1、基于 matlab的各類混沌系統(tǒng)的計算機(jī)模擬 混沌實驗教學(xué)平臺的設(shè)計與實現(xiàn)初期報告物電 05 級 1a 班張丹偉20050003101摘要：本文利用數(shù)學(xué)軟件matlab對 lorenz 系統(tǒng)等六個重要的混沌模型進(jìn)行數(shù)值計算，同時模擬出各類混沌系統(tǒng)的獨特性質(zhì)，如混沌吸引子， 倍周期， 初值敏感性， 相圖， 分岔圖等。通過觀察和分析上述特性，加深了我們對混沌現(xiàn)象的理解。關(guān)鍵詞 ：混沌； 微分方程； ma tlab ；引言混沌探秘混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,其覆蓋面涉及到自然科學(xué)和社會科學(xué)的幾乎每一個分支。1972 年 12 月 29 日，美國麻省理工學(xué)院教授、混沌學(xué)開創(chuàng)人

2、之一 e.n. 洛倫茲在美國科學(xué)發(fā)展學(xué)會第139 次會議上發(fā)表了題為蝴蝶效應(yīng)的論文， 提出一個貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國得克薩斯州產(chǎn)生一個龍卷風(fēng)，并由此提出了天氣的不可準(zhǔn)確預(yù)報性。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？這是混沌在作怪！ “混沌”譯自英語中“ chaos”一詞，原意是混亂、無序，在現(xiàn)代非線性理論中，混沌則是泛指在確定體系中出現(xiàn)的貌似無規(guī)則的、類隨機(jī)的運動?；煦绗F(xiàn)象是普遍的，就在我們身邊， 是與我們關(guān)系最密切的現(xiàn)象，我們就生活在混沌的海洋中。 一支燃著的香煙， 在平穩(wěn)的氣流中緩緩升起一縷青煙，突然卷成一團(tuán)團(tuán)劇烈攪動的煙霧，向四方飄散；打開水龍頭，先是平穩(wěn)的層流，然后水花四濺

3、，流動變的不規(guī)則，這就是湍流；一個風(fēng)和日麗的夏天，突然風(fēng)起云涌，來了一場暴風(fēng)雨。一面旗幟在風(fēng)中飄揚(yáng)，一片秋葉從樹上落下， 它們都在做混沌運動。 可見混沌始終圍繞在我們的周圍，一直與人類為伴。一 混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚無通用的嚴(yán)格的定義 , 一般認(rèn)為 , 將不是由隨機(jī)性外因引起的 , 而是由確定性方程 ( 內(nèi)因 ) 直接得到的具有隨機(jī)性的運動狀態(tài)稱為混沌。2. 相空間 : 在連續(xù)動力系統(tǒng)中 , 用一組一階微分方程描述運動 , 以狀態(tài)變量 ( 或狀態(tài)向量 ) 為坐標(biāo)軸的空間構(gòu)成系統(tǒng)的相空間。系統(tǒng)的一個狀態(tài)用相空間的一個點表示 , 通過該點有唯一的一條積分曲線。3. 混沌運動 : 是確定

4、性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運動。 所謂軌道高度不穩(wěn)定 , 是指近鄰的軌道隨時間的發(fā)展會指數(shù)地分離。 由于這種不穩(wěn)定性 , 系統(tǒng)的長時間行為會顯示出某種混亂性。4. 分形和分維 :分形是 n維空間一個點集的一種幾何性質(zhì),該點集具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu) ,在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì),具有小于所在空間維數(shù)n的非整數(shù)維數(shù)。分維就是用非整數(shù)維分?jǐn)?shù)維來定量地描述分形的基本性質(zhì)。5. 不動點 :又稱平衡點、 定態(tài)。不動點是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取的一組值,對于這些值系統(tǒng)不隨時間變化。 在連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)中 ,相空間中有一個點x0 ,若滿足當(dāng)t時,軌跡x( t )x0 ,則稱x0 為不動點。6. 吸

5、引子 :指相空間的這樣的一個點集s ( 或一個子空間 ) ,對 s 鄰域的幾乎任意一點,當(dāng) t時所有軌跡線均趨于s,吸引子是穩(wěn)定的不動點。7. 奇異吸引子 :又稱混沌吸引子 ,指相空間中具有分?jǐn)?shù)維的吸引子的集合。該吸引集由永不重復(fù)自身的一系列點組成,并且無論如何也不表現(xiàn)出任何周期性?；煦畿壍谰瓦\行在其吸引子集中。8. 分叉和分叉點 :又稱分岔或分支。 指在某個或者某組參數(shù)發(fā)生變化時,長時間動力學(xué)運動的類型也發(fā)生變化。 這個參數(shù)值 ( 或這組參數(shù)值 ) 稱為分叉點 ,在分叉點處參數(shù)的微小變化會產(chǎn)生不同性質(zhì)的動力學(xué)特性,故系統(tǒng)在分叉點處是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。9. 周期解 :對于系統(tǒng)xn 1f ( xn

6、),當(dāng) n時, 若存在xn ixn ,則稱該系統(tǒng)有周期 i 解。不動點可以看作是周期為1 的解 ,因為它滿足xn 1xn 。10. 初值敏感性： 對初始條件的敏感依賴是混沌的基本特征，也有人用它來定義混沌： 混沌系統(tǒng)是其終極狀態(tài)極端敏感地依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)的系統(tǒng)。敏感依賴性的一個嚴(yán)重后果就在于，使得系統(tǒng)的長期行為變得不可預(yù)見。二matlab 中的龍格庫塔（ runge-kutta）實現(xiàn)matlab （ matrix laboratory ）是 mathworks 公司開發(fā)的， 目前國際上最流行應(yīng)用最廣的科學(xué)與工程計算機(jī)軟件之一。ma tlab軟件以矩陣運算為基礎(chǔ)，把計算，可視化，程序 設(shè)計等

7、有機(jī)的融合在一起，具有出色的數(shù)值計算能力和強(qiáng)大的圖形處理功能?；?runge kutta 法，ma tlab提供了求解微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式是： t, yode23(fname,tspan,y0) t, yode45(fname,tspan, y0)其中 fname 是定義的函數(shù)文件名， 該函數(shù)文件必須返回一個列向量。tspan形式是 t0,tf ， 表示求解區(qū)間， y0 是初始狀態(tài)向量。這兩個函數(shù)分別采用“二階，三階runge kutta 法” 和“四階，五階runge kutta 法”，并采用自適應(yīng)的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時采用較大的步長， 從而使計算速度很快， 當(dāng)解的變

8、化較快時步長會自動變小長，從而使計算精度很高。在 ma tlab中，一般選取四階的龍格庫塔方法。三lorenz 混沌系統(tǒng)美國氣象學(xué)家洛倫茲（e.n.lorenz ）于 1963 年在大氣科學(xué)雜志上提出第一個表現(xiàn)奇異吸引子的動力學(xué)系統(tǒng)。該混沌系統(tǒng)模型可以用下列微分方程組描述：dxc(xy) dtdyaxyxz dtdzb(xyz) dt利 用 ma tlab數(shù)學(xué)軟件對上面微分方程求解，進(jìn)行數(shù)值模擬。首先建立m 文件lorenz.m 定義腳本函數(shù)，然后編程調(diào)用，其中x（ 1）表示 x，x（ 2）表示 y，x（3）表示 z ， 程序如下：functionr=lorenz(t,x) globala;g

9、lobalb;globalc;r=-c*(x(1)-x(2);a*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);b*(x(1)*x(2)-x(3); clear;globala;globalb;globalc; b=8/3;c=10;t0=0,100;f0=1,1,1；fora=10:30 t,x=ode45(lorenz,t0,f0); asubplot(3,1,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('lorenz模型變量時域響應(yīng) ' );legend('x

10、', 'y', 'z'); xlabel('t'); subplot(3,1,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);title('lorenz模型相圖 ' );xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); gridon ;subplot(3,1,3); plot(x(:,1),x(:,3);title('lorenz模型 x z平面相圖 ' ); xlabel('x');ylabel('

11、z'); gridon ;pause; end1. 固定參數(shù) b 和 c，設(shè)置初始值 f0 和計算時間 t0，通過改變參數(shù) a 可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)逐步進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程。a=10lorenz模 型 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)15105x yz0020406080100tlorenz模 型 相 圖20z1006425601234yxlorenz模 型 x -z 相 圖1510z50123456xa=15lorenz模 型 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)40x20yz0-2001020304050t60708090100lorenz模 型 相 圖40z2001050-5-10

12、-10-50510yxlorenz模 型 x-z 相 圖3020z100-8-6-4-20x2468a=23lorenz模 型 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)40200xy z-2001020304050t60708090100lorenz模 型 相 圖40z2002010015-10-10-50510yxlorenz模 型 x -z 相 圖40z200-8-6-4-202x4681012a=2450lorenz模 型 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)x0yz-5001020304050t60708090100lorenz 模 型 相 圖50z200100-10-20-10-50

13、51015yxlorenz 模 型 x-z 相 圖6040z200-10-5051015xa=28lorenz模 型 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)500x yz-5001020304050t模 型 相60708090100lorenz圖50z020100-10-20-20-1001020yxlorenz模 型 x-z 相 圖6040z200-15-10-50x510152. lorenz吸引子當(dāng) a 28 時，系統(tǒng)已經(jīng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)，此時出現(xiàn)雙渦旋吸引子，如下所示：lorenz 方 程 吸 引 子 相 圖50zlorenz 方 程 x-y平 面 吸 引 子 相 圖2010y0020

14、0y-20200-20x-10-20-20020xlorenz 方 程 x-z平 面 吸 引 子 相 圖60lorenz 方 程 y-z平 面 吸 引 子 相 圖604040zz20200-20020x0-20020y3. 倍周期：通過系數(shù)的調(diào)試可以得到lorenz 混沌的一個單倍周期和兩個多倍周期，如下：205010zy00200y-20100-10x-10-20-10010x50504040z30z30202010-10010x10-20020y204010z20y0020-100y20-20-200x-20-20-10010x40403030z20z2010100-20-100100-2

15、00y20x156010405z20y0020-5-10020y-20-200x-15-20-10010x505040403030zz202010100-20-100100-20-100y1020x4. 初值敏感性：保持初值 x0 和 y0 不變，即 x0 y0 1，改變 z0 為 1.001 ，千分之一的變化會引起系統(tǒng)行為的顯著改變，如下圖所示：rossler方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 ) 50rossler方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 ) 50404030zz302020100-100102010-20-10010xxrossler方 程 x-

16、z平 面 相圖 (較 長 時 間 后)rossler方 程 x-z平 面 相圖 (較 長 時 間 后 )505040403030zz2020101000-1001020-20-10010xx四rossler 混沌系統(tǒng)rossler 系統(tǒng)是化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的簡化模型，是非線性動力學(xué)中非常著名的方程，該混沌系統(tǒng)模型可以用下列微分方程組描述dxy dtdyby dtdzc dtzxz(xa)同樣地，利用 matlab編程求解（程序見附錄） ，可以對該模型進(jìn)行分析。1. 逐步改變參數(shù)，觀察其進(jìn)入混沌狀態(tài)。0.04x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況a=00.02rossler方

17、 程 相 圖00.04-0.02z0.02-0.04-0.0600-0.05y-0.10-0.05x0.05-0.08050100150200tx( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況10a=0.078rossler方 程 相 圖63422z100-210-4-60y-10100-10x-8050100150200tx( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況15a=0.15rossler方 程 相 圖1015510z50010-50y-10200-20x-10050100150200tx( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況

18、40a=0.2530rossler方 程 相 圖20100-104030z20100200y-20200-20x-20050100150200tx( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況100a=0.3880rossler方 程 相 圖6010040z502002020000y-20-20x-20050100t1502002.rossler 吸引子：rossler 方 程 吸 引 子 相 圖rossler 方 程 x-y 平 面 吸 引 子 相 圖10400z20y020-100y20-20- 2 00x-20-1001020xrossler方 程 x-z平 面 吸 引

19、子 相 圖rossler 方 程 y-z平 面 吸 引 子 相 圖2020z10z1000-10010-10010xy3.倍周期：通過調(diào)整參數(shù)和初始值，可以得到單倍周期和2 倍周期，如下圖：2z1y0.50-0.502100y-2-1x-1-1.5-101x1.51.511zz0.50.50-101x0-2-101y5z0100y-10100-10x50y-5-10-50510x6644zz220-50510x0-10-505y初值敏感性：rossler方 程 相 圖rossler方 程 相 圖103020z5z100100y-100-10x020100y-20200-20x五蔡氏電路混沌系統(tǒng)

20、1983 年美國電學(xué)專家蔡少棠(l. o. chua) 首次提出了著名的蔡氏電路(chua s circuit) ,它是混沌發(fā)展史上的一個重要里程碑. 它使人們從被動的研究混沌現(xiàn)象向主動的設(shè)計和控制混沌邁出了關(guān)鍵的一步.蔡氏電路是目前眾多混沌電路中最具典型代表性的一種。對于單渦旋的變形蔡氏電路的微分方程組為：.12x( yk xk x3 ).y xyxz.z y當(dāng) 5.5， 7.4，k1 0.25，k2 0.1 時出現(xiàn)混沌狀態(tài)，如圖所示：21.5chua電 路 方 程 的 狀 態(tài) 變 量 的 時 域 響 應(yīng)x y z10.50-0.505101520253035404550tchua 電 路

21、方 程 吸 引 子 相 圖2chua 電 路 方 程 x-y 平 面 吸 引 子 相 圖0.60.4z1y0.200.5201y-0.50x0-0.20.511.52xchua 電 路 方 程 x-z 平 面 吸 引 子 相 圖1.5chua 電 路 方 程 y-z 平 面 吸 引 子 相 圖1.51z0.51z0.500.511.52x0-0.500.5y其初值敏感性如下所示：chua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 ) 1chua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 ) 1111zz111111.58111.58111.58111.581

22、1x11.58111.58111.58111.5811xchua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 長 時間 后 )chua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 長 時 間 后 )11.000111zz11111.58111.58111.58111.5811x0.99991.58111.58121.5812x對于多渦旋的情況，例如可以用多項式其無量綱歸一化狀態(tài)方程可以寫為：axbx xcx3 產(chǎn)生三渦卷蔡氏混沌吸引子，.x( yh( x).yxyz.zy其中 h( x)axbx xcx3 ，參數(shù) 12.8， 19.1，實驗中固定 b 1.1， c 0.45。1. 改變參數(shù) a

23、，觀察該電路模型的進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程a=0.3 50x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況-5020406080100tchua電 路 方 程 相 圖0z-2-40.50-0.5y0.511.522.5x0z-2-4chua電 路 方 程 x -z 相 圖0.511.522.5xa=0.52 5x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) )隨 t 變 化 情 況0-5020406080100tchua 電 路 方 程 相 圖5z0-50.40.20-0.2y-0.4-2-10123xchua 電 路 方 程 x-z相 圖5z0-5-2-1.5-1-0.500.511.522

24、.5xa=0.60x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) )隨 t 變 化 情 況50-5020406080100tchua 電 路 方 程 相 圖50-50.40.20-0.22-0.4-2-101yxchua 電 路 方 程 x-z相 圖50-5-2-1.5-1-0.50x0.511.52a=0.66x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) ) 隨 t 變 化 情 況50-5020406080100tchua電 路 方 程 相 圖500.4-50.20-0.22-0.4-2-101yxchua電 路 方 程 x -z 相 圖50-5-2-1.5-1-0.50x0.511.52zzzza=0.72

25、 20x( 紅 ),y( 綠 ),z( 藍(lán) )隨 t 變 化 情 況0-20020406080100tchua 電 路 方 程 相 圖20z0-20420-2y-4-4-2024xchua 電 路 方 程 x-z 相 圖20z0-20-3-2-10123x當(dāng) a 0.6 時，呈現(xiàn)三渦旋吸引子如下：chua 電 路 方 程 吸 引 子 相 圖5chua 電 路 方 程 x-y 平 面 吸 引 子 相 圖0.40.2z0y0-50.5200y-0.5-2x-0.2-0.4-202xchua 電 路 方 程 x-z平 面 吸 引 子 相 圖4chua 電 路 方 程 y-z平 面 吸 引 子 相 圖

26、422z0z0-2-2-4-202x-4-0.500.5y其初值敏感性：chua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 )-1chua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 短 時 間 后 ) 2-1.5z1.8z1.6-21.4-2.51.41.51.61.71.81.9xchua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 長 時 間 后 ) 3-1.75-1.7-1.65-1.6-1.55-1.5xchua 電 路 方 程 x-z平 面 相 圖 (較 長 時 間 后 ) 32211zz00-1-1-2-2-101x-2-2-101x六duffing 方程杜芬（ duffing ）方程指的是非線性振子的間諧受迫振動方