1、僅供個(gè)人參考學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年 級(jí):輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)：3不得用于商業(yè)用途方案設(shè)計(jì)型問題教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】方案設(shè)計(jì)問題是通過設(shè)置一個(gè)世紀(jì)問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，有時(shí)還給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷其中哪個(gè)方案較優(yōu)。方案設(shè)計(jì)問題主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐能力。它包括測方案設(shè)計(jì)、作圖方案設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)。（一）測量方案設(shè)計(jì)題，一般限定條件、限定測量工具，讓同學(xué)們設(shè)計(jì)一個(gè)可行的方案，對(duì)某一物體的長度進(jìn)行測量并計(jì)算，要注意的是設(shè)計(jì)出來的方案要有課操作性。（二）作圖、拼圖方案設(shè)計(jì)題，它擺脫了傳統(tǒng)的簡單作圖，它把作圖的技能考查放在一個(gè)世

2、紀(jì)生活的大背景下，考查學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力， 它給同學(xué)們的創(chuàng)造性思維提供廣闊的空間與平臺(tái)。此類題常以某些規(guī)則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形。（三）經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)題，一般有較多種供選擇的解決問題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多。方案設(shè)計(jì)題貼近生活， 具有角強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，解決此類問題時(shí)要慎于思考，要先思考后動(dòng)手，設(shè)計(jì)性問題的結(jié)果不一定唯一，但必須符合實(shí)際情況。近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目。這類命題以綜

3、合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等。二、【考點(diǎn)知識(shí)梳理】1 .“動(dòng)手操作”類題，多指對(duì)某種圖形按照要求完成某些操作，進(jìn)而對(duì)結(jié)果進(jìn)行探究，直至解決的一類題型.“方案設(shè)計(jì)”是指根據(jù)要求，構(gòu)造某種問題的具體解決方案或者對(duì)問題給出的若干種解決方法進(jìn)行比較的一類題型.2 .實(shí)際操作型問題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，主要有：（1）裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問題，往往與面積、對(duì)稱性相聯(lián)系；（2）與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問題.3 .方案設(shè)計(jì)問題的題型主要包括：（1）根據(jù)實(shí)際問題拼接或分割圖形；（2）利用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等知

4、識(shí)對(duì)實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比較等.三、【中考典例精析】類型一動(dòng)手操作題»例1如圖所示，如果將矩形紙沿虛線對(duì)折后，沿虛線剪開，剪出一個(gè)直角三角形，展開后得到一個(gè)等腰三角形.則展開后三角形的周長是 （）【點(diǎn)撥】動(dòng)手操作法.【答案】B 提示：利用勾股定理即可得出結(jié)果.類型二方案設(shè)計(jì)題/例2為鼓勵(lì)學(xué)生參加體育鍛煉，學(xué)校計(jì)劃拿出不超過1 600元的資金再購買一批籃球和排球.已知籃球和排球的單價(jià)比為3： 2,單價(jià)和為80元.(1)籃球和排球的單價(jià)分別是多少元？(2)若要求購買籃球和排球的總數(shù)量是36個(gè)，且購買的籃球數(shù)量多于25個(gè)，有哪幾種購買方案？【點(diǎn)撥】本題綜合考查方程和不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確

5、理解題意找出題目的等量和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.注意求n的整數(shù)解時(shí)不要漏解.【解答】(1)設(shè)籃球的單價(jià)為x元，則排球的單價(jià)為即籃球和排球的單價(jià)分別是48元和32元.(2)設(shè)購買的籃球數(shù)量為 n個(gè)，則購買的排球數(shù)量為x元，依題意得 x+1x= 80,解得x=48, 1 |x=32. 333(36 n)個(gè).n>25, 由題意得48n+32 36-n < 1 600, 解得 25<n<28.而n為整數(shù)，所以其取值為26、27、28,對(duì)應(yīng)的36 n的值為10、9、8,故共有三種購買方案.方案一：購買籃球 方案二：購買籃球 方案三：購買籃球26個(gè),排球10個(gè);27個(gè)，排球9個(gè)；2

6、8個(gè)，排球8個(gè).四、【課堂訓(xùn)練】1 .如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱為第三次操作；，根據(jù)以上操作，若要得到2 011個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是 ()A. 669 B. 670 C. 671D. 672解析：第n次操作得到3n + 1個(gè)小正方形，所以 3n+1 = 2 011,所以n=670.答案：B2 . (1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將 ABE沿BE折疊后得到 GBE ,且點(diǎn)G

7、在矩形ABCD的內(nèi)部.小明將 BG延長交DC于點(diǎn)F,認(rèn)為GF=DF,你同意嗎？說明理由.A E D(2)【解決問題】保持(1)中的條件不變，若 DC = 2DF,求口的值.AB(3)【類比探究】保持(1)中的條件不變，若 DC = nDF,求AD的值.AB解：(1)同意.連結(jié) EF.則/ EGF = / D= 90°, EG = AE=ED, EF=EF. RtAEGFRtA EDF,GF=DF.,GF=DF.設(shè) DF = x, BC = y,則有 GF = x, AD = y. . DC=2DF, CF = x, DC = AB=BG = 2x, .BF=BG + GF = 3x.

8、在 RtA BCF 中，BC2+ CF2= BF2 , 即 y2+ x2= (3x)2. y=2V2x' AD=2yrV2.(3)由知,GF=DF,設(shè) DF = x, BC = y, 則有 GF = x, AD = y. DC=nDF, DC = AB = BG= nx.-，CF=(n- 1)x, BF= BG+GF=(n + 1)x. 在 RtA BCF 中，BC2+ CF2= BF2 , 即 y2+ (n 1)x2 = (n + 1)x21- y= 2nx,-AD-=y _25 nx n3 .君實(shí)機(jī)械廠為青揚(yáng)公司生產(chǎn) A、B兩種產(chǎn)品，該機(jī)械廠由甲車間生產(chǎn) A種產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn) B種

9、產(chǎn)品，兩車 間同時(shí)生產(chǎn).甲車間每天生產(chǎn)的 A種產(chǎn)品比乙車間每天生產(chǎn)的 B種產(chǎn)品多2件，甲車間3天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品與乙車 間4天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品數(shù)量相同.(1)求甲車間每天生產(chǎn)多少件A種產(chǎn)品？乙車間每天生產(chǎn)多少件B種產(chǎn)品？(2)君實(shí)機(jī)械廠生產(chǎn)的 A種產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件 200元，B種產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件180元.現(xiàn)青揚(yáng)公司需一次性購買A、B兩種產(chǎn)品共80件，君實(shí)機(jī)械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產(chǎn)8天，若青揚(yáng)公司出廠價(jià)購買A、B兩種產(chǎn)品的費(fèi)用超過 15 000元而不超過15 080元.請(qǐng)你通過計(jì)算為青揚(yáng)公司設(shè)計(jì)購買方案.解：(1)設(shè)乙車間每天生產(chǎn) x件B種產(chǎn)品，則甲車間每天生產(chǎn) (x + 2)件

10、A種產(chǎn)品.根據(jù)題意 3(x+2) = 4x,解得 x = 6.x + 2= 8.因此，甲車間每天生產(chǎn) 8件A種產(chǎn)品，乙車間每天生產(chǎn) 6件B種產(chǎn)品.(2)設(shè)青揚(yáng)公司購買 B種產(chǎn)品m件，則購買A種產(chǎn)品(80m)件.15 000<200(80 - m) + 180m < 15 080,解得 46< m<50.,m為整數(shù)，m為46或47或48或49.又,乙生間8人只能生亡.48件，m為46或47或48.故共有三種購買方案：方案1：購買A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品48件；方案2:購買A種產(chǎn)品33件，B種產(chǎn)品47件；方案3:購買A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件.4 .有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的

11、轉(zhuǎn)盤，被分成了4個(gè)相同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4(如圖所示)，另有一個(gè)不透明的口袋裝有分別標(biāo)有數(shù) 0、1、3的三個(gè)小球(除數(shù)不同外，其余都相同).小亮轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，停止后指針指向某一 扇形，扇形內(nèi)的數(shù)是小亮的幸運(yùn)數(shù)，小紅任意摸出一個(gè)小球，小球上的數(shù)是小紅的吉祥數(shù)，然后計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的積.(1)請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩個(gè)數(shù)的積為0的概率；(2)小亮與小紅做游戲，規(guī)則是：若這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)，小亮贏；否則，小紅贏.你認(rèn)為該游戲公平嗎？為什 么？如果不公平，請(qǐng)你修改該游戲規(guī)則，使游戲公平.解：(1)畫樹狀圖如下：僅供個(gè)人參考或列表如下:由圖（表）知，所有等可能的結(jié)果有一 一. 一 一一

12、 一. 一一、.412種，其中積為0的有4種，所以積為0的概率為P=14213.（2）不公平.因?yàn)橛蓤D（表）知，積為奇數(shù)的有 4種，積為偶數(shù)的有 8種,41所以積為奇數(shù)的概率為 Pi = -4 = 1；12 382積為偶數(shù)的概率為 P2= 8 = 2.12 3一，1 2 、一 一因?yàn)榇?,所以該游戲不公平.3 3游戲規(guī)則可修改如下：（只要正確即可）若這兩個(gè)數(shù)的積為 0,則小亮贏；積為奇數(shù)，則小紅贏.七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】1. （10龍巖）我校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽，計(jì)劃購買A、B兩種籃球共20個(gè)供學(xué)生訓(xùn)練使用.若購買 A種籃球6個(gè)，則購買兩種籃球共需費(fèi)用720元；若購買 A種籃球12個(gè),則購買兩

13、種籃球共需費(fèi)用 840（1） A、B兩種籃球單價(jià)各多少元？（2）若購買A種籃球不少于8個(gè)，所需費(fèi)用總額不超過 800元.請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)出所 有的購買方案供學(xué)校參考，并分別計(jì)算出每種方案購買A、B兩種籃球的個(gè)數(shù)及所需費(fèi)用.2. （10常州）如圖所示，小吳和小黃在玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，準(zhǔn)備了兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤甲、乙，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形區(qū)域，并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針?biāo)干刃螀^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為4, 5或6時(shí)，則小吳勝否則小黃勝。（如果指針恰好在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，3. .為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展， 我市計(jì)劃對(duì)某縣 A、B兩類薄弱學(xué)校全部

14、進(jìn)行改造.根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元.改造一所A類學(xué)校和兩所B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所 A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金205萬元.(1)改造一所 A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？(2)若該縣的 A類學(xué)校不超過5所，則B類學(xué)校至少有多少所？(3)我市計(jì)劃今年對(duì)該縣 A、B兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān).若今年國家財(cái)政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財(cái)政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財(cái)政投入到 A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元.請(qǐng)你通過計(jì)算求出有幾種改造方案？4. 一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.

15、現(xiàn)要求：在一邊長為 30km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市.問：(1)能否找到這樣的 4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？(2)至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由.(下面給出了幾個(gè)邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用)僅供個(gè)人參考5. （10河北）某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品， 現(xiàn)準(zhǔn)備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售.若只在國內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y （元/件）與月銷量x

16、（件）的函數(shù)關(guān)系式為：1y = 上x+150,成本為20兀/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500兀，設(shè)月利潤為 w內(nèi)（兀）（利100潤=銷售額成本廣告費(fèi)）.若只在國外銷售，銷售價(jià)格為 150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10WaW40）,當(dāng)月銷量為x （件）時(shí)，每月還需繳納 ，x2元的附加費(fèi)，100設(shè)月利潤為w外（元）（利潤=銷售額一成本一附加費(fèi)）.（1） 當(dāng) x = 1000 時(shí)，y =元/件，w內(nèi)=元；（2）分別求出 w內(nèi)，w外與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）;（3）當(dāng)x為何值時(shí)，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利

17、潤的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月 利潤較大？6 .如圖，小明想用皮尺測量池塘 A、A間的距離，但現(xiàn)有皮尺無法直接測量，學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)后，他想出了一個(gè)方法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B兩點(diǎn)的點(diǎn)O,連接OA OB分另I在OA OB上取中點(diǎn) C D,連接CD并測,使自由轉(zhuǎn)得CD=a由此他即知道 A、B間的距離是（）“ 1A. 2 a ; B. 2a ； C. a ; D. 3a7 .如圖，轉(zhuǎn)盤被分成六個(gè)扇形區(qū)域，并在上面依次寫上數(shù)字1、2、3、6,轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止請(qǐng)你用這個(gè)轉(zhuǎn)

18、盤設(shè)計(jì)一動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的區(qū)域的概率是 述）。2/3,并說明你的設(shè)計(jì)理由（設(shè)計(jì)方案可用土所示，也可以用文字表不得用于商業(yè)用途8.市"康智牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研壓庫”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)品產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值甲4.5萬元乙7.5萬元，決定從明年起對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品實(shí)行“限產(chǎn)20件，這20件的總價(jià)值p（萬元）滿足：110<p<120已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，那么該公司明年應(yīng)怎樣安排 新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？9.我市某鄉(xiāng)A B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200噸，B村 有柑橘300噸。現(xiàn)在將這些柑橘運(yùn)到 已知C倉庫可儲(chǔ)存240噸，D倉庫可儲(chǔ)存260噸：從A村運(yùn)到C, D兩處

19、的費(fèi)用分別為每噸 村運(yùn)到C, D兩處的費(fèi)用分別為每噸 15至18元。設(shè)從A村運(yùn)到C倉庫的柑橘質(zhì)量為 x噸,C, B兩個(gè)冷藏倉庫。20元至25元，從BA, B兩村運(yùn)往兩倉庫的柑橘費(fèi)用分別為 yA元和yB元(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤聿⑶蟪?yA和yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)試討論A, B兩個(gè)村中，那個(gè)村的運(yùn)費(fèi)少；(3)考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的的柑橘不超過4830元。在這種情況下，請(qǐng)問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi) 最??？求出最小值。10 .如圖，在人民公園人工湖兩側(cè)的A, B兩點(diǎn)欲建一座觀賞橋，由于受條件限制，無法直接度量 A, B間的距離，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)，在 圖中設(shè)計(jì)三種測量方案要求：(1)畫出你設(shè)

20、計(jì)的測量平面草圖；(2)在圖形中標(biāo)出測量的數(shù)據(jù)(長度用 a,b,c角度用a , 3, 丫,.表示)并寫出測量的依據(jù)及AB的表達(dá)式。7攵地 運(yùn)血、CD總計(jì)aX噸200噸b300噸總計(jì)240噸260噸500噸11 .如圖，在RtABC中，/ACB=90, / CAB=30,用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個(gè)三角形，且要求其中一個(gè)三角形是等腰三角形(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)12 .如圖，某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有 R C、D三家食品加工廠，這三個(gè)工廠和開發(fā)區(qū) A處的自來水廠正好在一個(gè)矩形的四 個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且AB=CD=900m AD=BC=1700m自來水公司已經(jīng)修好一條自

21、來水主管道AN B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC=500m若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價(jià)800元。(1)要使修建自來水管道的造價(jià)最低，這三個(gè)工廠的自 來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？并在圖形中畫出。(2)求出各廠所建的自來水管道的最低的造價(jià)各是多少?13 .某工廠現(xiàn)有甲種原料 226kg,乙種原料250kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A B兩種產(chǎn)品共40件，生產(chǎn)A B兩種產(chǎn)品用料情況如下表:設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，請(qǐng)解答下列 問題：(1)求x的值，并說明有哪幾種符需要甲原料需要乙原料一彳A產(chǎn)品7kg4kg一彳B產(chǎn)品3kg10kg合題意的生產(chǎn)方案。(2)若甲種原料50元/kg ,乙種原料40元/kg ,說明(1)中哪種方案較優(yōu)?14 .課題研究：現(xiàn)有邊長為 120cm的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)制作成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量 最大。初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水 槽的水的流量越大。為此他們對(duì)水槽的橫截面進(jìn)行了探索：(1)方案一：把它折成橫截面為直角三角形的水槽(如圖)，若/ ACB=90,設(shè)AC=xcm該水槽的橫截面面積為ycm2,請(qǐng)你