1、School of MicroelectronicsSchool of Microelectronicsl 要想提高器件溝道內(nèi)載流子的速度，研究載流子的遷移率是關(guān)鍵，而與遷移率相關(guān)的一個(gè)很重要的因素就是載流子的散射幾率。l 半導(dǎo)體內(nèi)部的載流子在一定溫度下，即使不受電場(chǎng)作用，也在永不停息的做著無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，帶電載流子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中就不斷地與這些帶電的雜質(zhì)或者正在熱振動(dòng)的晶格原子發(fā)生碰撞，載流子被碰撞后運(yùn)動(dòng)軌跡就發(fā)生了變化，從波的概念來(lái)說(shuō)，這是發(fā)生了散射。School of Microelectronicsl 載流子在熱運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還在不斷的受到其他各方面的影響。對(duì)于絕大多數(shù)半導(dǎo)體材料來(lái)說(shuō)，我們?cè)?/p>

2、考慮它們的散射機(jī)制的時(shí)候，往往只需要考慮影響半導(dǎo)體材料的主要散射原因，而忽略掉次要因素。像Si、Ge這類半導(dǎo)體，電離雜質(zhì)散射和晶格散射是主要的，尤其是在低溫或者低摻雜及中度摻雜的時(shí)候，至于溫度升高，升高到一定程度以后，它們的作用會(huì)漸漸減弱，直至不予考慮，這時(shí)候一些其他類型的散射形式就出現(xiàn)了，占據(jù)主導(dǎo)地位，直接影響到半導(dǎo)體材料的散射程度。School of Microelectronicsl 散射形成的根本原因在于原子在不同能級(jí)之間發(fā)生了躍遷，躍遷的結(jié)果是從一個(gè)初態(tài)躍遷到另外一個(gè)末態(tài)，這個(gè)躍遷過(guò)程中會(huì)發(fā)生能量的改變，或者釋能量或者吸收能量，并且改變的能量不是連續(xù)值，只能是某個(gè)特定值值成倍數(shù)增加或

3、者減少。所以躍遷的本質(zhì)涉及到量子力學(xué)中的散射理論。School of Microelectronicsl 從量子力學(xué)中的費(fèi)米黃金法則開(kāi)始，所有的散射機(jī)制都是由此產(chǎn)生，并且衍生出來(lái)的。半導(dǎo)體中載流子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遭到散射的根本原因是周期性勢(shì)場(chǎng)的被破壞。如果半導(dǎo)體內(nèi)部除了周期性勢(shì)場(chǎng)外，又存在一個(gè)附加勢(shì)場(chǎng)的作用，就會(huì)使能帶中的電子發(fā)生在不同k狀態(tài)間的躍遷。例如，原來(lái)處于k狀態(tài)的子，附加勢(shì)場(chǎng)促使它有一定的幾率躍遷到各種其它的狀態(tài)k，也就是說(shuō)，原來(lái)沿某一個(gè)方向以v(k)運(yùn)動(dòng)的電子，附加勢(shì)場(chǎng)可以使它散射到其他各個(gè)方向，改以速度v(k)運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遭到了散射。 School of Micr

4、oelectronics費(fèi)米黃金定則：在微擾勢(shì)(x)的作用下電子由一個(gè)狀態(tài)k(初態(tài)）向另一個(gè)狀態(tài)k(終態(tài)）躍遷的躍遷幾率W（k,k) （1） 和 分別是初態(tài)和終態(tài)電子的能量， 為參與散射的聲子能量。上式中的 函數(shù)體現(xiàn)了躍遷中的能量守恒。 對(duì)于彈性散射， 。上式中 為躍遷矩陣元，由下式可知躍遷矩陣元取決于波函數(shù)和微擾勢(shì) V(x)。 （2）對(duì)于與時(shí)間無(wú)關(guān)的V(x)，可將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù) （3）波矢為q的傅里葉系數(shù)A(q)可由下式得到，式中V為晶體體積。 （4）)(2) ,(W2qkkkkMkkkkMdxHkkkkMk k0qqqxiqqAx)exp()()V(dxexVVqAxiq)(1)(Sc

5、hool of Microelectronics將（3）式和 代入式（1），得到 （5）其中 ，稱為重疊積分。)()(xuexkxikkkkkkkkxkqkikkIkkAdxxuxukkAdxxuxueqA) ()()()()()()()(Mdxxuxukk)()(IkkSchool of Microelectronics在常溫下，淺施主和淺受主大部分處于電離狀態(tài)。施主雜質(zhì)電離后是一個(gè)帶正電的離子，受主雜質(zhì)電離后是一個(gè)帶負(fù)電的離子。在電離施主或受主周圍形成一個(gè)庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)，這一庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)局部地破壞了雜質(zhì)附近的周期性勢(shì)場(chǎng)，它就是使載流子散射的附加勢(shì)場(chǎng)。當(dāng)載流子運(yùn)動(dòng)到電離雜質(zhì)附近時(shí)，由于庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)的作用，

6、就使載流子運(yùn)動(dòng)的方向發(fā)生改變，以速度V接近電離雜質(zhì)，而以V離開(kāi)，十分類似粒子在原子核附近的散射。下圖畫(huà)出了電離雜質(zhì)對(duì)載流子散射的示意圖，它們是在散射過(guò)程中的軌跡是以電離雜質(zhì)為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線。庫(kù)侖散射一般并不改變電子的能量，是彈性散射。圖1 載流子在電離雜質(zhì)附近的運(yùn)動(dòng)軌跡School of Microelectronics早期對(duì)于電離雜質(zhì)散射的研究中，E.Conwell和V.F.Weisskopf在1950年在Physical Review上發(fā)表的一篇文章。他們假設(shè)一個(gè)電子被一個(gè)離子雜質(zhì)散射時(shí)幾乎不受其他離子雜質(zhì)的影響，并且利用洛倫茲玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)方程，計(jì)算出了電離雜質(zhì)散射的電阻率。 （6） d

7、為電離雜質(zhì)平均艱巨的一半，是半導(dǎo)體的介電常數(shù)。由于遷移率與電阻率是成反比的，由此得到的遷移率公式稱為Conwell-Weisskopf公式。mn電子有效質(zhì)量，NI為電離雜質(zhì)濃度 （7） 422223-2-272122311)(361lnT2109ekTdme23123212322327)3(1ln1)2IInNekTNemkT（School of Microelectronicsl 帶電載流子之所以改變了運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)生了偏離，是因?yàn)槭艿诫婋x后的雜質(zhì)所產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)的作用，但也不是所有的載流子都會(huì)被電離雜質(zhì)的這種庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)所散射。由于晶體中自由載流子的存在，較遠(yuǎn)距離的庫(kù)侖勢(shì)會(huì)受到屏蔽。在屏蔽庫(kù)侖勢(shì)

8、的基礎(chǔ)上處理電離雜質(zhì)散射將更為合理。所以用屏蔽庫(kù)侖勢(shì)代替裸庫(kù)侖勢(shì)，是處理電離雜質(zhì)散射的一個(gè)有效方法。在沒(méi)有任何附加勢(shì)的晶體中，自由載流子是均勻分布的。但電離中心的電荷引起的附加勢(shì)，使載流子在荷電中心附近偏離均勻分布。School of Microelectronics屏蔽庫(kù)侖勢(shì)：LD為德拜長(zhǎng)度。當(dāng)rLD時(shí)，電離中心的庫(kù)侖勢(shì)基本上被屏蔽。圖2給出了屏蔽庫(kù)侖勢(shì)和裸庫(kù)侖勢(shì)的比較。DLrerZerV024)(2120)(neTkLBD圖2 裸庫(kù)侖勢(shì)和屏蔽庫(kù)侖勢(shì)的比較School of Microelectronicsl 對(duì)于n型半導(dǎo)體，H.Brooks和C.Herring利用量子力學(xué)，對(duì)屏蔽庫(kù)侖勢(shì)作了

9、傅里葉分析，從而可計(jì)算微擾勢(shì)的矩陣元。他們得到的遷移率公式與式（7）即Conwell-Weisskopf公式具有相同的形式，僅在對(duì)數(shù)部分不同。下式稱為Brooks-Herring公式。l （8）bbbNemkTIn1)1ln1)23212322327（22226enTkmbnSchool of Microelectronics當(dāng)n=NI時(shí)，由C-W公式得出的結(jié)果和B-H公式得出的結(jié)果幾乎相同，這一點(diǎn)在下圖3中也可以看出。雖然這兩個(gè)公式給出了不同的結(jié)果，但是當(dāng)導(dǎo)帶電子濃度明顯少于電離雜質(zhì)濃度時(shí)，在相同的電離雜質(zhì)濃度下，B-H公式得到的遷移率較低。對(duì)此Herring指出，這主要是由于在n小于NI時(shí)

10、，B-H公式考慮了屏蔽作用減小，散射自然會(huì)更加有效，進(jìn)而得到更小的遷移率。圖3 在78K和300K時(shí)，分別由B-H公式和C-W公式得出的遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度變化圖School of Microelectronicsl 在1977年，Ridley將C-W和B-H公式作了一個(gè)調(diào)和。他發(fā)現(xiàn)二者都認(rèn)為特征長(zhǎng)度限定了散射勢(shì)的范圍（在B-H公式中特征長(zhǎng)度為屏蔽長(zhǎng)度，而在C-W公式中特征長(zhǎng)度為兩個(gè)電離雜質(zhì)中心距離的一半）。同樣，二者都假定一個(gè)特征長(zhǎng)度之內(nèi)只有一個(gè)電離雜質(zhì)中心，只有這個(gè)電離雜質(zhì)中心產(chǎn)生散射，而忽略其他電離雜質(zhì)中心的散射。Ridley通過(guò)引進(jìn)另一個(gè)電離雜質(zhì)中心不產(chǎn)生影響的幾率定量確定了這個(gè)假設(shè)

11、，下圖4是他們得出的結(jié)果。School of Microelectronicsl 下圖表明當(dāng)屏蔽作用很弱時(shí)，即 1，C-W公式是有效的；而當(dāng)屏蔽作用很強(qiáng)時(shí)，即1，B-H公式是有效的。他們的結(jié)果的實(shí)用性在于確定了一個(gè)屏蔽和未屏蔽區(qū)域的分界線，即 =1。在邊界線附近的區(qū)域，他們的表達(dá)式是最有用的。圖4 隨著屏蔽作用減弱，B-H公式向C-W公式交叉；=10-3，L為遷移率公式中的對(duì)數(shù)因子School of Microelectronics從圖5可以看出，當(dāng)電離雜質(zhì)濃度高于1018cm-3,理論計(jì)算得到的遷移率值與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的值符合得很好。實(shí)驗(yàn)得到的曲線形狀與Brooks-Herring曲線形狀相同，但

12、是實(shí)驗(yàn)值相對(duì)要小。圖5 遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度的變化曲線School of Microelectronics從圖中可以看出，當(dāng)電離雜質(zhì)濃度較低時(shí)，用B-H和C-W模型算得的值很相近，但在雜質(zhì)濃度高于51016cm-3時(shí)，二者的值相差較大。圖6 對(duì)纖鋅礦lnN，計(jì)算得到的低場(chǎng)遷移率隨著電離雜質(zhì)濃度變化曲線School of Microelectronics參考文獻(xiàn)【1】E.Conwell,V.F.Weisskopf.Theory of impurity scattering in semiconductorsJ.Physical review,1950,77:388【2】H.Brooks,C.Herring.J.Physical Review,1951,83:879【3】P.P.Debye,E.M.Conwell.J.Physical Review,1954,93:693【4】B.K.Ridley.J.J.Phys.C:Solid State Phys,1977,10:1589【5】Gerhard Backens