （拋射方向與斜面間的夾角），物體沿兩方向的運動方程為式（8） 、 （ 9）聯(lián)立消去vy直線OA的方程為y x tan（A點是拋物線和直線的交點，其坐標值可由式（t ，得物體運動的軌道方程(10)10） 、 （ 11）聯(lián)立解出:最x 最x20vx 2v02 cos2 ()xtan(g2

8、 gx經(jīng)計算，物體沿斜邊的射程為佳拋射角為 （12）大射程所以xtan450tan( ) ta2n 2 gx2v0coscos2()這種拋射，拋體所受合力也為重力，方向豎直向下圖 2. 在圖 2 中，要讓拋射面與拋體所受合力方向垂直，需將拋射面逆時針轉(zhuǎn)角，這個角正好就是式（12）中的角 . 亦即，當拋射面在垂直于質(zhì)點所受合力方向上順時針轉(zhuǎn)角時，最佳拋射角在450的基礎上增加角 .例 3 在水平面上“順場拋射”物體如圖 3 所示，在豎直平面內(nèi)存在水平向右的勻強電場，有一帶正電小球自坐標原點0 以拋射角 拋出，不計空氣阻力.小球拋出后，受重力和電場力兩個力的作用，運動規(guī)律為a 為小球沿水平方向向右

9、的加速度.將式 （ 14） 兩邊乘以g ，式 （ 15） 兩邊乘以a ，再相加，求出t :將式 （ 14） 兩邊乘以sin ，式 （ 15） 兩邊乘以cos ，再相減，求出t2 : 結合式 （ 16） 、 （ 17） 兩式得 整理該式得22(gx ay)2v0(g cos asin )(xsin ycos )( 18)式（18）就是復合場內(nèi)帶電小球作“順場拋射”時的運動軌道方程在式（18）中，若令y =0 得進一步整理，其中顯然，當2900時 x最大，即“順場拋射”的最大射程22“順場拋射”的最佳拋射角 xmax v0 （ 1 a a）其中g1g2 g其中arccos(19)2（21）這種拋射

10、，1拋體所受的力為重力與電場力的合力， ag2方向朝右下方，與豎直方向的夾角為1，要讓拋射面與合力方向垂直，需將拋射面逆時針轉(zhuǎn)角，這個arccosarctan（a/ g）a1 g2角正好就是式（ 20） 中的 角 . 亦即， 當拋射面在垂直于質(zhì)點所受合力方向上順時針轉(zhuǎn)角時，最佳拋射角在45 0的基礎上增加角 .例 4 在水平面上“逆場拋射”物體若在豎直平面內(nèi)存在水平向左的勻強電場，將帶正電的小球自坐標原點0以拋射角拋出，不計空氣阻力，小球拋出后，受重力和電場力兩個力的作用，運動規(guī)律為，用同樣的方法可以求得式（24）就是復合場內(nèi)帶電小球作“逆場拋射”時的運動軌道方程.在式（24）中，若令y =0

11、 得進一步整理，1其 cos2 中a顯1 g2 然，當 2900時x最大，即“逆場拋射”的最大射程“逆 場拋射”的最佳拋射角其中這種拋射，拋體所受的力為重力與電場力的合力，方向朝左下方，與豎直方向的夾角arccos 1a2（27）為12g1，要讓拋射面與合力方向垂直，需將拋射面順時針轉(zhuǎn)角，這個arccosarctan（a/ g）a212 g角正好就是式（26）中的 角 . 亦即，當拋射面在垂直于質(zhì)點所受合力方向上逆時針轉(zhuǎn)角時，最佳拋射角在450的基礎上減小角 .小結：1 當拋體所受合力方向發(fā)生變化時，最佳拋射角也跟著變化. 物體僅受重力作用在水平面上拋射時，重力方向與拋射面垂直，最佳拋射角為4

12、50. 相對于拋射面而言，當物體所受合力方向沿著拋體前進一方與豎直方向偏離角時，最佳拋射角在450的基礎上增加角；當物體2所受合力方向沿著拋體前進的反方向與豎直方向偏離角時，最佳拋射角在450 的基礎上減小 角。22以上問題可轉(zhuǎn)化為一簇有著相同約束的拋物線上求解兩點之間距離的最大值問題，其本質(zhì)上為同一個問題，即當初、末速度互相垂直時，拋點、落點、焦點三點共線，此時的射程最大，最大射程為拋點和落點到準線的距離之和。第二節(jié)：拋體運動的規(guī)律研究 拋體中的1 與 1 現(xiàn)象23一拋體運動中的幾個1 現(xiàn)象21、 平拋的拋物線在某一點位移方向和末速度方向分別與初速度方向的夾角的正切值為 1。22、 若在某一

13、段時間內(nèi)水平豎直兩個分位移相等，則水平初速度與豎直速度之比為3、 若在某一時刻水平速度與豎直速度大小相等，則豎直分位移與水平分位移之比為1。24、 在地面上任意一點沿任意方向拋出一點物體，若物體到達某一平面的時間為t1 ，則當物體距離這個平面最遠的時間為t2 ，則t212t125、 物體由某一點平拋一個物體，某一時刻速度方向與位移方向夾角正弦值的最大值為13二相關證明過程（性質(zhì)1、 2、 3 略去）1 性質(zhì) 4 的證明過程如下如下圖所示，以某一初速度v0在斜面上A 點以與斜面成的方向斜拋一個物體，最終物體落在傾角為的斜面上B 點，設物體運動的總時間為t ，則有運動的合成與分解知識可得v0t1A

14、Bsin(90 0) sin sin(90 0)聯(lián)立以上式子可求得t12v0 sing cos再把物體的運動沿斜面和垂直斜面進行分解，當物體離斜面最遠時速度與斜面平行，得v0 singcos t2 0 ，求得t2v0 sing cos9007過程也具有可逆性）第 12 頁2性質(zhì)5 的證明過程如下：方法一： （不等式法）設某一時刻瞬時速度與水平方向的夾角為，位移與水平方向的夾角為 ，則速與位移的夾角為，根據(jù)性質(zhì)1 可知 tan 2tan ，則有2 ，所以 sin 143方法二： （數(shù)形結合法）如下圖 8 所示，設小球從O 點平拋在某一段時間內(nèi)物體由O 點運動到A 點，由中點弦性質(zhì)可知， 速度方向

15、反向延長線過OB 的點，OO2=O2O1， 以 OO1為直徑再做一個輔助圓，當 CA1與圓O2相切時，有最大值sin 。 （物理通報2019年第 12期 P28）1例 1 拋體過矩形障礙物的1 現(xiàn)象2如下圖所示，一個矩形障礙物的大小如下，長為40m ，高為20m ，在障礙物左邊地面上某一點以某一初速度斜拋一個物體，度的大小與方向。解析：設最高點到地面的距離為h ， 最高點的速度為 h20v0v0 ，落地速度為v ， 則由機械能守恒定律可知vv02 2gh物體運動的拋物線方程為20 o y20 h 1 g xx2 ， 拋物線過障礙物則有2 v0例 1圖20 h 1 g20222 v02聯(lián)立以上式

16、子得vv02 2g(20 1 g 20222002400 v02v0v0 10 2m/s時， v有最小值20 2m/ s0v0 1此時拋射解恰好為60 ，拋射點到障礙物左邊的距離為20( 3 1)m ，0。v21例 2 包絡面中的1 現(xiàn)象2在水平地面以某一初速率沿不同方向拋一個物體，求所形成的包絡面的形狀。2解析：設g 10m/ s ,v0 10m/ s ，當拋角不同時的運動軌跡如下圖所示2通過分析可以看出來，這些彈道的包絡面是一個拋物線，最高點是h v0 ，水平射程2g2 v0x 0 ， 其中最高點與最遠距離之比為 g1v21 x2， 則有拋物線方程yg 2 ， 在這條拋物22g 2 v02

17、線的右邊都是打不到的區(qū)域！方法1(包絡線定律法)F(x,y, ) x tan( )2gx2v02 cos2y0為了使物體恰好掠過障礙物，求拋出點的位置和初速22v01 xyg22g 2 v02F (x, y, )2tan 0 ,代入原方程消去得gx對于曲線系M ： F (x, y, t) 0(t 為參數(shù)) ，如果存在一曲線S，使 S與曲線系M 中的每一曲線相切于點P (切于一點或幾點)，且 S (x, y) |全部切點P ，我們稱曲線S 為曲線系 M 的包絡 .記關于 t的函數(shù) F(x,y,t)的導數(shù)為Ft(x,y,t) .由包絡定義，包絡存在時，曲線系M ： F (x, y, t)0(t 為

18、參數(shù))的包絡曲線S 上的每一 點 (x,y )都 屬 于 曲 線 系 ， 滿 足 F (x, y,t) 0 ； 在 點 (x,y )中 的 x 的 y 可 表 示 成x ( t) , y(t，由此對 )t 的全微分和包絡與曲線F (x, y,t) 0相切時的切線方程相同，F(xiàn)(x,y,t) 0,(1)Ft (x,y,t) 0.(2)可得Ft (x, y,t) 0 .因此，包絡上的每一點滿足：如果包絡存在，則消去(1) ( 2)中的參數(shù)t就可求到包絡所滿足的方程G(x, y) 0 .值得注意的是，方程 G(x,y) 0可能就是包絡的方程，也可能不是.當 G(x, y) 0可分解為兩個或更多的曲線方

19、程時，甚至一部分是包絡的方程而另一部分不是包絡的方程，因為x (t), y (t) 是否有實數(shù)解決定了G( x, y) 0中 x, y 的取值范圍，因此求得方程G( x, y) 0后應進行適當?shù)尿炞C.方法二(判別式法)可以將原方程整理為gx2 tan22v02xtan(2v02y gx2) 0v21 x2這是一個關于tan 的一元二次方程, tan 有唯一解則0,化簡得 y v0g x22g 2 v02思考題：1 圖中是一個半徑為2R 的四分之一軌道與半徑為R 的半圓形軌道相切，大致情景是一個小球從四分之一圓軌道的起點由靜止釋放，不計摩擦，不計空氣阻力。求小球砸在軌道上的位置。 (取小球脫離軌

20、道位置為坐標原點建立坐標系)cos2 /3,v0解析：設脫離時半徑與豎直方向上的夾角為，則有 聯(lián)立可得以斜拋點坐標原點建立平面直角坐標系，質(zhì)點做斜拋運動設經(jīng)過時間t 落在圓面上，則解方程得16 5解得 x27404 30RR,y R,t2792在一個半圓形坑的左端點平拋一個物體，已知物體能落在坑中，則關于物體的初速度與末速度的大小變化量的關系，下列說法中正確的是（D ）A 下落距離越大變化量越大B 下落距離越大變化量越小C 下落距離越小變化量越大D 隨著初速度的增大這個變化量先增大后減小3上題中若是小球做斜拋運動，物體有沒有可能垂直擊中坑？需要滿足什么條件？1 21x2解析：由x v0 cos

21、 t, y v0 sint gt ，求得 y g 22 x tan2 2 v0 cos1 ag 令21122 v0 cos112g 2 (1 tan )2v02b tan112a g 2 (1 b )2v0(x R)2223y R ，設落點 P(R Rcos , Rsin ),(2 )點 P 的拋物線y ax2 bx上， RsinaR2(1 cos )2 bR(1 cos )速度垂直圓周f (xp ) kAP ，即2aR(1 cos ) b tantancos 1a2 ,b tanR(1 cos )1 cosvg2R,1 ab211g 代入得2v02第 20 頁令 g( )32 時， g( )

22、0.6041110.604g 2時，R2 v02 R上式無解，gR 時， 小球不可能垂直 1.208v01.g2R08 時，速度有兩個解代入后，可解得a,b，最后由b tan 求得 。tan222Rtan (cos 1)(1 cos ) 例 3 飛機投彈問題如圖 1 所示，斜面上a 、 b 、 c 三點等距，小球從 a 點正上方o 點拋出，做初速度為v0的平拋運動，恰落在b 點。若小球初速度變?yōu)関 ，其落點位于c 點，則A v0 v 2v0B v 2v0C 2v0 v 3v0D v 3v0解析：此題的參考答案為A（具體分析過程略）， 筆者認為這個答案不準確，初速度的大小范圍應為2v0 v 2v

23、0 ，具體分析過程如下： 方法一如圖 2 所示，設小球第一平拋運動的下落的高度為y1 ，水平位移為其中 a 點以下的高度為y0，運動時間為t1，由運動學公式得設小球第二平拋運動的水平位移為2x0，下落的高度為y2，其中a 點以下的高度為2y0 ，運動時間為t2 ，由運動學公式得v 2v0可解得t12h 2y02h 4y0gx0v0，所以x0v0t12h 2y00 ，第二次平拋初速度 g2x00 ，代入時間后得vt2h y0h 2y02v0 1y0h 2y02v0 1 h12y01 gt2 h tan 2v0t11( 2 ,1)，所以2v0 v 2v0yh0 22方法二如圖 3 所示，設小球斜面

24、的傾角為，平拋運動的時間為2整理后得gt2 2v0 tan t 2h 0方程的解為t v0tan 11 2gh g(v0 tan )2小球有斜面方向上的位移sv0tv02 tan 11 2gh 2 cos gcos(v0 tan )112gh 2(v0 tan )12gh(v tan )(va0)2設小球第二次平拋的速度為v ，平拋運動的時間為t , 斜面方向上的位移為2s，則有vt'v2 tan2ghv2s vtv tan 11 g 2 ，則有 v2cos gcos(v tan )v0令 2gh2 a， v kv0，則上式可整理為k 211 (kva0)2tan 20a 0 ， k 2 ；當 a