1、§ 9.3橢圓基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1 .已知橢圓 親?2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0, 1),則m=()9A.1B.2C.3 D.4答案 D一 ?2 ? v3 一，_ 一一2 .已知橢圓C:?2+?=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為Fi、F2,離心率為過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若 AFiB的周長(zhǎng)為4版，則C的方程為(?吊?人3+2=1?B石+y 2=1?,2 ?C.T2+-8=.人2e2+3e-2=0,解得 e= 2或 e=-2(舍)，? ?3D.T2 + T=1答案 A?吊？?3 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是橢圓了+萬(wàn)=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

2、A(1,1),B(0,-1),則|PA|+|PB|的最大值為()A.5B.4C.3D.2答案 A一 ？ ？, ,一一八，-, 一一一，一一 ，,一 一4 .橢圓9+25=1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m,當(dāng)m取取大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.答案(-3,0)或(3,0)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)5 .以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率是()A.3B.132V2D.丁答案 D6.設(shè)橢圓? ?C:?2+?2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,P是C上的點(diǎn)，PF2，fiF2,/PFiF2=30 ° , C的離心率為()A.13B.3C.2D.

3、y答案 D7.設(shè)橢圓的方程為? ?府+?=1(?)孑a> 0),右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0 的兩實(shí)根分別為xi,x2,則？?+ ?的取值范圍是B.(1, 2A.(0, 2C.(1, 4D.(1,4 答案 D考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系、，、， 、E，“，？ C ,，-I , j ,、，“，8.(2019河北衡水中學(xué)五調(diào)，6)與橢圓彳+y 答案 x+2y-3=0 ?f ?2 .11.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:?2+?2=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且 MF2與x軸垂直直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N.3 . 一、 、(1)若直線M

4、N的斜率為4,求C的離心率；(2)若直線 MN 在y軸上的截距為 2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.?解析(1)根據(jù)題意知F1(-c,0),M (?；?).?2 0由kMN=4得蕓=4,即 2b 2=3ac,將 b2=a2-c2 代入得 2(a 2-c2)=3ac,2c 2-2a2+3ac=0, 1 1故C的離心率為2? 一 C一由題意，知原點(diǎn)。為F1F2的中點(diǎn)，MF2/y軸,設(shè)直線MF 1與y軸的交點(diǎn)為D,則D(0,2)是線段MF 1的中點(diǎn)，故?=4,即b2=4a,由 |MN|=5|F 1N| 得|DF 1|=2|F 1N|.設(shè)N(x 1,y1),由題意知y1<0,則 2鏟=。

5、,即?=-y, -2? = 2,? = -1.一 9?1-代入C的方程，得4?+?=1. 將及c= M ?-?代入得嚕臀+41?=1.解彳導(dǎo) a=7,則 b2=4a=28.故 b=2 V7.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn) 算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.=1有相同的焦點(diǎn)且與直線l:x-y+3=0相切的橢圓的離心率為()V2A.2v5B.T1C.21D.5答案 B? ?9.橢圓25+歷=1的左,右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,弦AB過(guò)Fi若4ABF2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為無(wú)，A,BR點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi ,yi),(X

6、2,y2),則|yi-y 2|的值為(5A.310B.yV5D.y4UC. 答案 A,，一 ？ ？，、，.一， 一， 、，一”10.已知P(1,1)為橢圓彳+元=1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，且弦與橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，則此弦所在直線的萬(wàn)程 為.綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一 與橢圓定義相關(guān)的問(wèn)題1 .（2018湖北十堰十三中質(zhì)檢，6）一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi,F2在x軸上,P（2,茵）是橢圓上一點(diǎn)，且|PFi|,|FiF2|,|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為（）.? ?3 .一？2 ?.A.-8 + -6=1B.T6+ 6-=1? ? ?C.4+T=1d._8+4

7、=1答案 A“，一一、j，“一? C，一 ，一, r，“，一、，一， ，一2 .（2019豫東豫北十校4月聯(lián)考，8）橢圓C:?+y 2=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PFi,PF2的中點(diǎn)分別為M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為2貧，則PF1F2的周長(zhǎng)是（）A.2（ V2+ 4）B.4+2 v3C.V2+v3D.+2 逐答案 A，一 ？ ？彳，八 , 一 ,3 .（2018湖北重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考，7）已知橢圓彳+5=1的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，則 ABF1內(nèi)切圓的半徑為（）443A.3B.1

8、C.5D.4答案 D考法二 橢圓離心率問(wèn)題的求法4.（2019福建3月質(zhì)檢，9）設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P,Q兩點(diǎn).若PF1F2為直角三角 形，則E的離心率為（）A.V2-1為-1B.-2-D.V2+1答案 A5.（2018河北衡水金卷二模，7）我國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器 一一“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后 ，在地球 軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進(jìn)入月或軌道，“嫦娥一號(hào)”軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R,衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是2?翼如圖所示，則“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星軌道的離心率為（）答案 A

9、一 ? ? .，一' 一 ,一 ?，.一 一6.(2019河北武邑中學(xué)二模，12)設(shè)F,B分別為橢圓用+%=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，C是直線y=奇與橢圓在第 一象限內(nèi)的交點(diǎn) 若？?強(qiáng)?？入？?獅橢圓的離心率是()A.2 V2+1B.2V2-172Z1C. 3d.v2-1答案 A考法三 直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的解法>, 、 ，一 ？ ？房, 一7.(2019北京清華中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力試卷又，6)已知橢圓轉(zhuǎn)+?=1(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過(guò)F1的直線交橢圓于 A,B兩點(diǎn)若|AF2|+|BF 2|的最大值為283，則該橢圓的離

10、心率為()3V2A工1C.25D.9答案 B 8.(2017北京，19,14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為下.(1)求橢圓C的方程；點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓 C于不同的兩點(diǎn) M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:ABDE與 BDN的 面積之比為4 : 5.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線的方程等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. ? ?(1)設(shè)橢圓C的萬(wàn)程為?+?2=1(a>b>0).?= 2,由題意得 ?_， ?= 2'解彳導(dǎo)C=頁(yè).所以 b2=a2-c2=1. .一 .?夕 C所以橢圓C的方程為7+y

11、2=1.(2)證明：設(shè) M(m,n), 則 D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m，± 2,昆，0.?直線AM的斜率kAM = ?+2,故直線DE的斜率kDE=-?2.所以直線DE的方程為y=- ?+2(x-m).直線BN的方程為y=馬(x-2).2- ?+2?= -(x-m), 聯(lián)立?= 2Z?(x-2),一 ,?(4?夕)解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=- 4:算裝.由點(diǎn)M在橢圓C上，得4-m 2=4n 的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為qc.(1)求橢圓E的離心率；5 .如圖,AB是圓M:(x+2) 2+(y-1) 2= 2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A,B

12、兩點(diǎn),求橢圓E的萬(wàn)程.所以 yE=- 4n.5又 Sabde=；|BD| . |yE|=2|BD| . |n|,c1,f-，SaBDN = 2|BD| |n|, 所以4BDE與4BDN的面積之比為 4 ： 5.【五年高考】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2019 課標(biāo) I,10，吩)已知橢圓C 的焦點(diǎn)為 Fi(-1,0),F2(1,0)，過(guò) F2 的直線與 C 交于 A,B 兩點(diǎn)若|AF2|=2|F 2B|,|AB|=|BF i|,則 C 的方程為(?A.y+y 2 = 1? ?叼+E=1?吊?匕+? ?夕d7+L答案 B2.(2019 課標(biāo)八、一，一？彳？,15，吩)設(shè)Fi,F2為橢圓C:3

13、6+為=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形，則M的坐?23.(2015 陜西,20,12 分)已知橢圓 E:：?2+%=1(a>b>0)標(biāo)為.答案 (3,、詞解析(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,.一. ? ?則原點(diǎn)O到該直線的距離d=- =與一，?+?由d= 2c,得a=2b=2 M鈉?，可得離心率?=晟 解法一：由知橢圓E的方程為x2+4y 2=4b 2.依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|= 30.易知,AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k 2)x2+8k(2k+1

14、)x+4(2k+1)2-4b 2=0.設(shè) A(x 1,y1),B(x2,y2),-8?(2?+1)貝Ux1+x2=- 1+4?2 ,4(2?+1)2-4?彳 x1x2=1+4?2由 X1+X 2=-4,得-8?(2?+1)1+4?2=-4,.一 1解彳導(dǎo)k=；.從而 xiX2=8-2b 2.于是 |AB|=0 + ( 2) |xi-X2| =_ V(?1?+ ?)2-4?=M 10(?2).由|AB|=”0得，10(?2)= 屈解彳導(dǎo)b2=3.一 一、一I .?2?故橢圓E的方程為？?+?=1.解法二：由(1)知橢圓E的方程為x2+4y 2=4b 2.依題意，點(diǎn)A,B關(guān)于圓心 M(-2,1)對(duì)

15、稱，且|AB|= W. 設(shè) A(x 1,y1),B(x2,y2),則？?+4 ?=4b 2,?+4 ?=4b 2,兩式相減并結(jié)合 x1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得-4(x 1-x2)+8(y 1-y 2)=0,易知AB與x軸不垂直，則x1，x2, 所以AB的斜率kAB=?0=2.1因此直線AB的萬(wàn)程為y=2(x+2)+1,代入得 x2+4x+8-2b 2=0.所以 x1+x 2=-4,x 1x2=8-2b 2.一一/. 1 2于是 |AB|=，1 + (2) |x1-x2|v5=7，(？?+ ?)2-4?=V 10(?2).由 |AB|=用，得 V 10(?2)=”0,解彳導(dǎo)b2=3

16、.，一一 一、 ，?2 ?故橢圓E的方程為石+至=1.解題關(guān)鍵對(duì)于第(2)問(wèn)，利用弦長(zhǎng)及韋達(dá)定理或點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)八，“一 ？9?, 一、- r4.(2017浙7X,2,4分片隋圓9+彳=1的離心率是()V13V52A.-B.yC.3答案 B5.(2019北京,4,5分)已知橢圓A.a2=2b 2B.3a2=4b 25 D.9?吊？ 1 一,?>+ ?2=1(a>b>0)的離心率為 2,則()C.a=2bD.3a=4b一. ?吊？ 一 . V36.(2018課標(biāo)口，12，吩)已知Fi,F2是橢圓C：河+另=1(a>b>0)的

17、左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為-6的直線上, PF1F2為等腰三角形，/FiF2P=120 ° , C的離心率為()2111A.3B2c.3d<4答案 D ? ?§. . 7.(2017課標(biāo)W,10，吩)已知橢圓C:?2+?=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為 A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0 相切，則C的離心率為()v6A. 3V3B.yv2C.y1D.3答案 A? ?8.(2016課標(biāo)W,11，吩)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn) 下是橢圓C:+彳=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為

18、C上一點(diǎn)，且PF±x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()1123A.3B.2C.3D.4答案 A 、.、一，一? ? ？ ? .一 .、，一一9.(2018北京，14,5分)已知橢圓M:/+?2=1(a>b>0),雙曲線N:利-契=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為 ;雙曲線N的離心率為 .答案遂1;2、，一，一_ -，一 _ ? ?彳_10.(2019江蘇,17,14分)如圖在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C:?+另=1(a>b>

19、;0)的焦點(diǎn)為Fi(-1,0),F 2(1,0).過(guò)F2作x軸的垂線l,在x軸的上方，l與圓F2：(x-1) 2+y2=4a 2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AFi并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連一，5接 DF1.已知 DFi=2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).解析 本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)?Fi(-1,0),F 2(1,0),所以 FiF2=2,c=1.又因?yàn)?DF1=5，AF2，x 軸，所以 DF2=，？?，

20、= %5) -22=|.因止匕 2a=DF 1+DF 2=4,從而 a=2.由 b2=a 2-c2,得 b2=3.一一 ,八、 ，?因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為彳+于=1.,一 _ ?？解法一：由(1)知橢圓C:7+萬(wàn)=1,a=2.因?yàn)锳F2，x軸所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y 2=16,解彳t y= + 4.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1,4).又 Fi(-1,0),所以直線 AFi：y=2x+2.?= 2?+ 2,由%?1)2 + ?=l/5x2+6x-11=0，解彳# x=1或x=- '.將 x=- "5-代入 y=2x+2,得 y=- -

21、5-.因此B(4-12). 553又 F2(1,0),所以直線 BF2：y= 4(x-1).313或 x= y.?= (x-1),由? ? 得 7x2-6x-13=0,解彳> x=-1了+ 至=1， 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以x=-1.,.,3-3將 x=-1 代入 y= 4(x-1),得 y=- 2.一一3因此 E(-1,-2). ? ?解法二：由(1)知橢圓C：T+y=1.如圖，連接EF1.因?yàn)?BF2=2a,EF 1+EF2=2a,所以 EF=EB,從而 /BF1E=/ B.因?yàn)?F2A=F 2B,所以 / A= / B.所以 /A= /BF1E,從而 EF1 H F2

22、A.因?yàn)锳F2，x軸所以EF1 _Lx軸.?= -1,3因?yàn)?F1(-1,0),由? _ .解彳導(dǎo) y= +2.T + T= 1,23又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以y=-2.3因此 E(-1,-3). 、一一？ ?11.(2019 天津,18,13 分)設(shè)橢圓？2+?2=1(a>b>0)考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系，一，一一.，、 一,苫的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為 4,離心率為.(1)求橢圓的方程；設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn) 點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|OF|(O 為原點(diǎn))，且 OP XMN,求直線PB的斜率

23、.解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為 c,依題意,2b=4, ?= V又a2=b 2+c 2,可得a= v5,b=2,c=1.- -一 -,、，？ ？所以，橢圓的方程為虧+彳=1.?= ? 2,8-10?彳由題意，設(shè)P(xp,yp)(xp，0),M(x m,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k，0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立? 整理得(4+5k 2)x2+20kx=0,可得xp=?2代入y=kx+2 得yP=?2,進(jìn)而直線 OP的斜率

24、木=?.在y=kx+2 中，令_ + _ = 14+5?4+5?/?9？ -10?y=0,得xM=-2沖題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-?由OPLMN,彳1螺2 (-?=1化簡(jiǎn)得k2=24，從而k= ±W°. ?2-10?255所以，直線PB的斜率為產(chǎn)或-冷.思路分析(1)根據(jù)條件求出基本量 a,b得到橢圓方程.(2)要利用條件OP LMN,必須求P點(diǎn)和M、N點(diǎn)坐標(biāo).由直線PB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到P點(diǎn)坐標(biāo)，求出M及N點(diǎn)坐標(biāo)，利用kOP kMN =-1 求出 kPB. 2212.(2018天津,19,14分)設(shè)橢圓？2+?2=1(a>b>0)的右頂

25、點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為5,|AB|= 3.(1)求橢圓的方程；設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若4BPM的面積是4BPQ面積的2 彳§,求k的值.解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.?5 一， c C C 一F_(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有？? = 9,又由a2=b 2+c2,可得2a=3b.由|AB|= M ?，？=M3,從而a=3,b=2.-, ? ?所以，橢圓的方程為§+彳

26、=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x 1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x 1,-y 1).由4BPM的面積是ABPQ面積的2倍, 可得 |PM|=2|PQ|,從而 x2-xi=2x 1-(-x 1),即 x2=5x i. .2?+ 3?= 6一 6.?_|.竺 = 一一 6易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2?;二?？ 6,消去y,可得x2=£.由方程組 9 + 41,消去y,可得xi = =.，9?+4?= ?由 x2=5x 1，可得，9?+ 4=5(3k+2),兩邊平方，整理得 18k2+25k+8=0,解彳導(dǎo) k=

27、- 8或 k=- 1. 92當(dāng)k=- 8時(shí),x2=-9<0,不合題意，舍去； 9當(dāng)k=- 1時(shí),x2=12,x 1 =符合題意. 25 1所以,k的值為-1.解題關(guān)鍵第(2)問(wèn)中把兩個(gè)三角形的面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P、M的橫坐標(biāo)間的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于k的方程是求解的難點(diǎn)和關(guān)鍵* 一 ? c .13.(2018課標(biāo)全國(guó)I,19，像)設(shè)橢圓C:y+y 2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/OMA= / OMB. 解析(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1, 由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,羽或(

28、1,-舁 所以 AM 的方程為 y=- -yx+ -v2y= y-x- v2.證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，/OMA= /OMB=0° , 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)直線OM為AB的垂直平分線， 所以/OMA= /OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè) l 的方程為 y=k(x-1)(k w0),A(x i,yi),B(x2,y2),2?2-3k(?1+?72)+4k貝U xi< v2,x2< v2,直線 MA,MB 的斜率之和為 kMA+k MB = ?-2+蔡,由 y i=kx i-k,y 2=kx 2-k 得 kMA+k mb =,.、？夕ccc cc將 y=k(x-1)代入 2+

29、y 2=1 得(2k2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,4?2?彳-2所以，xi+x 2=2?;7,xix2=2?;7.則 2kx ix2-3k(x i+x 2)+4k=4?-4k-12?3+8? +4k2?與+1=0,從而kMA+k mb=0,故MA,MB 的傾斜角互補(bǔ)，所以/OMA= /OMB.綜上,/OMA= /OMB.、 ? ? 14.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的萬(wàn)程為 刃+?=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線 段AB上，滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e;設(shè)點(diǎn)C的

30、坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn).證明：MN XAB.解析(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a,；b),33p jv511 -v- ? v5又k0M =而,從而2?=行. 一Fn,? 2V5進(jìn)而 a= v5b,c= V ?=2b.故 e= ?= -5-.證明：由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(：?-?,可得？?(?.又?a,b),從而有？?-6a2+5b2=6(5b2-a2).由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2=5b 2,所以？?？=0,故MN XAB.評(píng)析 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直，較難.教師專用題組考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、，,，八、r，一，一C ?，一、一，一

31、八、一，一一，一1 .(2014安徽,14,5分)設(shè)Fi,F2分別是橢圓E:x2+?2=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Fi的直線交橢圓 E于A,B兩點(diǎn)若|AFi|=3|F iB|,AF2，x軸，則橢圓E的方程為答案 x2+3y2=12 .(2011課標(biāo),14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，離心率為過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),HAABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.生 ?答案16+1T1、一， ?吊？2. , ,V23 .(2015福建,18,13分)已知橢圓E:狎+?=1(a>b>0) 過(guò)點(diǎn)(0,。2),且離心率e

32、y(1)求橢圓E的方程；9(2)設(shè)直線l:x=my-1(m G R)交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G(-4,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.?= V2,?= 2,解析(1)由已知得?= , 解得 ?=餡 ? = ? + ?= 3 .- -一,? ?所以橢圓E的方程為了+萬(wàn)=1.解法一：設(shè)點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中點(diǎn)為 H(x0,y0).?= ?-1, 由?得(m2+2)y 2-2my-3=0,T+ T= 1 2?3 所以 y1+y 2=?T+2-,y1y2=- ?2+2-,? 從而 y0=?2+2-.92c52c - c525所以 |GH| 2= (?B

33、 + 4) +? = (?+ 4) +?=(m 2+1) ?+2my 0+6.|?1 (?-1-?)2+(?1-?)2 (1+?2)(?!-?)24 =4=422= (1+?2)(?1+?2) -4?=(1+m 2)(?-y1y2),，小，2 |?25-2、255?23(1+?2)2517?2+2-故1GHi -丁 =2my0+(1+m )y1y2+花=2(?-?2+石=+2T>°,所以|GH|> |等1 9故點(diǎn)G(-4,0)在以AB為直徑的圓外.解法二:設(shè)點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2),則？?？ + 9,?),?3 + 9,?).?= ?-i,由?得(m2+2)

34、y 2-2my-3=0,T+ T= 12?3所以 yi+y 2=?2+2,yiy2=-?2+2,99從而？?+ 4) (?, + 4) +y iy2=(? + 5) (? + 5) +y iy2c525=(m 2+1)y iy2+4m(y 1+y 2)+而_ -3(?2+1) 2?2 25?>+2 ?2+2 i6_ i7?2+2=i6(?2+2) >0,所以cos< ?0.又？?洪線所以/ AGB為銳角.,9故點(diǎn)G(-4,0)在以AB為直徑的圓外.，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力 ，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸評(píng)析本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí) 與轉(zhuǎn)化思想、函

35、數(shù)與方程思想.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì).一 ？ ？?.3?.一4.(2012課標(biāo),4,5分)設(shè)尸1尸2是橢圓E:?+;=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，P為直線x="2上一點(diǎn)， F2PF1是底角為30 °的等腰三角形，則E的離心率為(A.2BlC.4D.43個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.答案 C_ _ 八，一、，一 ? C5.(2016 浙7X,19,15 分)如圖，設(shè)橢圓？2+y 2=1(a>1).求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有解析(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為?= ?

36、1,由?2 得(1+a 2k2)x2+2a 2kx=0,?2+ ?= 12?森故 x1=°，x2=-1+?2?2.因此 |AP|= V1+ ?|xi-x2|=2?2k12 V1 + ?(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有 記直線AP,AQ的斜率分別為由(1)知,|AP|=2?2?|必+?24個(gè),由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足|AP|=|AQ|.k1,k2,且 k1,k2>0,k 1，k2.2?2?圖必+?21+?2?,|AQ|1+?2?專2?周?？ |%+?2 2?吊i?&yi+?21+?2?1+?所以(?-?)1+ ?+ ?+a2(2-a 2)?=0.

37、由于 k1 wk2,k1,k2>0 得 1+?+?+a2(2-a2)?=0,一一 1,、 ，1因此(多+9(?+ 1)=1+a 2(a2-2),因?yàn)槭疥P(guān)于ki,k2的方程有解的充要條件是因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有1+a 2(a2-2)>1,所以 a> /.3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a <v2,.? ?-1 一.由e=萬(wàn)一?-得，所求離心率的取值范圍為V20<e 0 -2-.評(píng)析 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力、一八 ，一，_,一一,八 r , r 一 ？ ？吊一，

38、 ， , 一， ，一，6.(2014江蘇,17,14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,F1、F2分別是橢圓方+另=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn) C,連接FiC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3)，且BF2= v2,求橢圓的方程；若FiCLAB,求橢圓離心率 e的值.解析設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F 2(c,0).(1)因?yàn)?B(0,b),所以 BF2= V ?+ ?=a.又 BF2= V2,故 a= V2.因?yàn)辄c(diǎn)C(4,1)在橢圓上，3 3161所以胃+瀘,解彳導(dǎo)b2=1.故所求橢圓

39、的方程為會(huì)y 2=1.(2)因?yàn)?B(0,b),F 2(c,0)在直線 AB 上,? ?”?+ ?= 1 解方程組 ? + ?2 =?= 得1,?=2?2 c?+? , ? = 0, ?(?) ?= b.?+? ,.2?2c ?(為?為所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(而存,R?T).一. 一， 2?2c ?(?.?)又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(存存，皆?石).?(?-?)因?yàn)橹本€FiC的斜率為篇+了=票鬻，直線AB的斜率為-?力FiCXAB,所以娑翼。(-條-結(jié)合b2=a2-c2,整理得a2=5c 2.故中-(C.“一e2= 5.因止匕e=一、，、，一一？ ？2 一， 一7.(201

40、5重慶,21,12分)如圖,橢圓河+?=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi,F2,過(guò)F2的直線交橢圓于 P,Q兩點(diǎn)，且PQXPFi.若|PFi|=2+ v2,|PF2|=2- 3,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.解析 (1)由橢圓的定義，有2a=|PF i|+|PF 2|=(2+ 花)+(2- =4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為 c,由已知 PFi，PF2,得 2c=|F iF2|= M |?+ |P?|2 = %2 + v2)2 + (2-2) 2 =2 遙即 c=逸從而 b= V ?=1. ?c故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 了+y2 =1.(2)

41、解法一：連接FiQ,如圖，設(shè)P(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且PFPF2,所以?+£?+?=c2,.一?求得 X0= 土?M?2?,y0= 土?由|PFi|=|PQ|>|PF 2|得 x0>0, 2 ?/?2-2?從而 |PFi|2 = (-?+ c) +?=2(a 2-b 2)+2a V ?2?2=(a+ V?-2?)2.由 PF JPF2,|PFi|=|PQ|,知 |QFi|= v2>Fi|.因止匕(2+ v2)|PFi|=4a,即(2+ v2)(a+ V ?2?)=4a,于是(2+ v2)(1+ V 2?1)=4,解彳導(dǎo) e="1 + (47j-

42、1) =v6-3. 22+ v2解法二:連接 FiQ,由橢圓的定義，有|PFi|+|PF 2|=2a,|QF 1 |+|QF 2|=2a.從而由 |PFi |=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QF i|=4a-2|PF i|. 又由 PFPQ,|PFi|=|PQ|,知 |QFi|=亞|PFi|,因此,4a-2|PF i|= v2|PFi|,得|PFi|=2(2- V2)a,從而 |PF2|=2a-|PF i|=2a-2(2-亞)a=2( a-1)a.由 PF JPF2,知|PFi|2+|PF2|2=|F iF2|2=(2c) 2,因此 e=?=上?票2 =42-*)2+ (v2-1)

43、2 = 96v2 =通-餐.考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系8.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P(如圖).(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)P,且與直線l:y=x+芯交于A,B兩點(diǎn).若4PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.,.?14與切線圍成的三角形面積為S=2f解析(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y 0>0),則切線斜率為-帝切線方程為y-y 0=-?(x-x 0)，即x0x+y 0y=4.此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸?=?,由？?+ ?=4 )2x0y。知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=/

44、時(shí)x0y0有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn) ? ? 0? 0P的坐標(biāo)為(v2,整).? ?設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程為？?+?2=1(a>b>0),?點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2).由點(diǎn) P 在 C 上知£+4=1，并由西 + 2? = 1,?=?+ v3得 b 2x2+4 v3x+6-2b 2=0,4V3? + ?=-旬, 又x1,x2是方程的根，因此6 2?2 "? = -2- ,_，48-24?3+8?4由 y 1=x 1+v3,y2=x 2+v3彳導(dǎo)|AB|= v2|x1-x2|=v2 - 由點(diǎn)P到直線l的距離為掾及SAPAB=2xi|AB|=2得b4-9b

45、2+18=0,解彳導(dǎo)b2=6或3,因止匕 b2=6,a 2=3(舍)或 b2=3,a 2=6,1、9.(2018江蘇,18,14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中橢圓C過(guò)點(diǎn)(叮)，焦點(diǎn)Fi(-/,0),F2(v3,0)，圓O的直徑為FiF2.求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；一 .2、君直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)若4OAB的面積為276,求直線l的方程.解析 本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)考查分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.解法一 :(1)

46、因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-v3,0),F2(v3,0),?吊？所以可設(shè)橢圓C的方程為部+/=1(a>b>0).又點(diǎn)(v3,1)在橢圓C上，所以訶+/=1,解得? = 4,2?-? = 3,?= 1.一一 一、 ,? c因此，橢圓C的方程為彳+y 2=1.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y 2=3.(2)設(shè)直線l 與圓 O 相切于 P(X0,y0)(X0>O,y 0>0),則？+?=3.所以直線l的方程為y=- ?0(x-x0)+y 0,即y=- ?x+?.?2+ ? = 1,由?3消去y，得?= - X +?/ ?(4?+?)x2-24x 0X+36-4 ?

47、=0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 =(24x 0)2-4(4 ?+ ?)(36-4 ?)=48 ?(?-2)=0.因?yàn)?x0,y0>0,所以 x0=/,y0=1.因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(也,1).因?yàn)槿切蜲AB的面積為2-76,_124.4V2所以 2AB - OP= -7-,從而 AB=.設(shè) A(x 1,y1),B(x2,y2),24?3±松8?0(?0-2)由(Hr x1,2=2(4?峪+?同)所以 AB2=(x 1-x2)2+(y 1-y 2)2(1 + 律. (4?+?27?048?的?帝2)因?yàn)椋?+?=3,所以 AB2= 16*22=3|，即 2

48、?-45?+100=0.(?+1)491解得？?=|(?=20舍去)則?？=1,因止匕P的坐標(biāo)為(0,昌.則直線l的方程為y=- v5x+3 vI.解法二:(1)由題意知c=,所以圓。的方程為x2+y 2=3,因?yàn)辄c(diǎn)(£)在橢圓上，所以 2a=qv3-3)2 + (2-0)2+%*+ £)2 + (-0)2=4,所以a=2.因?yàn)閍2=b 2+c2所以b=1,_ ，一 ， 、, ?3)所以橢圓C的方程為T+y2=1.(2)由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切，且切點(diǎn)在第一象限，所以直線l的斜率k存在且k<0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0,m>0),將直

49、線l的方程代入圓O的方程得x2+(kx+m) 2=3,整理得(k2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0,因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以 =(2km)2-4(k 2+1)(m 2-3)=0,整理得m2=3k 2+3, ，一一、 一 ？c將直線l的方程代入橢圓C的方程，得不+(kx+m) 2=1,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以 =(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0,整理得m 2=4k 2+1,所以3k2+3=4k 2+1,因?yàn)閗<0,所以k=-三，則m=3,將 k=- v2,m=3 代入(k2+1)x 2+2kmx+m

50、2-3=0,整理得 x2-2v2x+2=0,解彳# xi=x 2= v2將 x=業(yè)代入 x2+y 2=3,解彳導(dǎo)y=1(y=-1舍去),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(J2,1).設(shè) A(xi,kx i+m),B(x 2,kx2+m),由知 m2=3k 2+3,且 k<0,m>0,因?yàn)橹本€l和橢圓C相交，所以結(jié)合的過(guò)程知 m2<4k 2+1,解彳1 k<- v2, 將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,解彳導(dǎo)x1,2=-8?加4?彳+1 -?22(4?2+1)4夕-2 4?+1- v?+i .岳 276,甲，?？+14v/4?!+1 -

51、?2所以 |x1-x2|=4?不一,n 44?2 + 1 -?2E 因?yàn)?AB= M (?)2 + (k?-k?)2=|x 1-x2|V?+1=4?+1 V?+ 1,.一、|?|O至1J l的距離d= =算， ，?+1L1 4”?？+1 -?2R所以 SaQAB= 2 , -4?,+ - V?+ 1解彳導(dǎo)k2=5,因?yàn)閗<0,所以k=- ,則m=3 v2,即直線l的方程為y=- 3x+3 v2.解后反思(1)常用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程.(2)直線與圓相切，常見(jiàn)解題方法是設(shè)切點(diǎn)求切線方程，由于涉及直線與橢圓相切，因此也可設(shè)出直線方程求解 因?yàn)?AQB的面積為 ，而4AQB的高為百，所以解題關(guān)鍵是求 AB的長(zhǎng)，可利用弦長(zhǎng)公式AB= ' (?)2 + (?-?)2= M1+ ? - V(?-?)2 = V1 + ? |x1-x2|(x1、x2 分別為 A、B 的橫坐標(biāo))求解.一.一一一？? .一，.1 一 C 一10.(2017天津,19,14分)設(shè)橢圓？?；+%=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F右頂點(diǎn)為A,離心率為1.已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到一、.1拋物線的準(zhǔn)線l的距離為2.(1)