1、第6講數(shù)學(xué)歸納法理軟酎并實(shí)必笛知識(shí)知識(shí)聚焦1 .數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值no(noC N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n= k(k>no, kCN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng) n=k+ 1時(shí)命題也成立.2 .明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在n=k+1時(shí)一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”.查驗(yàn)提升疑誤到

2、?析判斷正誤(正確的打，錯(cuò)誤的打"x” )(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n = 1時(shí)結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由 門=卜到門=卜+1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加 了一項(xiàng).()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，必須要用歸納假設(shè).()答案：(1)X (2)X (3)X (4)，教材彳行化1-,1 .(選彳2-2P99B組T1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為5n(n 3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選C.凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n=3.

3、2 .(選彳2-2P96A 組 T2 改編)已知an滿足 an+1=a2- nan+ 1, nCN*,且 a1=2,則 a2 =, a3=, a4=,猜想 an=.答案：3 4 5 n+1易錯(cuò)糾偏3 1)誤認(rèn)為利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第一步驗(yàn)證的初始值均為n= 1;4 2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，添加的項(xiàng)出錯(cuò)，或不利用歸納假設(shè).1.用數(shù)學(xué)歸納法證明« 2n>n2+1對(duì)于n>n0的正整數(shù)n都成立"時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析：選 C.當(dāng) n=1 時(shí)，21 = 2=12+1,當(dāng) n = 2 時(shí)，22=4<22+1 =

4、 5,當(dāng) n = 3 時(shí)，23=8<32+1 = 10,當(dāng) n = 4 時(shí)，24= 16<42+ 1= 17,當(dāng) n = 5 時(shí)，25= 32>52+ 1= 26,當(dāng)n = 6時(shí)，26=64>62+ 1= 37,故起始值no應(yīng)取5.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+3+ (2n+1) = (n+1)(2n+1)時(shí)，從 n=k 至 U n=k+1, 左邊需增添的代數(shù)式是 .解析：當(dāng)n=k時(shí)，待證等式左邊=1 + 2+3+(2k+ 1),當(dāng) n = k+ 1 時(shí)，待證等式左邊= 1 + 2+3+ (2k+1)+(2k+ 2)+(2k+3),所以從門=卜到n=k+1,左邊需增添的

5、代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例D用數(shù)學(xué)歸納法證明:- = n(n N*)2X4 4X6 6X 8 2n (2n+2)4 (n+1) ()右邊二(1)當(dāng)n= 1時(shí)，左邊=12X 1 X (2X1 + 2)18'14X (1 + 1)18.左邊=右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)n=k(kC N*且k>1)時(shí)等式成立，即有_J1_ .，.1k_ + -+- 一 + + = .2X4 4X6 6X 8 2k (2k+2)4 (k+1)則當(dāng)n=k+ 1時(shí)，,. 1 , 1c /+/ c+c c + +2X4 4X6 6X 8 2k (2k+2)2 (k+1) 2

6、(k+1) + 2k1+4 (k+1)4 (k+ 1) (k+2)k (k+2) + 14 (k+1) ( k+2)(k+1) 24 (k+1) ( k+2)k+14 (k+2)k+ 14 (k+1 + 1)所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,由(1)(2)可知，對(duì)于一切n N*等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意事項(xiàng)(1)明確初始值no的取值并驗(yàn)證n= no時(shí)等式成立.(2)由n=k證明n=k+1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo).(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項(xiàng)；配方法.UII(2020溫州七校聯(lián)考)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1+3 + i+ - +/ j n記&

7、;= ai + a2+a3+ an,用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn= (n+ 1)an- n.證明：當(dāng)n=1時(shí)，a=i, Si = ai = 1,滿足條件.假設(shè)當(dāng) n=k(k> 1, kGN*)時(shí),&= (k+1)ak k 成立,則當(dāng)n=k+ 1時(shí)，1 11因?yàn)?ak= 1 +-+ - +- Z oK1 1112 3k k+ 11k+ 1=ak+i k+ 1所以 Sk+1 = Sk+ ak+1 = (k+ 1 )ak k+ ak+1=(k+ 1 )(ak+1-)k+ ak+1k+ 1=(k+ 1)ak+i 1 k+ ak+1=(k+ 2)ak+i (1 + k).從而 Sn= (n+1)a

8、n n 成立.考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(2020 (2020衢州卞莫擬)在數(shù)列an中，已知a=a(a>2), 且 an+1 =a22 (an1)(n N*).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(nC N*);(2)求證 an+1<an(n C N*).【證明】(1)當(dāng)n = 1時(shí)，a1=a>2,命題成立.、一 一*. . ,A I 一 八、 一假設(shè)當(dāng)n=k(kCN , k>1)時(shí)，命題成立，即 ak>2.則當(dāng)n=k+ 1時(shí),ak+1-2 = L_2 = 12 >0, 2(ak 1)2 ( ak 1)所以當(dāng)n=k+1時(shí)ak+1>2也成立,由得，對(duì)任

9、意正整數(shù) n,都有an>2.a2an (2 an)(2)an + 1 an= an =2 (an1)2 (an1)由(1)可知 an>2>0,所以 an+1<an.國(guó)國(guó)£3國(guó)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意事項(xiàng)(1)當(dāng)遇到與正整數(shù) n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù) 學(xué)歸納法；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n= k成立，推證n = k+ 1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.國(guó)3111)曙1已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1, a2+1-a2=2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)

10、證明：, + + + z 2n- 1對(duì)一切nCN*恒成立.a a2 a3an '解：(1)由 a2 +1 an = 2 得 a2= 2n 1,所以 an=，2n 1.(2)證明：當(dāng)n=1時(shí)，1=1成立；當(dāng)n=2時(shí)，左邊右邊.假設(shè)當(dāng)n=k(k>2, kCN*)時(shí),1 1 11 :一+ + + + _<y 2k 1 成乂,a1 a2 a3ak那么當(dāng)n=k+1時(shí),11111十 + + +a1a2a3 ak ak+ 1< ；2k- 1 +12k+11111由可得+ -+-< /2n- 1對(duì)一切nC N恒成立. a 1 a2 a3an 、歸納一猜想一證明例3 (2020寧

11、波效實(shí)中學(xué)高三期中)已知數(shù)列an,a1= 3, an+1=(n C N ).an 1 '求a2, a3, a4的值，并猜想an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.3an 4【解】(1)因?yàn)閍1=3,且an+1 =an 一 1所以a23X34 51 =2，a3=c 5,3X2 473'72n+ 1an = n上9a4= 4743T2X1 + 1(2)證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1 = 1一=3,滿足要求，猜想成立;假設(shè)n= k(k> 1且kC N*)時(shí)，猜想成立,即ak=2k+ 12k+ 13ak 4那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ak 13xnk 4 2k+3 2(k+1)

12、+1= = ,2k+ 1k1k+ 1k+ 1這就表明當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立,根據(jù)可以斷定，對(duì)所有的正整數(shù)該猜想成立，即2n+ 1an= n“歸納一一猜想一一證明”的模式“歸納一一猜想一一證明”的模式是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式.其一般思路是：通過觀察有限個(gè)特例， 猜想出一般性的結(jié)論， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明. 這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用，其關(guān)鍵是跟蹤訓(xùn)練歸納、猜想出公式.(2020 寧波市九校聯(lián)考)已知 nCN*, Sn=(n+1) (n+2)(n+n), Tn=2nX1X3X x (2n- 1).求 S1, S2, S3, T1,

13、 T2, T3；(2)猜想Sn與Tn的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解：(1)&=T1=2, S2 = T2= 12, S3 = T3= 120.(2)猜想：Sn=Tn(nC N*).證明：當(dāng)n=1時(shí)，S1=T1；假設(shè)當(dāng) n=k(k>1 且 kC N*)時(shí)，Sk= Tk,即(k+ 1)(k+2) - (k+ k) = 2kx 1 x 3x - x (2k- 1),則當(dāng)n=k+ 1時(shí)，&+1 = (k+1+ 1)(k+ 1 + 2) - (k+1 + k- 1)(k+ 1+ k) (k+ 1+ k+ 1)=(k + 2)(k + 3)(2k)(2k+ 1)(2 k + 2)2k

14、x 1 x 3X-X (2k1)=x (2k+ 1)(2k+2)k+ 1= 2k+1X 1 X 3X X (2k- 1)(2k+ 1) = Tk+1.即n = k+ 1時(shí)也成立，由可知，nC N, S = Tn成立.演練T份停突破陳學(xué)朗:災(zāi)做日分融加上基礎(chǔ)題組練1 .凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸(n + 1)邊形的對(duì)角線的條數(shù) /門+1)為()A. f(n)+n + 1B. f(n)+nC. f(n)+n1D. f(n)+n 2解析：選C.邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與和它不相鄰的n-2個(gè)頂點(diǎn)連接成對(duì)角線，原來的一條邊也成為對(duì)角線，因此，對(duì)角線增加 n 1條.2,用數(shù)學(xué)歸納法證明&q

15、uot;當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+ y整除”的第二步是()A.假設(shè)n = 2k+1時(shí)正確，再推 n = 2k+3時(shí)正確(其中kC N*)8 .假設(shè)n=2k1時(shí)正確，再推 n=2k+ 1時(shí)正確(其中kC N*)C.假設(shè)n=k時(shí)正確，再推 n=k+1時(shí)正確(其中kC N*)D.假設(shè)n = k時(shí)正確，再推 n= k+ 2時(shí)正確(其中k N*)解析：選B.因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以n=2k- 1(kCN*). 1119 .用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 + 2+3+ 2n_ 1 <n(nCN , n>1)時(shí)，由n= k(k>1)不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 .111斛析：

16、當(dāng)n= k時(shí)，要證的式子為 1 + 2 + §+ "<k;當(dāng)n=k+1時(shí)，要證的式子.1 11111為1 + 5 + 3+ 不;+/+ *二+ 了丁一-<k+ 1.左邊增加了 2k項(xiàng).答案：2k10 (2020 紹興模擬)已知 f(n) = 1+1 + 1+N*),經(jīng)計(jì)算得 f(4)>2 , f(8)>5, f(16)>3 ,2 3n2f(32)>2,則其一般結(jié)論為 .一 n n r_ 7n + 2解析：因?yàn)?f(22)>2, f(23)>2, f(24)>2, f(25)>|,所以當(dāng) n>2 時(shí)，有 f(2

17、n)>2-5.已知數(shù)列an滿足,a1=1,an=oi-1.答案：f(2n)>審(n>2, nC N*)2 ,(1)求證:3<an< 1 ；(2)求證：|an+1 an|w1.3證明：(1)由已知得an+L：，計(jì)算32 = |, 33 = 1 34=,猜想a 1. 137193an+ 2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n= 1時(shí)，命題顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)，有2wanWi成立，則當(dāng)n=k+ 1時(shí)，ak+1=wvi, 31 2 1ak+2 3+2ak+1 ='7>彳=3,即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，ak + 2 1 + 22 所以對(duì)任息n C N ,都有-<

18、an< 1.3、“71(2)當(dāng) n=1 時(shí)，|a1- a2|=-,3,，一,111 1113當(dāng) n>2 時(shí)，因?yàn)?an + )(an1 + 2)= (an+-)六=1 +春> 1 +2 =，所以 |an+1 an|=1 1 |an an 1|22 n 11 2 n 1an+2an1 + 2: + 2)(1)個(gè)F1af36. (2020溫州高考模擬節(jié)選)已知數(shù)列an, bn滿足a1=2, b1 = 4,且2bn = an+an+1, a2+ 1 = bnbn+ 1.(1)求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4 的值；(2)猜想an, bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.

19、解：(1)因?yàn)?2bn=an+an+1, a2 + 1 = bnbn+1,且 a= 2, b1 = 4.8 = 2 + a2,令n=1,得到解得a2 = 6, b2=9;同理令n=2, 3分別解得aa= 12, b3 =a2= 4b216, a4=20, b4 = 25.(2)證明：猜測(cè) an=n(n+1), bn=(n+1)2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 ak=k(k+1), bk=(k+1)2,那么當(dāng) n=k+1 時(shí),ak+1=2bk-ak=2(k+ 1)2-k(k+ 1)= (k+ 1)(k+2),ak+1bk+1 =不一=(k+2)2.

20、所以當(dāng)n = k+1時(shí)，結(jié)論也成立. bk1an+ 1由，可知an=n(n+1), bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.7. (2020臺(tái)州市高三期末考試)在正項(xiàng)數(shù)列an中，已知ai=1,且滿足an+i =(nC N*).求a2, a3的值;(2)證明：an> 3解：(1)因?yàn)樵谡?xiàng)數(shù)列an中，a1=1,且滿足an+1=2an-(n N*),an + 1所以 a2=2x 1 =-,a3= 2X-1 + 1 2213一十 12 1135 .3(2)證明：當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1= 1 > 21 1=1,不等式成立;3 k -1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 ak> 2,一一1因

21、為f(x) = 2x 在(0, + 8)上是增函數(shù), x+ 1一13所以 ak+ 1=2ak>2 2k12k-1)1+33 kT2因?yàn)樗?k 9+一k>1,2X313所以2Xcc3c-3>2X2-3 = 0,即當(dāng)n=k+ 1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)知不等式對(duì)任何n C N*都成立.18. (2020臺(tái)州市書生中學(xué)月考)已知數(shù)列an中，ai=2, anW0, 0為該數(shù)列的前n項(xiàng)和, 且 Si+i = an(l an+i) + Sn, nCN.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若不等式an+an+i +an+2+ a3n>24對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值, 并證

22、明結(jié)論.解：(1)因?yàn)?S + i=an(1 an+i)+Sn, nC N*,所以 Sn+ 1 - Sn= an(1 - an + i),所以 an+1= an(1 an+ i)= an anan+ 1,所以 anan+1= anan+1.又 anW0,11所以1 = 1,an + 1 an1 ,，所以不構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列， an1所以一=2+ (n 1)x 1 = n+ 1, an所以 an= 1 , nCN*.n+ 1(2)當(dāng) n=1 時(shí)，+ ' + >5，SP26>, 1 + 1 1 + 2 3+1 2424 24所以a<26.而a是最大的正整

23、數(shù)，所以取a=25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：- + + -+L>25.n+1 n+23n+1 24當(dāng)n=1時(shí)，已證；11125假設(shè)當(dāng)n=k(k>1, kCN)時(shí)，不等式成立，即 + +>24，則當(dāng)n=k+ 1時(shí),+ 23 (k+ 1)+ +k+1 k+21+3k+ 11+3k+23k+325+ 3k+ 4k+1 > 24 +有-1+ -：(k+ 1) + 1(k+1)+ 一 "6 (k+1)6> (k+1)因?yàn)?k+2 3k+4 3 (k+1)+ D-2/、，3k+2 3k+4 9k2+18k+8 9k2+18k+9 3 (k+1)1,123k+2 3k+

24、4 3 (k+1)'112所以 十 >0.3k+2 3k+4 3 (k+1)所以當(dāng)n= k+1時(shí)不等式也成立.由知，對(duì)一切正整數(shù) n,都有11125n+1 + n+2+3n+1>24?所以a的最大值等于25.綜合題組練1. (2020寧波市諾丁漢大學(xué)附中高三期中考試)已知數(shù)列an滿足a = 3, an+1=a2+2an,nC N*,設(shè) bn= 10g2(an+ 1).(1)求an的通項(xiàng)公式；1.1.1(2)求證：1 +2+3+1 <n(n>2);n(3)若 2cn=bn,求證：2W Q <3.Cn解：(1)由 an+1 = a2+2an,則 an+1 +1

25、 = an+2an + 1 = (an +1)2,由a1=3,則an>0,兩邊取對(duì)數(shù)得到10g2(an+1+ 1)= 10g2(an+ 1)2= 2 10g2(an+ 1),即 bn+ 1 = 2bn.又 b= 10g2(a1+ 1)= 20,所以bn是以2為公比的等比數(shù)列.即 bn= 2n.又因?yàn)?bn= log2(an+ 1),所以 an=22n 1. .1 1 11(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=2時(shí)，左邊為1 +力+彳=公<2 =右邊，此時(shí)不等2 3 6式成立；假設(shè)當(dāng)n = k(k>2, kC N )時(shí)，不等式成立，1 11111則當(dāng)n=k+ 1時(shí)，左邊=1+2+3+/+ 盾;+廣1111111 k 人，及+了+m+ 27；k+那+/+ 了2個(gè),k+1=右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜上可得，對(duì)一切 nCN*, n>2,命題成立.證明：由2Cn=bn得Cn=n,cn+1 n1 + n n , 1 n所以 cT = n = 1+n，、，1 n1 O1/首先 1 + n = Cn+Cnn+Cnn -1-