1、高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與討論題第五章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到具有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量取值為數(shù)量或向量的函數(shù)，就是多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量值函數(shù)，統(tǒng)稱為多元函數(shù)，本章研究多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念、理論和方法以及它們的應(yīng)用，包括多元函數(shù)的極限與連續(xù)性。導(dǎo)數(shù)（方向?qū)?shù)，偏導(dǎo)數(shù)與梯度）與全微分等基本概念，多元函數(shù)微分法、極值問(wèn)題以及多元函數(shù)微分學(xué)的一些幾何應(yīng)用。多元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念、理論和方法是一元函數(shù)相應(yīng)概念、理論和方法的推廣和發(fā)展，因此它們之間既有相同之處，又有許多本質(zhì)上的不同，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候，既要注意它們的相同點(diǎn)和互相聯(lián)系，更要注意它們之間的不同點(diǎn)

2、，善于將它們進(jìn)行比較，研究推廣到多元函數(shù)之后出現(xiàn)的新情況和新問(wèn)題以及為什么會(huì)出現(xiàn)這些差異，有能力的同學(xué)還應(yīng)注意推廣的方法，以提高自己分析和解決問(wèn)題的能力。本章教學(xué)實(shí)施方案（總計(jì)30學(xué)時(shí)）講課：24學(xué)時(shí)分1.n維Enclid空間中點(diǎn)集的初步知識(shí)（2學(xué)時(shí)）2.多元函數(shù)的極限與連續(xù)性（2學(xué)時(shí)）3.多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（7學(xué)時(shí)）4.多元函數(shù)的Taylor公式與極值問(wèn)題（4學(xué)時(shí)）；5.多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（3學(xué)時(shí)）；6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（3學(xué)時(shí)）7.空間曲線的曲率與撓率（3學(xué)時(shí)）。習(xí)題課：4學(xué)時(shí)1.多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分（2學(xué)時(shí)）；2.多元函數(shù)的極值與多元微分在幾何中的應(yīng)用

3、（2學(xué)時(shí)）。討論課：2學(xué)時(shí)多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、梯度、全微分的概念及聯(lián)系；多元函數(shù)在極值問(wèn)題中與幾何方面的應(yīng)用。第一節(jié)n維Enclid空間中點(diǎn)集的初步知識(shí)一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)Rn中點(diǎn)列的極限與點(diǎn)集的初步知識(shí)。二、教學(xué)要求1. 理解n維歐氏空間Rn中點(diǎn)列極限的概念及性質(zhì)，了解它們與一維空間中數(shù)列極限概念及性質(zhì)的異同。2. 知道Rn中的開(kāi)值（含集合的內(nèi)點(diǎn)與內(nèi)部），閉集（含集合的聚點(diǎn)及導(dǎo)集），區(qū)域有界閉集（即緊集）等常用的幾個(gè)概念并能識(shí)別一些常見(jiàn)集合的開(kāi)閉性，連通性。第二節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)性一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)多元函數(shù)的概念（多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量函數(shù)）；多元函數(shù)的極限（重點(diǎn)講二重

4、極限）；多元函數(shù)的連續(xù)性（重點(diǎn)講二元連續(xù)函數(shù)）及其性質(zhì)。二、教學(xué)要求1. 理解多元函數(shù)有多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量值函數(shù)之分。2. 正確領(lǐng)會(huì)二重極限的概念，它與一元函數(shù)極限的異同，理解二重（n重）極限定義中為什么要求（X0,y0）（或X01,X02，X0n）為A的一個(gè)聚點(diǎn)。3. 正確理解利用二重極限定義說(shuō)明二重極限不存在的方法，會(huì)求較簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的二重極限。4. 正確理解二元（多元）函數(shù)的連續(xù)與間斷的概念。5. 理解n元向量值函數(shù)極限與連續(xù)性的定義。6. 知道有界閉集上多元連續(xù)函數(shù)的有界性，最大最小值定理及有界連通閉集上多元連續(xù)函數(shù)的介值定理。第三節(jié)多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)

5、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義；全微分的概念，函數(shù)可微的必要條件與充分條件，全微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用；梯度的概念，運(yùn)算法則及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系；高階偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t（重點(diǎn)二元函數(shù)）與全微分，一階全微分形式不變性，由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)的微分法，由方程組所確定的隱函數(shù)的微分法。二、教學(xué)要求1. 正確理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義，理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，理解多元函數(shù)在一點(diǎn)處方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)都存在不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。2. 正確理解多元函數(shù)在一點(diǎn)處可微與全微分的定義。3. 理解并熟記多元函數(shù)在一點(diǎn)處可微、方向?qū)?shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間的關(guān)系。4. 熟

6、悉利用偏導(dǎo)數(shù)求全微分的公式，會(huì)用全微分計(jì)算函數(shù)的近似值并能估5. 正確理解梯度的概念及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系，熟悉梯度的運(yùn)算，并會(huì)求函數(shù)的梯度。6. 熟悉多元函數(shù)（重點(diǎn)是二元函數(shù)）的高階偏導(dǎo)數(shù)（重點(diǎn)為二階偏導(dǎo)數(shù)）及混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件。7. 正確掌握和使用鏈?zhǔn)椒▌t求多元復(fù)合函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)的方法，特別是會(huì)求由抽象函數(shù)的復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，要求同學(xué)們通過(guò)做一定數(shù)量的習(xí)題，體會(huì)掌握該方法的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。8. 理解一階微分形式不變性，并會(huì)用它求復(fù)合函數(shù)的一階全微分與偏導(dǎo)數(shù)。9. 知道由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)的存在定理，并能正確求出隱函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)。10. 會(huì)求由方程組所確

7、定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。第四講多元函數(shù)的Taylor公式與極值問(wèn)題一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)多元函數(shù)的Taylor公式（重點(diǎn)是二階Taylor公式），多元函數(shù)無(wú)約束極值的必要條件與充分條件，最大最小值問(wèn)題，有約束極值的Lagrange乘數(shù)法。二、教學(xué)要求1 .熟悉多元函數(shù)的二階Taylor及其向量形式，理解其中的一階項(xiàng)系數(shù)為函數(shù)的梯度，二階項(xiàng)為二次型，其對(duì)應(yīng)的矩陣為函數(shù)的Hessian矩陣。2 ,能正確使用極值的必要條件與充分條件求出極值點(diǎn)并判定其是極大值還是極小值。3 .會(huì)求函數(shù)在有界閉域上的最大值與最小值，并利用它去解決實(shí)際應(yīng)用中的最大值與最小值問(wèn)題。4,能正確建立在實(shí)際問(wèn)題中有約束極值的目標(biāo)函數(shù)與

8、約束條件，并能使用Lagrange乘數(shù)法正確求解此類問(wèn)題。第五節(jié)多元向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)向量值函數(shù)的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)，向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念，向量值函數(shù)在一點(diǎn)處的Jacobi矩陣與Jacobi行列式，向量值函數(shù)的微分運(yùn)算法則，向量值函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。二、教學(xué)要求1, 正確理解一元向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，知道多元向量值函數(shù)方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算方法。2, 理解向量值函數(shù)可導(dǎo)性（可微性），導(dǎo)數(shù)與微分的概念。3, 熟悉向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的矩陣表示、Jacobi矩陣以及向量值函數(shù)的Jacobi矩陣與Jacobi行列式的區(qū)別。會(huì)計(jì)算一元向量值函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)。4, 熟

9、悉向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則，包括鏈?zhǔn)椒▌t。第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)空間曲線的切線與法平面，弧長(zhǎng)與弧微分，曲面的切平面與法線，空間曲線的Frenet標(biāo)架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識(shí)。二、教學(xué)要求1, 理解曲線的參數(shù)表示方法。2, 熟悉曲線的切線與法平面方程的各種表達(dá)式，并會(huì)利用它們解決與之相關(guān)的一些幾何問(wèn)題。3, 理解可求長(zhǎng)曲線及其弧長(zhǎng)的概念，熟悉弧長(zhǎng)計(jì)算公式。4, 理解弧微分與自然參數(shù)的概念，知道采用自然參數(shù)表示曲線有什么優(yōu)點(diǎn)。5, 理解曲面的雙參數(shù)表示及曲面上的參數(shù)曲線網(wǎng)。6, 熟悉曲面的切平面與法線方程的表達(dá)式，并會(huì)利用它們解決與之相關(guān)的一些幾何問(wèn)題。7,

10、理解空間曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架(即Frenet標(biāo)架)的構(gòu)成單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達(dá)式。8, 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計(jì)算。9, 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計(jì)算公式。第七節(jié)空間曲線的曲率與撓率一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)空間曲線的Frenet標(biāo)架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識(shí)。二、教學(xué)要求1, 理解空間曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架(即Frenet標(biāo)架)的構(gòu)成單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達(dá)式。2, 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計(jì)算。3, 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計(jì)算公式。討論題1 .在定義函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(%,y0)處的極限li

11、mf(x,y)時(shí)，為什么要求(x,y)>(xo,yo)點(diǎn)(xo,yo)為D(f)的聚點(diǎn)?2 .Vs>0,3§i,§2>0,使得在函數(shù)f(x,y)的定義域內(nèi)滿足|x-xo|<3,Iyyo1<占2且(x,y)豐(xo,yo)的一切(x,y)均有|f(x,y)A|<總成立，則limf(x,y)=A。對(duì)嗎？x/0yy03.多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限有何異同點(diǎn)？根據(jù)極限的定義，可將一元函數(shù)極限中的哪些概念與命題推廣到多元函數(shù)中來(lái)？4.如果引入極坐標(biāo)x=%+rcos日,y=y0+rsine且對(duì)每一個(gè)日值都有1%f(x0+rcosdy°+

12、rsin8)=A,其中A是與e無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么是否必有3limf(x,y)=A?試研究例子lim二6。x兇xwx：,Vyy0y0v5,判定二重極限不存在的常用方法有哪些？6.如果函數(shù)f(x0,y)在y0處連續(xù)，f(x,y°)在x°處連續(xù)，那么二元函數(shù)xy22xy=0f(x,y)在點(diǎn)(x0,y°)處是否必連續(xù)？試研究函數(shù)f(x,y)=x2+y220,xy=0在(0,0)處的連續(xù)性。7.計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y°)時(shí)，能否先將y=y。代入f(x,y)中，再對(duì)x求導(dǎo)?即是否成立：f(x0,y0)=df(x,y0).xdx對(duì)于函數(shù)f(x,y)=x2+(y-1)a

13、rctan)，你x能很快求出fx(1,1)嗎?8.對(duì)于函數(shù)f(x,y)=2xy22,xy0,2=0yk，問(wèn)fx(0,0)及fy(0,0)是否存y2-0在？f(x,y)在(0,0)點(diǎn)是否連續(xù)？f(x,y)在(0,0)點(diǎn)是否可微？此例說(shuō)明什么?9.試討論二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y。)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、沿任一方向的方向?qū)?shù)存在、可微及一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。10.判斷一個(gè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(%,y。)是否可微的常用方法是有哪些？試判斷下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否可微:f(x,y)=Jrx2y2=0x2+y2'y，在(0,0)點(diǎn);曾x2+y2=0(2)在(0,0)點(diǎn);f(x,y

14、)=<0,xyx2y22y2S-在(0,0)點(diǎn)。2y2=02f(x,y)=ln(1xy在(0,0)點(diǎn);z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),問(wèn)公式zx=fuufvVx、Zy=fuUy+fvVy成立的條件(條件盡可能的弱)是什么？設(shè)函數(shù)Z=f(x,y)0,x|y|22,xy=0一一、，又x=t,y=t,欲求22xy=0dzdtt=0下述兩種求法的結(jié)果不一樣，這是為什么?解法1:由于fx(0,0)=fy(0,0)=0,于是由鏈導(dǎo)法則dzdtdx=fx(0,0)10dt+fy(0,0)x5Lydt=0t=0解法2:把乂=1,y=t代入f(x,y)中，得z=f(t,t)t+,dzi=,故一<2dtt=012.若在區(qū)域D上恒有fy(x,y)=0,能否斷言函數(shù)f(x,y)在D上的函數(shù)值與y無(wú)關(guān)?13.設(shè)L為過(guò)點(diǎn)乂0(小，丫0)的任一直線,如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)在L上變動(dòng)