1、圓錐曲線第一部分 五年高考薈萃2009年高考題一、選擇題1.（2009全國卷理）設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )A.B.2 C.D.【解析】設(shè)切點，則切線的斜率為.由題意有又解得:.【答案】C2.（2009全國卷理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=( )A. B. 2 C.D. 3【解析】過點B作于M,并設(shè)右準線與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A3.（2009浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的離心率是 ( )A B C D

2、【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，則有，因【答案】C4.（2009浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點若，則橢圓的離心率是（ ）A BCD【解析】對于橢圓，因為，則【答案】D5.（2009北京理）點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是 ( ) A直線上的所有點都是“點” B直線上僅有有限個點是“點” C直線上的所有點都不是“點” D直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作

3、數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè)，則，消去n,整理得關(guān)于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有實數(shù)解，應(yīng)選A.6.(2009山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.【解析】雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故選D.【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.(2009山東卷文)設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若OAF(O為坐標原點)的面積為4,則

4、拋物線方程為( ).A. B. C. D.【解析】拋物線的焦點F坐標為,則直線的方程為,它與軸的交點為A,所以O(shè)AF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B.【命題立意】:本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應(yīng)變化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一.8.（2009全國卷文）雙曲線的漸近線與圓相切，則r= ( ) A. B.2 C.3 D.6【解析】本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=.【答案】A9.（2

5、009全國卷文）已知直線與拋物線C:相交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k=(). . .【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=.【答案】D1.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為的是. . . .【解析】由得，選B.11.（2009福建卷文）若雙曲線的離心率為2，則等于( )A. 2 B. C. D. 1【解析】由，解得a=1或a=3，參照選項知而應(yīng)選D.12.（2009安徽卷文）下列曲線中離心率為的 是(. ( )A. B. C. D. 【解析】依據(jù)雙曲線的離心率可判斷得.選B。13.（2009江西卷文

6、）設(shè)和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為ABCD3【解析】由有,則,故選B.14.（2009江西卷理）過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為ABC D【解析】因為，再由有從而可得，故選B15.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B . C . D.【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為16.(2009湖北卷理)已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是( )A. B. C. D. 【解析】易得準線方程是所以 即所以方程是聯(lián)立可得由可

7、解得A.17.（2009四川卷文、理）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是，于是兩焦點坐標分別是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.·18.（2009全國卷理）已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則( )A. B. C. D. 【解析】設(shè)拋物線的準線為直線 恒過定點P .如圖過分 別作于,于, 由,則,點B為AP的中點.連結(jié),則, 點的橫坐標為, 故點的坐標為, 故選D.19.（2009全國卷理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜

8、率為的直線交于兩點，若,則的離心率為 ( )AB. C. D. 【解析】設(shè)雙曲線的右準線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角,由雙曲線的第二定義有.又 .【答案】A20.（2009湖南卷文）拋物線的焦點坐標是（ ）A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）【解析】由,易知焦點坐標是，故選B.21.（2009寧夏海南卷理）雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為( )A. B.2 C. D.1【解析】雙曲線-=1的焦點(4,0)到漸近線的距離為,【答案】A22.（2009陜西卷文）“”是“方程”表示焦點在y軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不

9、充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】將方程轉(zhuǎn)化為, 根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須滿足所以.【答案】C23.（2009全國卷文）設(shè)雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）A. B.2 C. D.【解析】由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即，故選擇C.24.（2009湖北卷文）已知雙曲線（b0）的焦點，則b=( )A.3 B. C. D.【解析】可得雙曲線的準線為,又因為橢圓焦點為所以有.即b2=3故b=.故C.27.（2009天津卷理）設(shè)拋物線=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，

10、與拋物線的準線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比=( )A. B. C. D.【解析】由題知，又由A、B、M三點共線有即，故，故選擇A。28.（2009四川卷理）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C.D.【考點定位】本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離，綜合題。【解析1】直線為拋物線的準線，由拋物線的定義知，P到的距離等于P到拋物線的焦點的距離，故本題化為在拋物線上找一個點使得到點和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即，故選擇A。【解析2】如圖，由題意可知【答案】A二、填空題29.（2009寧夏海南卷理）設(shè)已知拋物線C的頂點在

11、坐標原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為_.【解析】拋物線的方程為，30.（2009重慶卷文、理）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為【解析1】因為在中，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點由焦點半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率【解析2】 由解析1知由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.【答案】31.（2009北京文、理）橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則；的大小為.【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于

12、基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.，又， 又由余弦定理，得，故應(yīng)填.32.（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為【解析】，則所求橢圓方程為.33.（2009四川卷文）拋物線的焦點到準線的距離是.【解析】焦點（1，0），準線方程，焦點到準線的距離是2.34.（2009湖南卷文）過雙曲線C：的一個焦點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若（O是坐標原點），則雙曲線線C的離心率為.【解析】, 35.（2009福建卷理）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則_【解析】由題意可知過焦點的直線方程

13、為，聯(lián)立有，又。36.（2009遼寧卷理）以知F是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為?！窘馕觥孔⒁獾絇點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為F(4,0), 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 兩式相加得|PF|PA|9,當且僅當A、P、F三點共線時等號成立.【答案】937.（2009寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若為的中點，則拋物線C的方程為 。【解析】設(shè)拋物線為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得：x2kx0，k2×2，故.【答案】38.(2009湖南卷理)已知以雙曲線C的

14、兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為 .【解析】連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是是虛半軸長，是焦半距，且一個內(nèi)角是，即得，所以，所以，離心率.39.（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_.【解析】依題意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3?！敬鸢浮?三、解答題40.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.(1)求橢圓G的方程

15、；(2)求的面積；(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.解（1）設(shè)橢圓G的方程為：（）半焦距為c;則,解得,所求橢圓G的方程為：.(2 )點的坐標為（3）若，由可知點（6，0）在圓外，若，由可知點（-6，0）在圓外；不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.41.（2009浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值解（I）由題意得所求的橢圓方程為，（II）不妨設(shè)則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢

16、圓有兩個不同的交點，所以有，設(shè)線段MN的中點的橫坐標是，則，設(shè)線段PA的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為142.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為（I）求與的值；（II）設(shè)拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點若是的切線，求的最小值解（）由拋物線方程得其準線方程：，根據(jù)拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。則，當 則。聯(lián)立方程，

17、整理得：即：，解得或，而，直線斜率為，聯(lián)立方程整理得：，即：，解得：，或，而拋物線在點N處切線斜率：· MN是拋物線的切線，· 整理得，解得（舍去），或，43.（2009北京文）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值.【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力解（）由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.（）設(shè)A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為， 由得（判別式）,點在圓上，.

18、44.（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，且，設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則，且，.的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，設(shè)A、

19、B兩點的坐標分別為，則，的大小為.（且，從而當時，方程和方程的判別式均大于零）.45.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A（2，2），其焦點F在軸上。（1）求拋物線C的標準方程；（2）求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為，求關(guān)于的表達式。46.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且

20、？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當時因為所以,所以,

21、所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當AB的斜率不存在時,兩個交點為或,所以此時,綜上,|AB|的取值范圍為即:【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.47.(2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標系中,已知向量,向量,動點的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;(3)已知,

22、設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因為,所以, 即.當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時,方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓;當時,方程表示的是雙曲線.(2).當時,軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的

23、任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.(3)當時,軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,由（2）知,即,因為與軌跡E只有一個公共點B1,由（2）知得,即有唯一解則=, 即, 由得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點,由中,所以,B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因為當且僅當時取等號,所以,即當時|A1B1|取得最大值,最大值為1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.48.（2009全國卷文）（本小題滿分1

24、2分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。解（）設(shè) 當?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為， 故 ， 由 ，得 ，=（）C上存在點，使得當繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知C的方程為+=6. 設(shè)() C成立的

25、充要條件是， 且整理得 故 將 于是 , =,代入解得，此時于是=， 即 因此， 當時， ； 當時， 。（）當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。綜上，C上存在點使成立，此時的方程為.49.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知曲線與直線交于兩點和，且記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點，試求的最小值解（1）聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.xAxBD（

26、2）曲線，即圓：，其圓心坐標為，半徑由圖可知，當時，曲線與點有公共點；當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.50.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明:點是橢圓與直線的唯一交點；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解析：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。證明 （I）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.(方法二)顯

27、然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得即故P與Q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。51.（2009江西卷文）（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓,其中為橢圓的左頂點.（1）求圓的半徑;（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，G證明：直線與圓相切（1）解設(shè)，過圓心作于,交長軸于由得,即 (1)而點在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 證明設(shè)過點與圓相切的直線方程為: (3)則,即 (4

28、)解得將(3)代入得,則異于零的解為設(shè),，則則直線的斜率為：于是直線的方程為:即則圓心到直線的距離故結(jié)論成立.52.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）已知點為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.(1) 求線段的中點的軌跡的方程;(2) 設(shè)軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點. (1) 解 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設(shè),則,即代入得:,即的軌跡的方程為. (2) 證明 在中令得,則不妨設(shè),于是直線的方程為:, 直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為:,令得:,而在上,則,于是,

29、即以為直徑的圓過兩定點.53.（2009天津卷文）（本小題滿分14分）已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且（求橢圓的離心率；（）直線AB的斜率；（）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值。解 （1）由，得,從而，整理得，故離心率（2）由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設(shè)直線AB的方程為即由已知設(shè)則它們的坐標滿足方程組消去y整理，得依題意，而，有題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達定理中解得.(3)由（2）知，當時，得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接

30、圓的方程為直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故當時，同理可得.54.(2009湖北卷理)（本小題滿分14分）過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。（）當時，求證：；（）記、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解 依題意，可設(shè)直線MN的方程為， 則有由 ，消去x可得從而有于是又由，可得（）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線此時可得證法1：證法2：()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立證法2：

31、如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點O，同理可證直線也經(jīng)過原點O又設(shè)則56.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。解（I）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 . （II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得，又化簡得解得 所求直線的方程為 . 57.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭蕿?時，

32、坐標原點到的距離為（I）求，的值；（II）上是否存在點P，使得當繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。解(I）設(shè)，直線，由坐標原點到的距離為 則，解得.又.（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) 代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達定理有：.假設(shè)存在點P，使成立，則其充要條件為：點，點P在橢圓上，即。整理得。又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當;當.58.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.（）

33、求橢圓C的方程;（）設(shè)點P是橢圓C的左準線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M,N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解 （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以故橢圓C的方程為（）橢圓C的左準線方程為所以點P的坐標，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點M，N的坐標分別為線段MN的中點為G，由得. 由解得. 因為是方程的兩根，所以，于是=，因為，所以點G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即解得，此時也成立.故直線斜率的取值范圍是59.（2009福建卷理）（本小題滿分13分

34、）已知A,B 分別為曲線C： +=1（y0,a>0）與x軸的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S為上異于點B的一點，連結(jié)AS交曲線C于點T.(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。解 方法一()當曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得BOT=60°或120°.(1)當BOT=60°時, SAE=30°.又AB=2,故在SAE中,有 (2)當BOT=120°時,同理可求得

35、點S的坐標為,綜上,()假設(shè)存在,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.由設(shè)點故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗,當時,O,M,S三點共線. 故存在,使得O,M,S三點共線.方法二:()同方法一.()假設(shè)存在a,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點,則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點共線.60.（2009遼寧卷文、理）（本小題滿分12分）已知，橢圓C以過點A（

36、1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。（）解 由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。因為A在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 （）證明 設(shè)直線方程：得，代入得設(shè)（，），（，）因為點（1，）在橢圓上，所以，。又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得，。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 61.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個

37、焦點的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解()設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標準方程為（）設(shè)，其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌盟渣c的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；62.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸

38、近線的距離為。（1）求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。方法一 解（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設(shè)由將P點的坐標代入因為又所以記則由又S（1）=2，當時，面積取到最小值，當當時，面積取到最大值所以面積范圍是方法二（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線，由所以曲線的方程是.（）設(shè)直線AB的方程為由題意知由由將P點的坐標代入得設(shè)Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）=.63.（2009四川卷文、理）（本

39、小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。解 （I）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 . （II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得，又化簡得解得 所求直線的方程為64.（2009全國卷文）（本小題滿分12分） 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。（）求r的取值范圍（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理

40、得拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即。解這個方程組得.（II）設(shè)四個交點的坐標分別為、。則由（I）根據(jù)韋達定理有，則令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。方法2：設(shè)四個交點的坐標分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點P的坐標為。設(shè)，由及（）得由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當時，；當時；當時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為。65.（2009湖北卷文）（本小題滿分13分）如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點F的直

41、線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。（1） 證明 方法一 由拋物線的定義得如圖，設(shè)準線l與x的交點為而即故方法二 依題意，焦點為準線l的方程為設(shè)點M,N的坐標分別為直線MN的方程為，則有由 得于是，故（）解 成立，證明如下：方法一 設(shè)，則由拋物線的定義得，于是將與代入上式化簡可得，此式恒成立。故成立。方法二 如圖，設(shè)直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結(jié)論，得即，得證。66.（2009

42、寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1（1）求橢圓的方程（2）若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解（1）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為（）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故由點P在橢圓C上得 ，代入式并化簡得所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.67.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3

43、倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和（）求點P的軌跡C；（）設(shè)過點F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。解（）設(shè)點P的坐標為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當x>2時，由得 化簡得 當時 由得化簡得故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當點P在上時，由知. 當點P在上時，由知若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2時，直線I與軌跡C的兩個交

44、點M（，），N（，）都在C上，此時由知MF= 6 -NF= 6 -從而MN= MF+ NF= （6 -）+ （6 -）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因為當當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設(shè)點在上，點上，則知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點為E 所以。而點A，E都在上，且有（1）知若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為.68.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩

45、點。（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長度的最小值；（）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由解 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故又當且僅當，即時等號成立時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或69.（2009年上海卷理）（本題滿分16分） 已知雙曲線設(shè)過點的直線l的方向向量（1） 當

46、直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2） 證明：當>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。（1）解雙曲線C的漸近線· 直線l的方程· 直線l與m的距離（2）證明方法一設(shè)過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離當又雙曲線C的漸近線為雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。（2）方法二雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得，設(shè)當，0將 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假設(shè)不成立故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距

47、離為70.（2009上海卷文）（本題滿分16分）已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:,設(shè)過點A的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線C的方程；（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；（3） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.（1）解 設(shè)雙曲線的方程為，解得，雙曲線的方程為（2）解直線，直線由題意，得，解得（3）證明 方法一 設(shè)過原點且平行于的直線則直線與的距離當時，又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為（3）方法二 假設(shè)雙曲線右支上存在點到直線

48、的距離為，則由（1）得設(shè)，當時，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為71.（2009重慶卷理）（本小題滿分12分）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，是橢圓上的動點（）若的坐標分別是，求的最大值；（）如題圖，點的坐標為，是圓上的點，是點在軸上的射影，點滿足條件：，求線段的中點的軌跡方程；解 （）由題設(shè)條件知焦點在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a b 0 ）. 設(shè)，由準線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 . 又易知C，D兩點是橢圓的焦點，所以, 從而，當且僅當，即點M的坐標為時上式取等號，的

49、最大值為4.（II）如圖（20）圖，設(shè).因為，故 因為所以 . 記P點的坐標為，因為P是BQ的中點所以 由因為 ，結(jié)合，得故動點P的估計方程為72.（2009重慶卷文）（本小題滿分12分）已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點的坐標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標；解 （）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為.（）設(shè)點D的坐標為，則點A、D為雙曲線的焦點，所以 ，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故從而當在線段CD上時取等號，此時的最小值為直線CD的方程為，因點M在雙曲線右支上，故由方程組 解得所以點的坐標為. 20052008年高考題一