1、小專題（九）與等腰三角形的性質與判定相關的證明類型 1 證明線段或角的數(shù)量關系1.如圖， ABC 中，AB = AC , D 是 BC 的中點，E, F 分別是 AB , AC 上的點，且 AE = AF ,求證：DE = DF.證明：連接 AD. AB = AC , D 是 BC 的中點，/EAD= ZFAD.在厶 AED 和厶 AFD 中，j-AE = AF ,/EAD= ZFAD,AD = AD , AEDAFD( SAS). DE = DF.AE.求證：AH = 2BD.證明： AD 丄 BC, BE 丄 AC ,/BEC= ZADB=90/EBC= ZEAH./ BE = AE ,

2、AHE 也厶 BCE.2.已知，如圖，ABC 中，AB = AC ,AD 丄 BC 于 D, BE 丄 AC 于 E, AD 和 BE 交于 H ,且 BE =B D C小專題（九）與等腰三角形的性質與判定相關的證明 AH = BC.4.如圖，在厶 ABC 中，/ ABC = 2/ C, AD 平分/ BAC ,求證：AB + BD = AC./ AB = AC , AD 丄 BC, BC = 2BD. AH = 2BD.3.如圖，在厶 ABC 中，AB = AC , / BAC = 90 , D 為 AC 的中點，AE 丄 BD 于 F,交 BC 于 E, 求證：/ ADB=ZCDE.證明：

3、過點 C 作 CG 丄 AC 交 AE 的延長線于 G,貝 y CG / AB , BAF =ZG.又 AF 丄 BD , AC 丄 CG,/BAF+ ZABF=90 , /CAG+ZG=90./ABF= ZCAG.在厶 ABD 和厶 CAG 中，j-ZABF=ZCAG,AB = AC ,.ZBAD=ZACG=90 , ABD 也厶 CAG(ASA). AD=CG, ZADB=ZG.又 D 為 AC 中點， AD = CD. CD = CG./ AB=AC, /ABC=ZACB.又 AB/CG, /ABC=ZGCE.ZACB=ZGCE.CDECGE(SAS).ZCDE= ZG. ZADB=ZC

4、DE.證明：延長 CB 至 E,使 BE = BA，則/ BAE =ZE.又/ ABC = 2 / C = 2/ E,./E=ZC.AE=AC./ AD 平分/ BAC ,/BAD=ZDAC./BAE= ZE, /E=ZC,/BAE= ZC.又/EAD=ZBAE+ZBAD,/EDA= ZC+ZDAC,/EAD= ZEDA.AE=DE.AC = DE = BE + BD = AB + BD.類型 2 證明線段的位置關系5.如圖，點 C 是線段 AB 上任意一點（點 C 與點 A, B 不重合）,分別以 AC , BC 為邊在直線 AB 的 同側作等邊三角形 ACD 和等邊三角形 BCE , AE

5、 與 CD 相交于點 M , BD 與 CE 相交于點 N,連接MN.求證：(1) ACM DCN ;(2)MN / AB.證明： / ACD 和厶 BCE 都是等邊三角形 AC = DC, BC = EC,ZACD= ZBCE=60vZACD+ZDCE+ ZECB=180 ,4.如圖，在厶 ABC 中，/ ABC = 2/ C, AD 平分/ BAC ,求證：AB + BD = AC./DCE = 60 ./ACE= ZDCB=120.在厶 ACE 和厶 DCB 中，AC =DC,/ACE= ZDCB,CE = CB , ACEDCB( SAS)./EAC= ZBDC.在厶 ACM 和厶 D

6、CN 中，j-ZMAC=ZNDC,AC = DC ,.ZACM =Z DCN=60 , ACMDCN( ASA).(2)由(1)知厶 ACMDCN , CM = CN.又TZMCN = 60 , CNM 為等邊三角形，ZNMC = 60ZNMC=ZACM=60. MN / AB.6.如圖，在厶 ABC 中，AB = AC，點 D , E, F 分別在邊 BC, AB , AC 上，且 BD = CF, BE = CD ,G 是 EF 的中點，求證：DG 丄 EF.證明：連接 ED, FD. / AB = AC , ZB= ZC.在厶 BDE 和厶 CFD 中,HDCDBD = CF,/B=ZC

7、,BE = CD ,BDECFD(SAS). DE = DF.又 G 是 EF 的中點， DG 丄 EF.類型 3 判斷三角形的形狀7.已知：如圖，0A 平分/ BAC , / 1 =72求證： ABC 是等腰三角形./ 0A 平分/ BAC , 0D 丄 AB , 0E 丄 AC , 0D = 0E./1= 72,0B=0C. RtAB0D 也 RtAC0E(HL).7AB0=7AC0.7ABC= 7ACB. AB = AC. ABC 是等腰三角形.8.已知 ABC 中，7BAC = 90 , AB = AC , D 為 BC 的中點.(1) 如圖 1 , E, F 分別是 AB , AC 上的點，且 BE = AF ,試判斷 DEF 的形狀，并說明理由；(2)如圖 2,若 E, F 分別為 AB , CA 的延長線上的點，仍有 BE = AF.請判斷 DEF 是否仍具有 (1)中的形狀，并說明理由.證明：過點 0 作 0D 丄 AB 于 D, 0E 丄 AC于 E,則厶 BOD 和厶 COE 都是直角三角形.圖I圖2解：（ DEF 為等腰直角三角形.理由：連接 AD ,易證 BDEADF , DE