1、第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器7.4 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器7.5 IIR和和FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較7.6 幾種特殊類型濾波器簡(jiǎn)介幾種特殊類型濾波器簡(jiǎn)介7.7 濾波器分析設(shè)計(jì)工具濾波器分析設(shè)計(jì)工具FDATool7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 本節(jié)主要介紹本節(jié)主

2、要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件、濾波器具有線性相位的條件、 FIR濾波器的幅度特性、零點(diǎn)分布特點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。濾波器的幅度特性、零點(diǎn)分布特點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為對(duì)于長(zhǎng)度為N的的h(n)，傳輸函數(shù)為：，傳輸函數(shù)為：式中，式中，Hg()稱為幅度特性，稱為幅度特性，()稱為相位特性。這里稱為相位特性。這里Hg()不同于不同于|H(ej)|，Hg()為為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|為為的正實(shí)函數(shù)。的正實(shí)函數(shù)。(7.1.1) (7.1.2) H(ej)線性相位：線性相位： ()是是的線性函數(shù)的線性函數(shù)，即：，即： ()

3、= -, 為常數(shù)為常數(shù) (7.1.3) 若若()滿足下式：滿足下式： ()=0 -, 0是起始相位是起始相位 (7.1.4) 也稱這種情況為線性相位。也稱這種情況為線性相位。 以上兩種情況都滿足以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即，即一般稱：滿足一般稱：滿足(7.1.3)式是式是第一類第一類線性相位；線性相位； 滿足滿足(7.1.4)式為式為第二類第二類線性相位。線性相位。 2. 線性相位線性相位FIR的時(shí)域約束條件的時(shí)域約束條件線性相位線性相位FIR濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線性濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線性相位時(shí)，對(duì)相位時(shí)，對(duì)h(n)的約束條件。的約束條件。1) 第一

4、類線性相位對(duì)第一類線性相位對(duì)h(n)的約束條件的約束條件 相位函數(shù)相位函數(shù)()=，由式（，由式（7.1.1）和（）和（7.1.2）得）得到到:1jjjg0(e)( )e( )e NnnHh nH（7.1.5） 1g0( )(cosjsin)( )(cosjsin) Nnh nnnH(7.1.6)將（將（7.1.6）式中兩式相除得到：）式中兩式相除得到：1010( )coscossin( )sinNnNnh nnh nn1g01g0( )cos( )cos ( )sin( )sinNnNnHh nnHh nn即即 移項(xiàng)并用三角公式化簡(jiǎn)得到移項(xiàng)并用三角公式化簡(jiǎn)得到:（7.1.7）函數(shù)函數(shù)h(n)s

5、in(n)關(guān)于求和區(qū)間的中心關(guān)于求和區(qū)間的中心(N1)/2奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，是滿足（是滿足（7.1.7）式的）式的一組解一組解。 因?yàn)橐驗(yàn)閟in(n)關(guān)于關(guān)于n=奇對(duì)稱，如果取奇對(duì)稱，如果取=(N1)/2，則要，則要求求h(n)關(guān)于關(guān)于(N1)/2偶對(duì)稱，所以要求偶對(duì)稱，所以要求和和h(n)滿足如下條件滿足如下條件: 10( )sin ()0Nnh nn1100( )cossin( )sincosNNnnh nnh nn（7.1.8） 1( ) , 2( )(1), 01Nh nh NnnN 表表7.1.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 2)

6、 第二類線性相位對(duì)第二類線性相位對(duì)h(n)的約束條件的約束條件相位函數(shù)相位函數(shù)()=/2，由式（，由式（7.1.1）和（）和（7.1.2），），可得到可得到:（7.1.9） 函數(shù)函數(shù)h(n)cos(n)關(guān)于關(guān)于求和區(qū)間的中心求和區(qū)間的中心(N1)/2奇奇對(duì)稱對(duì)稱，是滿足式（，是滿足式（7.1.9）的）的一組解一組解， 因?yàn)橐驗(yàn)閏os(n)關(guān)于關(guān)于n=偶對(duì)稱，所以要求偶對(duì)稱，所以要求和和h(n)滿滿足如下條件：足如下條件：1jjj( /2)g0(e)( )e( )eNnnHh nH10( )cos ()0Nnh nn（7.1.10） 1( ) , 22( )(1), 01Nh nh NnnN 2

7、 線性相位線性相位FIR濾波器幅度特性濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn)的特點(diǎn)實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上，幅度特性的，幅度特性的特點(diǎn)特點(diǎn)就是線性相位就是線性相位FIR濾波濾波器的器的頻域約束條件頻域約束條件。 引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)：引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)： 1,2N12NM情況情況1： h(n)=h(Nn1), N為奇數(shù)。為奇數(shù)。將時(shí)域約束條件將時(shí)域約束條件h(n)=h(Nn1)和和()=代入代入式（式（7.1.1）和（）和（7.1.2），得到），得到:所以所以（7.1.11） 因?yàn)橐驗(yàn)閏os(n-)關(guān)于關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)三點(diǎn)偶對(duì)稱偶對(duì)稱，所以由，所以由式（式（7.1.11）可以看出，）可以看出，Hg()關(guān)于關(guān)于=0,

8、 , 2三點(diǎn)三點(diǎn)偶對(duì)稱偶對(duì)稱。因此情況因此情況1可以實(shí)現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾可以實(shí)現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。波器。1g0( )( )2 ( )cos ()MnHhh nn情況情況2： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。為偶數(shù)。仿照情況仿照情況1的推導(dǎo)方法得到的推導(dǎo)方法得到:1jjjjg00(e)( )e =( )ee2 ( )cos( ()NMnnnHHh nh nn（7.1.12）g0( )2 ( )cos ()MnHh nn式中，。因?yàn)槭街?，。因?yàn)槭桥紨?shù)，所是偶數(shù)，所以當(dāng)時(shí)以當(dāng)時(shí)(1)/2/21/2NN cos ()cossin022NNnnn 而且而且cos(

9、n)關(guān)于關(guān)于過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于，關(guān)于=0和和2偶對(duì)稱。所以偶對(duì)稱。所以Hg()=0，Hg()關(guān)于關(guān)于=奇對(duì)奇對(duì)稱，關(guān)于稱，關(guān)于=0和和2偶對(duì)稱偶對(duì)稱。因此，情況。因此，情況2不能實(shí)現(xiàn)高通不能實(shí)現(xiàn)高通和帶阻濾波器。和帶阻濾波器。情況情況3： h(n)=h(Nn1)，N為奇數(shù)。為奇數(shù)。102Nh 將時(shí)域約束條件將時(shí)域約束條件h(n)=h(Nn1)和和()=/2代入式（代入式（7.1.1）和（）和（7.1.2），）， 并考慮并考慮，得到，得到:1g0( )2 ( )sin ()MnHh nn當(dāng)當(dāng)=0，, 2時(shí)，時(shí)，sin(n)=0, 且且sin(n)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱關(guān)于過(guò)零點(diǎn)奇對(duì)稱Hg(

10、)關(guān)于關(guān)于=0, , 2三三點(diǎn)奇對(duì)稱點(diǎn)奇對(duì)稱情況情況3只能實(shí)只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器現(xiàn)帶通濾波器情況情況4： h(n)=h(Nn1), N為偶數(shù)。為偶數(shù)。用情況用情況3的推導(dǎo)過(guò)程可以得到的推導(dǎo)過(guò)程可以得到:（7.1.13） N是偶數(shù)，是偶數(shù)，=(N1)/2=N/21/2。所以，當(dāng)。所以，當(dāng)=0, 2時(shí)，時(shí)，sin(n)=0；當(dāng)；當(dāng)=時(shí)，時(shí)，sin(n)=(1)nN/2, 為峰值點(diǎn)。而且為峰值點(diǎn)。而且sin(n)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)關(guān)于過(guò)零點(diǎn)=0和和2兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于峰值點(diǎn)兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于峰值點(diǎn)=偶對(duì)稱。因此偶對(duì)稱。因此Hg()關(guān)于關(guān)于=0和和2兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于=偶對(duì)稱。由此可見(jiàn)，情況偶對(duì)稱。由

11、此可見(jiàn)，情況4不能實(shí)現(xiàn)低通和帶阻濾波器。不能實(shí)現(xiàn)低通和帶阻濾波器。g0( )2 ( )sin ()MnHh nn 3. 線性相位線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足：線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足：(7.1.21) “+”和和“-”分別對(duì)應(yīng)第一類和第二類線性相位。分別對(duì)應(yīng)第一類和第二類線性相位。一般情況：一般情況： 線性相位線性相位FIR零點(diǎn)零點(diǎn)分布的特點(diǎn)：分布的特點(diǎn)：互為互為倒數(shù)的共軛對(duì)倒數(shù)的共軛對(duì)圖圖7.1.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布當(dāng)然，也有當(dāng)然，也有一些特殊情一些特殊情況，如圖中況，如圖中z1、z2和和z4情情況。況。

12、7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器7.2.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)思想：從時(shí)域出發(fā)，設(shè)計(jì)：從時(shí)域出發(fā)，設(shè)計(jì)h(n)，逼近，逼近hd(n) 。 設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej)，hd(n)是與其對(duì)應(yīng)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此的單位脈沖響應(yīng)，因此 ：ccde )e (21)(e )()e (jjddjdjdnnnHnhnhH一旦一旦Hd(ej)給定，就可得到給定，就可得到hd(n) 。一般情況下，一般情況下， Hd(ej)逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因而逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因而hd(n)是是

13、無(wú)限時(shí)寬無(wú)限時(shí)寬的，且的，且是非因果是非因果的，為得到一有限長(zhǎng)濾波器的，為得到一有限長(zhǎng)濾波器h(n)，最直接，最直接的方法是截?cái)嗟姆椒ㄊ墙財(cái)?hd(n)，即用一個(gè)窗口函數(shù)，即用一個(gè)窗口函數(shù)RN(n)對(duì)對(duì)hd(n)進(jìn)行加窗處理：進(jìn)行加窗處理： h(n)= hd(n) RN(n)。并保證截取的一段關(guān)于并保證截取的一段關(guān)于n=（N1）/2偶對(duì)稱。偶對(duì)稱。 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為：為：(7.2.1)它是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列。波形如下圖所示。它是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列。波形如下圖所示。設(shè)理想低通濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)理想低通濾波器的傳輸函數(shù)Hd(ej) 為：為：(7.2.2) 實(shí)

14、際設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，10)()(NnnznhzH用一個(gè)有限長(zhǎng)的序用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列列h(n)去代替去代替hd(n)，肯定會(huì)引起誤差肯定會(huì)引起誤差圖圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗)()()(dnRnhnhN吉布斯（吉布斯（Gibbs）效應(yīng)：）效應(yīng)：用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列h(n)去代替去代替hd(n) 會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是吉布斯效應(yīng)吉布斯效應(yīng)。該效應(yīng)引。該效應(yīng)引起通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的波動(dòng)性，尤其使阻帶的衰減不足

15、，從起通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的波動(dòng)性，尤其使阻帶的衰減不足，從而不能滿足技術(shù)上的要求。而不能滿足技術(shù)上的要求。 吉布斯效應(yīng)是由于將吉布斯效應(yīng)是由于將hd(n)直接截?cái)嘁鸬?，因此，也直接截?cái)嘁鸬?，因此，也稱為稱為截?cái)嘈?yīng)截?cái)嘈?yīng)。圖圖7.2.2 吉普斯效應(yīng)吉普斯效應(yīng)Hd(ej)是一個(gè)以是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即即傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為hd(n)，當(dāng)然就是，當(dāng)然就是Hd(ej)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)計(jì)單位脈沖響應(yīng)。設(shè)計(jì)FIR濾波器就是根據(jù)要求找到濾波器就是根據(jù)要求找到N個(gè)傅個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)里葉級(jí)數(shù)系數(shù)h(n)，n=1, 2, ,

16、 N1，以，以N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是前面說(shuō)的近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是前面說(shuō)的截?cái)嘈?yīng)。截?cái)嘈?yīng)。nnnhHjdjde )()e ( 因此，從這一角度來(lái)說(shuō)，窗函數(shù)法也稱為因此，從這一角度來(lái)說(shuō)，窗函數(shù)法也稱為傅氏級(jí)數(shù)法傅氏級(jí)數(shù)法。顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項(xiàng)數(shù)增多即項(xiàng)數(shù)增多即h(n)長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，應(yīng)在滿足技術(shù)要求的條件下，盡量減小應(yīng)在

17、滿足技術(shù)要求的條件下，盡量減小h(n)的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。)( jRjdjd)e ()e (21)e (WHH（7.2.4）根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積定理，得到（根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積定理，得到（7.2.3）式的傅里葉變換：式的傅里葉變換：（7.2.5）jRg) 1(21j10j10jR10jRe )()2/sin()2/sin(e eee )()(WNwnWeWNNnnNnnNnnjR第一過(guò)零點(diǎn)第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)為主瓣內(nèi)為主瓣旁瓣旁瓣將將Hd(ej)寫成寫成Hd(ej)=Hdg()ej ， 則按照（則按照（7.2.1）式，）式，理想低通濾波器的幅度特性函數(shù)為理想低通濾波器的幅度特性函數(shù)為|0|1)(c

18、cdg，H將將Hd(ej)和和WR(ej)代入（代入（7.2.4）式，得到：）式，得到：Rgdgj)( jRgjdgjd)()(21ede )(e )(21)e (WHWHH將將H(ej)寫成寫成H(ej)=Hg()ej ，則，則（7.2.6）gdgRg1( )( )()d2HHW加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg()與與矩形窗幅度特性矩形窗幅度特性WRg()的卷積。的卷積。圖圖7.2.3 矩形窗加窗效應(yīng)矩形窗加窗效應(yīng)當(dāng)當(dāng)=c時(shí)，如時(shí)，如(c)所示，當(dāng)所示，當(dāng)c 2/N時(shí)，積分近似為時(shí)，積分近似為WRg()一半波一半波

19、形的積分，對(duì)形的積分，對(duì)Hg(0)歸一化后的值近歸一化后的值近似為似為1/2當(dāng)當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，Hg(0)等于圖等于圖(a)與與(b)兩波兩波形乘積的積分，相當(dāng)于對(duì)形乘積的積分，相當(dāng)于對(duì)WRg()在在c之間一段波形的積分，當(dāng)之間一段波形的積分，當(dāng)c2/N時(shí)，近似為時(shí)，近似為之間波形之間波形的積分的積分當(dāng)當(dāng)=c2/N時(shí)，如時(shí)，如(d)所示，所示，WR()主瓣完全在區(qū)間主瓣完全在區(qū)間c, c之之內(nèi)，而最大的一個(gè)負(fù)旁瓣移到區(qū)間內(nèi)，而最大的一個(gè)負(fù)旁瓣移到區(qū)間c, c之外，因此之外，因此Hg(c2/N)有一個(gè)最大的正峰。有一個(gè)最大的正峰。當(dāng)當(dāng)=c+2/N時(shí)，如時(shí)，如(e)所示，所示，WRg()主瓣完全移到積

20、分區(qū)間外邊，主瓣完全移到積分區(qū)間外邊，由于最大的一個(gè)負(fù)旁瓣完全在區(qū)間由于最大的一個(gè)負(fù)旁瓣完全在區(qū)間c, c內(nèi)，因此內(nèi)，因此Hg(c+2/N)形成最大的負(fù)峰。形成最大的負(fù)峰。Hg()最大的正峰與最大的負(fù)峰對(duì)最大的正峰與最大的負(fù)峰對(duì)應(yīng)的頻率相距應(yīng)的頻率相距4/N對(duì)對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，加矩形窗處理后，Hg()與原理想低通與原理想低通Hdg()的差別有以下兩點(diǎn)：的差別有以下兩點(diǎn)：在理想特性不連續(xù)點(diǎn)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度近似等于度近似等于WRg()主瓣寬度主瓣寬度4/N。通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在c2/N處。

21、阻帶內(nèi)處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。通帶與阻帶中波處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)，紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)， WRg()旁瓣幅度的大旁瓣幅度的大小直接影響小直接影響Hg()波紋幅度的大小。波紋幅度的大小。v 這兩點(diǎn)就是對(duì)這兩點(diǎn)就是對(duì)hd(n)截?cái)嗪?，在頻域的反映，即截?cái)嗪?，在頻域的反映，即吉布斯吉布斯效應(yīng)效應(yīng)。 如何減少吉布斯效應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的如何減少吉布斯效應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的FIR濾波器呢？濾波器呢？ 直觀上，增加矩形窗口的寬度（即加大直觀上，增加矩形窗口的寬度（即加大N）可以減少吉布斯效應(yīng)）可以減少吉布斯效

22、應(yīng)的影響。的影響。N 時(shí)，時(shí)， 在主瓣附近，在主瓣附近， WRg()近似為：近似為： 該函數(shù)的性質(zhì)是：該函數(shù)的性質(zhì)是： 隨隨x (N )，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變；波動(dòng)的頻率加快，當(dāng)和旁瓣幅度相對(duì)值不變；波動(dòng)的頻率加快，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，sinx/x趨近于趨近于 函數(shù)，因此，當(dāng)函數(shù)，因此，當(dāng)N加大時(shí)，加大時(shí)， H()的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善。改善。 N加大帶來(lái)的最大好處是過(guò)渡帶變窄加大帶來(lái)的最大好處是過(guò)渡帶變窄(過(guò)渡帶過(guò)渡帶:4/N)。 因此因此加大加大N并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法。并不是減少吉布斯效應(yīng)的

23、有效方法。Rgsin(/2)sin( )/2NxWNx圖圖7.2.4 矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響所以有如下結(jié)論：所以有如下結(jié)論：v 調(diào)整窗口長(zhǎng)度調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度?？梢杂行У乜刂七^(guò)渡帶的寬度。v 減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法。上找解決方法。為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好的頻率特性，一般采用其為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好的頻率特性，一般采用其它類型的窗口，它類型的窗口，這些窗口函數(shù)在靠近兩端的這些窗口函數(shù)在靠近兩端的h(n)逐步衰減到零，逐步衰減到零，使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。

24、使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。從而降低通帶內(nèi)的紋波并從而降低通帶內(nèi)的紋波并加大阻帶的衰減。加大阻帶的衰減。下面是幾種常用的窗函數(shù)下面是幾種常用的窗函數(shù)1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) 2. 三角形窗三角形窗(Bartlett Window) 3. 漢寧漢寧(Hanning)窗窗-升余弦窗升余弦窗 4. 哈明哈明(Hamming)窗窗改進(jìn)的升余弦窗改進(jìn)的升余弦窗 5. 布萊克曼布萊克曼(Blackman)窗窗 6. 凱塞凱塞貝塞爾窗貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 7.2.2. 幾種常用的窗函數(shù)幾種常用的窗函數(shù)（7.2.7） 為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾

25、個(gè)為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾個(gè)參數(shù)參數(shù): 旁瓣峰值旁瓣峰值 n窗函數(shù)的幅頻函數(shù)窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg()|的最大旁瓣的最大旁瓣的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減值（的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減值（dB）；）；過(guò)渡帶寬度過(guò)渡帶寬度Bg用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器（FIRDF）的過(guò)渡帶寬度；）的過(guò)渡帶寬度；阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIRDF的阻帶最的阻帶最小衰減。小衰減。Rgsin(/2)( )sin(/2)NW1 矩形窗（矩形窗（Rectangle Window）wR(n)=RN(n)其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為圖圖7.2.4 矩形窗函數(shù)

26、長(zhǎng)度的影響矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響2 三角形窗（三角形窗（Bartlett Window）（7.2.8） 其頻譜函數(shù)為其頻譜函數(shù)為1) 1(21122) 1(21012)(BNnNNnNnNnn，21j2jBe)2/sin(4/sin2)e (NNNW其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為 （7.2.10）2Bg2sin(/4)( )sin(/2)NWN圖7.2.5 三角窗的四種波形主瓣主瓣能量能量更集更集中，中，但過(guò)但過(guò)渡帶渡帶寬了寬了很多很多3 漢寧（漢寧（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗（7.2.11） HnN2( )0.5 1 cos( )1nwnRnN1jj2RNRgjHnHn1j2RgRgRg

27、1j2Hng(e )( )( )e(e )( )22 0.5( )0.25e11 ( )eNNNWFT RnWWFT WnWWWNNW當(dāng)當(dāng)N1時(shí)，時(shí)， N1NHngRgRgRg22( )0.5( )0.25WWWWNN漢寧窗的幅度函數(shù)漢寧窗的幅度函數(shù)WHng()由三部分相加，旁瓣互相對(duì)由三部分相加，旁瓣互相對(duì)消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖7.2.6所示，參數(shù)為所示，參數(shù)為: n=31 dB; Bg=8/N; s=44 dB。圖圖7.2.6 漢寧窗的四種波形漢寧窗的四種波形4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改進(jìn)的升余弦窗改進(jìn)的升余

28、弦窗 （7.2.12）其頻譜函數(shù)其頻譜函數(shù)WHm(ej)為為)(12cos46. 054. 0)(NHmnRNnn)e (23. 0)e (23. 0)e (54. 0)e (12R12jRERjHmNENWWWW其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)WHmg()為為當(dāng)當(dāng)N時(shí)，其可近似表示為時(shí)，其可近似表示為1223. 01223. 0)(54. 0)(RgRgRgHmgNWNWWWNWNWWW223. 0223. 0)(54. 0)(RgRgRgHmg圖圖7.2.7 哈明窗的四種波形哈明窗的四種波形這種改進(jìn)這種改進(jìn)的升余弦的升余弦窗，能量窗，能量更加集中更加集中在主瓣，在主瓣，但其主瓣但其主瓣寬度和漢寬度和漢

29、寧窗的相寧窗的相同同（7.2.13）5 布萊克曼（布萊克曼（Blackman）窗）窗其頻譜函數(shù)為其頻譜函數(shù)為)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(BlnRNnNnnN）（）（）（14jR14jR12jR12jRjRjBlee04. 0 e)e (25. 0)e (42. 0)e (NNNNWWWWWW其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為141404. 0 121225. 0)(42. 0)(RgRgRgRgRgBlgNWNWNWNWWW幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的位不同，且幅度也不同的WRg()函數(shù)，函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁

30、瓣峰值幅度使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的形窗的3倍倍圖7.2.8 布萊克曼窗的四種波形旁瓣進(jìn)旁瓣進(jìn)一步減一步減小，但小，但過(guò)渡帶過(guò)渡帶變寬變寬6 凱塞凱塞貝塞爾窗（貝塞爾窗（Kaiser-Basel Window）以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞貝塞爾窗是一種貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 （7.2.15）式中式中10)()()(00kNnIIn，21121

31、NnI0()是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：一般一般I0()取取1525項(xiàng)，便可以滿足精度要求。項(xiàng)，便可以滿足精度要求。 參數(shù)可以參數(shù)可以控制窗的形狀。一般控制窗的形狀。一般 加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為典型數(shù)據(jù)為4 9。當(dāng)。當(dāng) =5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。 =7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí)，時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí)，可以調(diào)整可以調(diào)整 值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（塞（Kai

32、ser）給出的估算）給出的估算和濾波器階數(shù)和濾波器階數(shù)N的公式如下的公式如下:2011( )1! 2kkIk （7.2.17） 式中，式中，Bt=|sp|, 是數(shù)字濾波器過(guò)渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注是數(shù)字濾波器過(guò)渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注意，因?yàn)槭剑ㄒ?，因?yàn)槭剑?.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，凱塞窗函數(shù)沒(méi)有獨(dú)立控制通帶波紋果進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，凱塞窗函數(shù)沒(méi)有獨(dú)立控制通帶波紋幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.16） ss0.4ssss0.112(8.7),50

33、 dB0.5842(21)0.07886(21),2150 dB0,21st82.285NB(1)/2kgkk1( )(0)2( )cosNnWww nn（7.2.18）對(duì)對(duì) 的的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，中，供設(shè)計(jì)者參考。由表可見(jiàn)供設(shè)計(jì)者參考。由表可見(jiàn), 當(dāng)當(dāng) =5.568時(shí)時(shí), 各項(xiàng)指標(biāo)都各項(xiàng)指標(biāo)都好于哈明窗。好于哈明窗。表表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影 表表7.2.2 6種窗函數(shù)的基本參數(shù)種窗函數(shù)的基本參數(shù) 7.2.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟濾波器的步驟(1) 根據(jù)對(duì)過(guò)渡

34、帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度函數(shù)的類型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。(2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)，即，即jj(1)/2ddg(e)( )eNHH一般取一般取2spc(3) 計(jì)算計(jì)算hd(n)。 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ej)，那，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：（7.2.21）jjddde )e (21)(nHnh2jdd( )(e)kMMHkH如果如果Hd(ej)較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示，則不較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示

35、，則不能用上式求出能用上式求出hd(n)?？梢詫?duì)?？梢詫?duì)Hd(ej)從從=0到到=2采樣采樣M點(diǎn)，采樣值為點(diǎn)，采樣值為 ，k=0 ,1, 2, , M1，進(jìn)行，進(jìn)行M點(diǎn)點(diǎn)IDFT(IFFT)，得到：，得到： （7.2.22）根據(jù)頻域采樣理論，根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：應(yīng)滿足如下關(guān)系：dd( )IDFT( )MMMhnHkdd( )()( )MMrhnh nrM Rn因此，如果因此，如果M選得較大，可以保證在窗口內(nèi)選得較大，可以保證在窗口內(nèi)hdM(n)有效有效逼近逼近hd(n)。 對(duì)（對(duì)（7.2.19）式給出的線性相位理想低通濾波器作）式給出的線性相位理想低通濾

36、波器作為為Hd(ej)，由（，由（7.2.2）式求出單位脈沖響應(yīng)）式求出單位脈沖響應(yīng)hd(n)：為保證線性相位特性，為保證線性相位特性， =(N1)/2。(4) 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。cdsin()( )()nh nn例例7.2.1 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF，要求，要求通帶截止頻率通帶截止頻率p=/2 rad，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率s=/4 rad，通帶最大衰減通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=40 dB。解解 (1） 選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù)w(n)，計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度，計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度N。

37、已知阻帶最小衰減已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（，由表（7.2.2）可知漢寧）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗漢寧窗。 過(guò)渡帶寬度過(guò)渡帶寬度Btps=/4， 漢寧窗的精確過(guò)渡帶漢寧窗的精確過(guò)渡帶寬度寬度Bt=6.2/N，所以要求，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得，解之得N24.8。對(duì)高通濾波器。對(duì)高通濾波器N必須取奇數(shù)，取必須取奇數(shù)，取N=25。25( )0.5 1cos( )12nw nRn（2） 構(gòu)造構(gòu)造Hd(ej):式中式中jjcdce,(e)0,0Hspc1312, 22N（3） 求出求出hd(n):jjdd1( )(e)ed2nh

38、 nHccjjjj1 eedeed2nncsin()sin () ()()nnnn將將=12代入得代入得 dsin3 (12)/8( )(12)(12)nh nnn（4） 加窗加窗:d( )( ) ( )h nh n w n25sin3 (12)/8(12)0.50.5cos( )(12)12nnnRnn全通濾全通濾波器波器理想低通濾理想低通濾波器的單位波器的單位脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)例例7.2.2 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶0f 1.5kHz內(nèi)衰減小于內(nèi)衰減小于1 dB， 阻帶阻帶2.5kHzf 上衰減上衰減大于大于40 dB。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線

39、性相位。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10 kHz。用窗函數(shù)法設(shè)。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的計(jì)滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器，求出數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運(yùn)算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。耗函數(shù)曲線。為了降低運(yùn)算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。解解 （1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo)確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo): 通帶截止頻率為通帶截止頻率為3 . 010000150022sppFf 阻帶截止頻率為阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為阻帶最小衰減為 s =40dB（2） 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)

40、FIR數(shù)字低通濾波器，為數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計(jì)算凱塞）計(jì)算凱塞窗的控制參數(shù)為窗的控制參數(shù)為5 . 010000250022sssFf0.4ss0.5842(21)0.07886(21)3.3953指標(biāo)要求過(guò)渡帶寬度指標(biāo)要求過(guò)渡帶寬度Bt=sp=0.2，根據(jù)式（，根據(jù)式（7.2.17）計(jì)算濾波器階數(shù)為計(jì)算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以。所以h(n)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，。但是，如果用漢寧窗，h(n)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率理想低通濾波器

41、的通帶截止頻率c=(s+p)/2=0.4，所，所以由式（以由式（7.2.2）和式（）和式（7.2.3）, 得到得到:式中，式中，w(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為24（ =3.395）的凱塞窗函數(shù)。）的凱塞窗函數(shù)。st840822.28872.2852.2850.2MBdsin0.4 ()1( )( ) ( )( ) , 11.5()2nNh nh n w nw nn54例例7.2.3/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 323 10 (/sec)strad 552）求hd(n)()0,jjcc

42、dcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 562( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N250dB3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）6.6N海明窗帶寬：575）確定FIR濾波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn()jH e若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì)7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器1 用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本思想

43、用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本思想設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)Hd(ej) ，對(duì)它，對(duì)它=0到到2之間等之間等間隔采樣間隔采樣N點(diǎn)，得到點(diǎn)，得到Hd(k)：1210| )e ()(2jddNkHkHkN，再對(duì)再對(duì)Hd(k)進(jìn)行進(jìn)行N點(diǎn)點(diǎn)IDFT，得到，得到h(n)： （7.3.2）h(n)作為所設(shè)計(jì)的作為所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為 （7.3.3）1210e )(1)(102jdNnkHNnhNkknN，10)()(NnnznhzH根據(jù)根據(jù)頻率域采樣頻率域采樣理論，利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號(hào)理論，利用頻率域

44、采樣值恢復(fù)原信號(hào)Z變換式，得到變換式，得到H(z)的內(nèi)插表示形式：的內(nèi)插表示形式：（7.3.4）此式就是直接利用頻率采樣值此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，（數(shù)，（7.3.3）式適合）式適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，（直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，（7.3.4）式）式適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。1012jde1)(1)(NkkNNzkHNzzH 下面討論兩個(gè)問(wèn)題：下面討論兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)一個(gè)是為了設(shè)計(jì)線性相位是為了設(shè)計(jì)線性相位FIR濾濾波器，頻域采樣序列波器，頻域采樣序列Hd(k)應(yīng)滿足的條件；應(yīng)滿足的條件；另一個(gè)另一個(gè)是逼近是逼近誤差問(wèn)題及其改進(jìn)措施。誤差問(wèn)題及

45、其改進(jìn)措施。2 設(shè)計(jì)線性相位濾波器時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)線性相位濾波器時(shí)對(duì)Hd(k)的約束條件的約束條件FIR濾波器具有線性相位的條件是濾波器具有線性相位的條件是h(n)為實(shí)序列，為實(shí)序列，且滿足且滿足h(n)=h(Nn1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：jj ()ddg(e )( )eHH （7.3.5）（7.3.6）21)(N(7.3.7)dgdg( )(2)HHN = 奇數(shù) (7.3.8)dgdg( )(2)HH N = 偶數(shù) 在在=02區(qū)間上區(qū)間上N個(gè)等間隔的采樣頻點(diǎn)為個(gè)等間隔的采樣頻點(diǎn)為將將=k代入（代入（7.3.5）（7.3.8）式中，并寫成）式中，并寫成k的函數(shù)：的函數(shù)

46、：kNk2k = 0，1，2，N 1 （7.3.9）)(jgde )()(kkHkH（7.3.10）kNNkNNk1221)(（7.3.11）)()(ggkNHkHN = 奇數(shù) （7.3.12） )()(ggkNHkHN = 偶數(shù) Hg(k)關(guān)于關(guān)于N/2點(diǎn)偶對(duì)稱點(diǎn)偶對(duì)稱Hg(k)關(guān)于關(guān)于N/2點(diǎn)奇對(duì)稱，且點(diǎn)奇對(duì)稱，且Hg(N/2)=0 設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器Hd(ej)，截止頻，截止頻率為率為c，采樣點(diǎn)數(shù)為，采樣點(diǎn)數(shù)為N，Hg(k)和和(k)用下列公式計(jì)算：用下列公式計(jì)算：（7.3.13） 12101)(1210)(2101)()(cccgcggNk

47、kNNkkNkkkkHkkkNHkH，N=偶數(shù)時(shí)，偶數(shù)時(shí)，ggcccgc()1 0,1,2,()0 1,2,1()1 1,2,1() 0,1,2,1cHkkkHkkkkNkHNkkkNkkkNN N=奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)時(shí)，kc是通帶內(nèi)最后一是通帶內(nèi)最后一個(gè)采樣點(diǎn)的序號(hào)，個(gè)采樣點(diǎn)的序號(hào)，所以所以kc的值取不大的值取不大于于cN/(2)的的最大整數(shù)。對(duì)于最大整數(shù)。對(duì)于高通和帶阻濾波高通和帶阻濾波器，器，N只能取奇數(shù)。只能取奇數(shù)。3 逼近誤差及其改進(jìn)措施逼近誤差及其改進(jìn)措施時(shí)域角度分析：時(shí)域角度分析： 待逼近的濾波器為待逼近的濾波器為Hd(ej)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，在頻

48、域，在頻域02范圍等間隔采樣范圍等間隔采樣N點(diǎn)，利用點(diǎn)，利用IDFT得到的得到的h(n)應(yīng)是應(yīng)是hd(n)以以N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即d( )()( )Nmh nh nmN Rn由于時(shí)域混疊由于時(shí)域混疊及截?cái)?，使及截?cái)?，使h(n)與與hd(n)有有偏差偏差頻域角度分析：頻域角度分析：H(ej)=FTh(n)的內(nèi)插表示形式：的內(nèi)插表示形式：10j2)()e (NkkNkHH式中式中21je)2/sin()2/sin(1)(NNN在采樣頻點(diǎn)，在采樣頻點(diǎn)，(2k/N)=1，因此采樣，因此采樣點(diǎn)處與點(diǎn)處與H(k)相等，逼近誤差為相等，逼近誤差為0。在采樣點(diǎn)之間

49、，在采樣點(diǎn)之間，由由N項(xiàng)項(xiàng)H(k)(2k/N)之和形成。之和形成。j(e)kHj(e)kH圖圖7.3.1 頻域幅度采樣序列頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內(nèi)插波形及其內(nèi)插波形Hg()dg()的誤差與的誤差與Hdg()特性的平滑特性的平滑程度有關(guān)，程度有關(guān)，Hdg()特性愈平滑的區(qū)特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，域，誤差愈?。惶匦郧€間斷點(diǎn)處，誤差最大。誤差最大。間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過(guò)渡帶曲線，間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過(guò)渡帶曲線，過(guò)渡帶寬度近似為過(guò)渡帶寬度近似為2/N。通帶和阻。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點(diǎn)附近帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點(diǎn)附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，振蕩幅度最大

50、，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。往往不能滿足技術(shù)要求。 增加增加N可以使過(guò)渡帶變窄，但是通可以使過(guò)渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨帶最大衰減和阻帶最小衰減隨N的的增大并無(wú)明顯改善。且增大并無(wú)明顯改善。且N太大，會(huì)太大，會(huì)增加濾波器的階數(shù)，即增加了運(yùn)算增加濾波器的階數(shù)，即增加了運(yùn)算量和成本。量和成本。提高阻帶衰減提高阻帶衰減的具體方法是在的具體方法是在頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)或幾個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過(guò)渡帶，這樣，雖點(diǎn)變成緩慢過(guò)渡帶，這樣，雖然加大了過(guò)渡帶，但阻帶中相然加大了過(guò)渡帶，但阻帶中相鄰內(nèi)插函數(shù)的旁瓣正負(fù)對(duì)

51、消，鄰內(nèi)插函數(shù)的旁瓣正負(fù)對(duì)消，明顯增大了阻帶衰減。明顯增大了阻帶衰減。表表7.3.1 過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減與濾波器阻帶最小衰減 s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 隨著隨著m， s明顯明顯s4 頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟（1） 根據(jù)阻帶最小衰減根據(jù)阻帶最小衰減 s選擇過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)選擇過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m。（2） 確定過(guò)渡帶寬度確定過(guò)渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度），估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度）N。如果給定過(guò)渡帶寬度。如果給定過(guò)渡帶寬度Bt，則要求，則要求(m+1)2/NBt ，濾波器長(zhǎng)，濾波器長(zhǎng)度度N必須滿足如下估算公式必須滿足如下估

52、算公式:（7.3.15） t2(1)NmB（3） 構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù):jj(1)/2ddg(e)( )eNHHHdg()為相應(yīng)為相應(yīng)的理想頻響特的理想頻響特性，且滿足表性，且滿足表對(duì)稱性。對(duì)稱性。（4） 按照（按照（7.3.1）式進(jìn)行頻域采樣）式進(jìn)行頻域采樣:(1)jjd2( )(e) ( )e, 0, 1, 2, , 1NkNgkNH kHHkkN（7.3.17） dg2( ), 0, 1, 2, , 1gHkHkkNN（5） 對(duì)對(duì)H(k)進(jìn)行進(jìn)行N點(diǎn)點(diǎn)IDFT，得到第一類線性相位，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖

53、響應(yīng):1 01( )IDFT( )( ), 0,1,2,1Nk nNkh nH kH k WnNN（6） 檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過(guò)渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾則要改變過(guò)渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào)波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào)Hdg()的邊界頻的邊界頻率。率。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法簡(jiǎn)單方便，易于實(shí)現(xiàn)。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法簡(jiǎn)單方便，易于實(shí)現(xiàn)。存在以下存在以下缺點(diǎn)缺點(diǎn): 濾波器邊界頻率不易精確控制。濾波器邊界頻率不易精確控制。 都不能分別控制通帶和阻

54、帶波紋幅度。都不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度。 所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻所設(shè)計(jì)的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠(yuǎn)，衰減越大。這兩種設(shè)計(jì)法存在較大的資帶邊界頻率越遠(yuǎn)，衰減越大。這兩種設(shè)計(jì)法存在較大的資源浪費(fèi)。源浪費(fèi)。7.4 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波數(shù)字濾波7.4.1 等波紋最佳逼近法的基本思想等波紋最佳逼近法的基本思想EWHHdg( )( )( )( )Hd()Hg( )E()設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度響應(yīng)為設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度響應(yīng)為 ，實(shí)際逼近，實(shí)際逼近的幅度的幅度響應(yīng)為響應(yīng)為 ，加權(quán)誤差為，加權(quán)誤差為 ，則：，則：準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：選擇選擇FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，使得，使得E(w)的的最大絕對(duì)值最小最大絕對(duì)值最小W()稱為誤差加權(quán)函稱為誤差加權(quán)函數(shù)，用來(lái)控制不同頻數(shù)，用來(lái)控制不同頻段的逼近精度，段的逼近精