1、奧運會場館人員疏散的數(shù)學(xué)模型工高班姜 偉 3011141076吳志軍 3011211085摘要本文參閱大量具有實際背景的統(tǒng)計數(shù)據(jù), 對體育場人員組成、交通工具使用情況做出合理評估. 針對體育場人員疏散各環(huán)節(jié), 提出了“擁擠狀態(tài)下的人流模型”、 “運動場通道設(shè)計的最大流量原則”、“車輛停放優(yōu)化模型” 和 “地鐵-公交車疏散模型”四個子模型. 對模型進行了適用范圍、邊界條件、實測數(shù)據(jù)擬合等特性的分析, 得到了: “密度-人流通量”曲線、體育場疏散時間和通道設(shè)計計算公式、最優(yōu)停車方式設(shè)計、地鐵-公交車疏散時間公式等一系列具有實用價值的結(jié)果. 上述結(jié)果與各種參考文獻中提供的實測數(shù)據(jù)非常吻合.借助所獲得

2、的模型和結(jié)論, 給出了對運動場疏散全過程的時間、進程模擬, 并利用虛擬現(xiàn)實建模技術(shù)給出部分疏散場景的實況. 根據(jù)模擬的結(jié)果, 認為100 000人規(guī)模的體育場可以在 45min左右的時間內(nèi)完成人員疏散. 并在此基礎(chǔ)上提出體育場及其周邊設(shè)施建設(shè)的若干優(yōu)化方案.關(guān)鍵字體育場館疏散調(diào)度人流模型問題重述2008年奧運會將在北京舉行，奧運會期間的交通問題是非常重要的問題。特別是開幕式、閉幕式這樣的場合，參與人員多，離開時間集中，對交通設(shè)施的建設(shè)和車輛的安排調(diào)度都是一個值得探討的問題。根據(jù)你所了解的往屆奧運會舉辦城市的有關(guān)交通方面的解決方案的信息，考慮到北京市的場館設(shè)施和交通狀況，請你分析和設(shè)計一套可以保

3、證在奧運會期間的任何儀式或比賽結(jié)束后能夠在合理的時間內(nèi)將人員疏散的方案，方案的設(shè)計要盡可能的節(jié)省投資。假設(shè)場館坐落在市郊，可容納10萬人，附近有足夠通行能力的高速公路。要求就場館的出口、通道、停車場的設(shè)置、合理的車型、各類參加人員的構(gòu)成估計、車輛的調(diào)度、可以接受的等待時間等問題進行分析和設(shè)計，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決。給出一個模擬疏散實況，計算全部撤離所需的時間。1 1 相關(guān)假設(shè)1.1 體育場選址和規(guī)模根據(jù)北京市對奧運會場館建設(shè)的規(guī)劃1 承擔(dān)奧運會開、閉幕式的國家體育場(The National Stadium)將位于北京市北部奧林匹克公園的中心區(qū)域. 這一區(qū)域周邊公路通行能力較強且處于市郊,

4、 可認為疏散過程不會受到外部交通的影響.題目給出的體育場設(shè)計規(guī)模為10萬人, 依照參照2所給出的建筑標準以及往屆奧運會場館的建設(shè)先例, 估算體育場的占地面積(不包括停車場等周邊設(shè)施)約為12萬m2.圖 1-1. 北京2008奧運會比賽地點圖 1-2. 奧林匹克公園平面圖1.2 出席人員組成體育場的人員由表演人員、觀眾、貴賓、工作人員組成, 奧運會在主體育場舉行的各種儀式或比賽, 觀眾都將占人員總數(shù)的95%以上. 可以認為體育場疏散的主體為觀眾, 因此文中建立的模型除特殊提及外, 均針對普通觀眾.1.3 交通工具選擇分配體育場的選址位于市郊, 絕大部分觀眾都將乘坐代步工具往返. 屆時可以選擇的交

5、通工具包括: 通往體育場的地鐵和公交車小型私人車輛出租汽車私人團體使用的客運車輛.這里認為所占比例不大, 可以忽略. 下文將著重討論和的調(diào)度方案和疏散能力.2 2 擁擠狀態(tài)的人流模型2.1 個體生理尺寸個體的占地面積由其各方向上的最大生理尺寸決定, 通常使用肩寬bp和身體厚度dp決定. 為了簡便計算, 通常將個體抽象成橢圓形, 或矩形區(qū)域3.圖2-1. 人體的橢圓形模型圖2-2. 人體的矩形模型此時的個體占地面積Sp (m2)可分別表示為:和下面給出不同地區(qū)人群生理尺寸的數(shù)據(jù)國家(地區(qū))肩寬bp (m)身體厚度dp (m)橢圓面積SpE (m2)矩形面積SpS (m2)BritishM0.51

6、00 0.2850 0.1142 0.1454 F0.4350 0.2950 0.1008 0.1283 JapaneseM0.4750 0.2300 0.0858 0.1093 F0.4250 0.2350 0.0785 0.0999 Hong KongM0.4700 0.1250 0.0461 0.0588 F0.4350 0.2700 0.0923 0.1175 USAM0.5150 0.2800 0.1133 0.1442 F0.4700 0.2950 0.1089 0.1387 IndianM0.4550 0.2350 0.0840 0.1069 F0.3900 0.2550 0.0

7、781 0.0995 平均0.4850 0.2310 0.0887 0.1129 表格2-1. 不同地區(qū)人群生理尺寸數(shù)據(jù)考慮到我國人口素質(zhì)未來6年的發(fā)展情況, 兼顧計算的簡便, 在本文中取 bp=0.5m, dp=0.25m, Sp=SpS=0.125m2.2.2 人群密度人群中個體的生理尺寸和個體之間的間距共同決定人群的密度, 參考資料4給出了一些典型情況下的空間占用(最小包絡(luò)圓的直徑).單人行走(正常情況)650mm兩人相向走過1 350mm通常輪椅的空間占用900mm單人打傘行走1 150mm單人攜帶提包800mm表格2-2. 典型情況下的空間占用鑒于體育場疏散時觀眾人群密度偏大, 可以

8、假設(shè)相鄰個體的橫向間距恒為100mm, 縱向間距隨人群密度變化.資料5進一步指出: 出于對安全因素的考慮, 擁擠區(qū)域站立人群的最大密度不應(yīng)超過40人/10m2. 結(jié)合上面對個體占地面積的計算, 可以得到體育場各通道內(nèi)的人群密度的允許區(qū)間為(0, 4) 人/m2. (此處尚未考慮速度因素, 下文將給出理想值).2.3 擁擠狀態(tài)下的人流模型幾點假設(shè):1 1 人流限制在單向定寬度無限長通道內(nèi)前進, 且相對飽滿, 即速度不大于某極限速度Vmax=3m/sec.2 2 任何個體均遵循普遍原則前進: 不試圖超越前方個體, 亦不會留出過大間距.3 3 人群密度(人/m2)在通道各處相等, 且隨速度v(m/s

9、ec)的遞增而遞減, 取值范圍為(min, max)4 4 定義人流通量q (人/msec)為單位時間、單位通道截面積通過的人數(shù), 則有q =v模型建立:擁擠狀態(tài)下步幅l (m)等于相鄰個體的間距. 參照圖2-3, 結(jié)合上文對個體生理尺寸參數(shù)的計算, 可以得到:圖 2-3. 人流模型示意圖利用6和7給出的速度、步幅等數(shù)據(jù), 能夠確定人群密度與行走頻率f之間存在關(guān)系:并可以進一步驗證上式中K=1.36, n0.5.將人群速度表示為密度的函數(shù):確定人流通量:利用前述數(shù)學(xué)模型和相關(guān)參數(shù), 并考慮邊界條件, 繪制v-曲線和 q-曲線如下:圖 2-4. 密度-速度曲線圖 2-5. 密度-人流通量曲線可以

10、確定當(dāng)人流密度值0=2.22人/m2, 相應(yīng)的速度為v0=1.01m/sec.時, 通量q取得極值q*= 2.25人/msec.結(jié)論和分析:理論預(yù)測所得曲線走勢與日常經(jīng)驗相符, 并且量值上與現(xiàn)有數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合. 通過對人流通量變化趨勢的計算, 可以獲得滿足通量最大的速度和密度條件.體育場內(nèi)的各通道均為狹窄路段, 且疏散過程中人流密度足夠大, 可以應(yīng)用此模型進行疏散分析. 為了獲得最小的疏散時間, 運動場內(nèi)各處通道的設(shè)計均應(yīng)滿足人流通量在q*附近. 下文中將應(yīng)用此結(jié)論探討實施細節(jié), 并給出預(yù)期的疏散時間.3 3 運動場設(shè)計優(yōu)化和疏散時間計算3.1 通道設(shè)計的最大流量原則前面分析得到: 為使疏散時間

11、最小, 需要在設(shè)計體育場內(nèi)通道時保證人流通量q在其極值q*附近, 并且盡量寬闊. 為此參考2總結(jié)下列設(shè)計原則:1. 1. 根據(jù)中國人的身材特點, 座寬設(shè)計為0.6m. 每圈平均有50組座椅坐供1 600人就座. 相鄰兩組間距離為1.0m. 為使流量最大, 由于座位密度近似為人流密度的初始值, 應(yīng)把座位密度設(shè)為2人/m2, 即每人占據(jù)0.5m2的空間, 則每前后相鄰兩排間距設(shè)計為0.5/0.6=0.83m. 一圈平均周長為50(300.6+1)=950m. 上下層各有3132排. 總計約有100 000個座位.圖 3-1. 座椅排布和通道設(shè)置2. 2. 相鄰兩排座椅之間的通道(稱為0級通道)僅需

12、承載單股人流, 其設(shè)計寬度滿足一人通過即可. 人流在0級通道無法達到理想的通量q*, 因此每段的長度應(yīng)盡可能短(建議為15倍座位長度). 0級通道的總長度僅與場內(nèi)座位數(shù)目有關(guān).3. 3. 其它依次各級內(nèi)部通道的設(shè)計, 應(yīng)合理控制寬度, 保證前一級的人流均勻匯入, 使穩(wěn)定狀態(tài)下整個通道內(nèi)的平均人流通量盡可能高.圖 3-2. 通道連接部分由此原則可以得到k n級通道與n-1級通道的匯合點總數(shù)Di i級通道的寬度4. 4. 外通道(出口)的設(shè)計, 存在關(guān)系式:B 疏通口(道)設(shè)計可通過人流股數(shù)C 單股人流寬度. 一般地, C=bp+0.1=0.6m.其他設(shè)計細節(jié)還包括:1 1 采用下行、水平、坡道疏

13、散方式以提高人群移動速度.2 2 樓梯和坡道寬度較大(3m)時, 加設(shè)中間分隔欄桿扶手, 輔助疏導(dǎo)人流.3.2體育場疏散時間的計算體育場觀眾數(shù)量多, 疏散時間集中, 因此設(shè)計應(yīng)有暢通的交通道和均勻分布的出入口, 以便在一定時間內(nèi)使全部觀眾疏散完畢. 給出大型體育場疏散時間計算公式2:Ts 疏散時間V 人流疏散速度(m/min)A 單股人流通行量(人/min)B 疏散口(道)可通過人流股數(shù)N 疏散人數(shù)S 疏散距離(m)就影響體育場疏散時間的幾個因素分別加以分析:1 1 單股人流通行量A(人/min)C 單股人流寬度. 一般取C=bp+0.1=0.6m. 人群密度2 2 疏散口(道)數(shù)量nb疏散口

14、(道)數(shù)量越多, 則從看臺出口到外出的加權(quán)總距離越小, 越有利于縮短疏散時間Ts.但外出口的數(shù)量不應(yīng)過多, 否則從體育場涌出人流過多且過于分散, 不利于控制, 同時加重場外通路的負擔(dān), 容易在較狹窄路段形成瓶頸, 不利于安全.考察國外大型體育場設(shè)計, 把主要外出口數(shù)nb定為4. 對稱分布. 并可增加備用出口使總出口數(shù)達到8個甚至更多, 為意外事故發(fā)生時恐慌人流的疏散.3 3 疏散口(道)可通過人流股數(shù)B這是影響疏散時間的最主要因素, 是可以控制的. 參考體育場觀眾疏散設(shè)計標準及其設(shè)計規(guī)模, 預(yù)計外出口疏散時間To為15min. 觀眾應(yīng)占總?cè)藬?shù)的95%以上, 認為N=100 000.4 4 人流

15、疏散速度V(m/min) “擁擠狀態(tài)下的人流模型”定量地給出了人群密度和速度之間的關(guān)系. 為了獲得最小的疏散時間, 運動場內(nèi)各處通道的設(shè)計均應(yīng)滿足人流通量在q*附近. 從而速度亦應(yīng)在v0附近.人流疏散速度V= v0=60m/min5 5 .疏散距離S(m)由看臺上的出入口至外門口,經(jīng)過道、樓梯的實際距離, 計算體育場總距離時則為加權(quán)距離, 其計算公式如下:b1, b2, . 為第一、第二疏散道人流股數(shù)S1, S2, . 為第一、第二疏散道疏散距離疏散距離S應(yīng)盡量小. 參考現(xiàn)有體育場設(shè)計, 觀眾席分為上下2層. 疏散形式如圖3-32:圖3-3. 雙層的疏散通道體育場設(shè)計為對稱結(jié)構(gòu), 為方便計算,

16、 只考察取出的扇形部分.圖 3-4. 看臺的扇形模型由公式3-6, 此處:S1 上層觀眾平均疏散距離S2 下層觀眾平均疏散距離s1 上層看臺扇形面積s2 下層看臺扇形面積此扇形模型中用扇形面積代替了人流股數(shù). 在這個扇形中, 中間一排有1600/8=200個座位. 假設(shè)相鄰長排相差2個座位, 上下層均有30排左右. 因而, 離賽場最近一排座位有140個座位, 最遠一排有260個座位. 計算扇形看臺面積:則有:每圈距離lc120m. 樓梯及緩臺的坡度=30. 上下層觀眾席高h=排數(shù)每排高(約0.47m)=14.1m. 則上下樓的平均距離為14.1/sin30=28.2m. 則:帶入公式3-7得到

17、:計算體育場疏散時間4 4 停車場規(guī)劃和疏散時間4.1 停車場規(guī)模前面1.3中提到疏散車輛以地鐵-交車和私人車輛為主, 運動場附設(shè)的停場為私人車輛專有. 下面計算乘坐私人車輛觀眾的比例.北京市2001年私有車總計為50萬輛, 并保持每年15%的增長率8. 同期人口總數(shù)為1 380萬, 預(yù)計年增長率2.4%9. 可以推知: 2008年北京市及周邊地區(qū)車輛占有率約為每百人8.16輛. 加之對未來車輛增長的考慮, 停車場設(shè)計規(guī)模為10 000輛, 按平均每輛車承載3人計算, 將可疏散27 000人.為減少疏散人群的步行時間, 建造兩個地上停車場, 單個停車場容量約為5 000輛.為了節(jié)約成本, 將考

18、慮盡量減小停車場尺寸和提高空間利用率. 4.2 車輛尺寸數(shù)據(jù)利用從10獲得的常見車型尺寸數(shù)據(jù), 可以估算出私人車輛的平均尺寸.車型乘員人長度mm寬度mm面積m2桑塔納2000AT5454617107.77捷達王5438516747.34捷達5442816607.35豐田Sienna CE7493218629.19奔馳S6005515418579.57平均5.4468917538.22表 4-1. 常見車型尺寸本文中使用下述模型及數(shù)據(jù)計算停車場的相關(guān)設(shè)計參數(shù).圖 4-1. 平均車型尺寸4.3 車輛停放方式優(yōu)化單車占地面積與停車角度的關(guān)系如圖4-2所示:圖4-2 單車占地面積設(shè)lc和wc分別為一個

19、停車位的長和寬:則一個車位的占地面積變化規(guī)律如圖4-3所示圖 4-3 Sc-的關(guān)系曲線Sc隨減小而增大, 但的減小有利于車的開出. 當(dāng)為45時, 單車占地面積變化不大, 而出車較易. 并且可以選擇使車輛交錯停放, 大大節(jié)省了空間.圖 4-4(a) 45度斜式泊車示意圖圖 4-4 (b) 泊車角度非45度時存在空間浪費=45時, 單車平均占地為:4.4 停車場設(shè)計和車輛調(diào)度優(yōu)化為進一步優(yōu)化停車場結(jié)構(gòu), 減少或避免阻塞, 提出下列停車場設(shè)計和車輛調(diào)度原則:1. 1. 盡量縮短停車場長寬比, 以保證觀眾行走路線盡可能短, 即盡量縮短行走的時間. 2. 2. 人行道與出車道交叉處, 設(shè)置斑馬線, 同時

20、提前設(shè)置限速障礙物. 限速障礙物可以保障行人安全, 并使車輛通過減速帶后的車距拉大, 便于其它車輛插入車流.圖 4-5 限速障礙物對行人的保護作用圖 4-6 限速障礙物利于車輛插入車流圖4-7 設(shè)置限速障礙物對相鄰車距的影響3. 3. 入車道為4車道, 其中中間兩車道只允許停車位在7至12組的車行駛, 以避免車行方向交叉或相互阻礙圖 4-8. 停車位分組示意4. 4. 停車場形狀設(shè)計成狹長有利于出車道與公路的連接. 5. 5. 疏散人流進入停車場時, 可利用入車道將人流導(dǎo)入停車場, 這時不允許車輛駛?cè)? 4.5 停車場疏散時間的計算幾點假設(shè):1. 1. 停車場采用單入多出式, 中部駛?cè)胲嚨?

21、設(shè)計為4車道, 寬10m. 共用駛出車道的兩排車為一組, 出車道道寬4m. 每隔固定間隔設(shè)置人行道, 道寬2.5m.2. 2. 人行道數(shù)目變化較小, 為方便計算又不失一般性, 設(shè)人行道共有六條. 3. 3. 在疏散時, 人流可由入車道引進, 極大避免了人流與車流的交叉. 且有限速障礙物限速, 使車在通過人行道之前速度很慢, 因此先忽略人流對車流的影響.4. 4. 出車時的平均車速為5m/sec, 人行走的速度為1.3m/sec.變量說明:n 組數(shù)wp 人行道總寬wi 入車道寬t1 疏散過程中離出口最遠車輛的駛出時間t2 從停車場入口到某輛車步行的最大時間計算公式:經(jīng)計算, t1 t2, 因此疏

22、散時間主要取決于t2. 當(dāng)n取19時, t2的值最小. 停車場疏散時間:同時可以進一步給出停車場的優(yōu)化設(shè)計參數(shù): 單排車總數(shù)132輛, 停車總數(shù)為5 016輛. 每隔22輛車設(shè)一人行道. 共設(shè)四條人行道. 車場總長為500(487)m, 總寬為250(244)米. 占地面積為12.5(11.9)萬m2.5 5 地鐵和公交車疏散時間前面4.1中計算得出觀眾中將有27%即27 000人使用私人車輛, 這里假設(shè)余下觀眾均按照承載人數(shù)比例選擇軌道交通工具和公交車. 鑒于這兩種交通工具的時間規(guī)律, 承載能力固定, 模型相對簡單, 下面直接給出假設(shè)和結(jié)論:地鐵和公交車疏散時間:tg 相鄰車次的等待間隔時間

23、(min).N 選擇交通工具的人數(shù) 73 000人Nl 可用的線路數(shù)目.Nc 每車次的疏散能力(人/車次)參考11給出的量值, 可以測算Nc數(shù)量級為103, 這里設(shè)為2 000人/車次. 并設(shè)理想等待時間tg=2.5min. 根據(jù)1的有關(guān)新聞, 北京市將為2008年奧運會新建7條地鐵線路, 假設(shè)其中Nl=3條位于主體育場附近. 則帶入公式 5-1 得到:6 6 結(jié)論和分析根據(jù)2.3節(jié)擁擠狀態(tài)下的人流模型: 體育場各通道和出口的設(shè)計均盡量保足夠大的人流密度和必要的流動速度v, 從而使人流通量q盡可能接近極值q*. 在此前提下, 3.2, 4.5和5節(jié)分別針對人員疏散的各個階段, 給出體育場通道、外出口、停車場布局等定量結(jié)論和車輛調(diào)度原則等設(shè)施建設(shè)的細節(jié). 進一步得到各階段疏散時間的估計. 給出體育場人員總體疏散時間T的表達式:Ti 體育場內(nèi)疏散時間(公式3-12)Tp 停車場疏散時間(公式4-8)Tb 地鐵和公交車輛的疏散時間(公式5-2)總結(jié)前文分析和計算結(jié)果, 100 00