1、變厚度矩形薄板問題變厚度矩形薄板問題1.1.變厚度矩形薄板問題的發(fā)展變厚度矩形薄板問題的發(fā)展2.2.變厚度矩形薄板問題平衡微分方程變厚度矩形薄板問題平衡微分方程3.3.變厚度矩形薄板問題的求解變厚度矩形薄板問題的求解4.4.變厚度矩形薄板問題的變厚度矩形薄板問題的DQDQ解法解法1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（1 1變厚度矩形薄板問題背景介紹變厚度矩形薄板問題背景介紹（2 2現(xiàn)有解法的介紹現(xiàn)有解法的介紹實際工程中為了提高材料的利用率，減輕結(jié)實際工程中為了提高材料的利用率，減輕結(jié)構(gòu)的自重等需要，很多情況下要根據(jù)外界載構(gòu)的自重等需要，很多情況下要根據(jù)外界載荷和支撐

2、情況而使板的厚度作相應(yīng)變化，變荷和支撐情況而使板的厚度作相應(yīng)變化，變厚度矩形薄板就是其中用的較多的一種工程厚度矩形薄板就是其中用的較多的一種工程結(jié)構(gòu)，因而研究變厚度矩形薄板的彎曲問題結(jié)構(gòu)，因而研究變厚度矩形薄板的彎曲問題有著重要的理論與實際意義。有著重要的理論與實際意義。1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（1 1變厚度矩形薄板問題背景介紹一變厚度矩形薄板問題背景介紹一1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（1 1變厚度矩形薄板問題背景介紹二變厚度矩形薄板問題背景介紹二長期以來，有關(guān)等厚度板的研究非常多長期以來，有關(guān)等厚度板的研究非常多,

3、, 而而涉及變厚度板則較少。變厚度矩形板彎曲間涉及變厚度板則較少。變厚度矩形板彎曲間題的研究最早可追溯到題的研究最早可追溯到R.G.Ossion(1 9 3 4 R.G.Ossion(1 9 3 4 年年) )對一類線性變厚度板給出了級數(shù)解對一類線性變厚度板給出了級數(shù)解, ,對階對階梯形板給出了統(tǒng)一解式梯形板給出了統(tǒng)一解式, , 并以此來逼近連續(xù)并以此來逼近連續(xù)的單向變厚度板。自的單向變厚度板。自60 60 年代以來年代以來, , 由于計算由于計算機的應(yīng)用機的應(yīng)用, , 伴隨有限元法的興起伴隨有限元法的興起, , 使計算力使計算力學(xué)得到飛躍發(fā)展學(xué)得到飛躍發(fā)展, , 一般的板間題均可用有限一般的

4、板間題均可用有限元法和差分法解之元法和差分法解之, , 但誤差較大但誤差較大, , 求解不甚求解不甚經(jīng)濟。經(jīng)濟。1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（1 1變厚度矩形薄板問題背景介紹三變厚度矩形薄板問題背景介紹三近幾年來近幾年來, , 利用求解對象的特征利用求解對象的特征, , 采用半解采用半解析法來解決問題的途徑析法來解決問題的途徑, , 愈加受到推崇。目愈加受到推崇。目前有關(guān)變厚度矩形板的專門方法前有關(guān)變厚度矩形板的專門方法, , 大多針對大多針對單向變厚度、兩對邊簡支的矩形板單向變厚度、兩對邊簡支的矩形板( (稱稱Levy Levy 型板型板) , ) , 其

5、中有限條法較為有效其中有限條法較為有效, , 然而然而, , 在在具體實施中較繁瑣。以下簡單介紹幾種常見具體實施中較繁瑣。以下簡單介紹幾種常見而有效的針對變厚度矩形薄板問題的解法。而有效的針對變厚度矩形薄板問題的解法。1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（2 2現(xiàn)有解法的介紹一現(xiàn)有解法的介紹一a.a.變厚度矩形薄板的變厚度矩形薄板的GDGD解法解法基本思路：該方法從泰勒級數(shù)出發(fā)，用全域內(nèi)基本思路：該方法從泰勒級數(shù)出發(fā)，用全域內(nèi)節(jié)點函數(shù)的加權(quán)和來表示該點的各階導(dǎo)數(shù)值。節(jié)點函數(shù)的加權(quán)和來表示該點的各階導(dǎo)數(shù)值。益處：益處：GDGD法便捷，思路明確，是求解變厚度薄法便捷，思

6、路明確，是求解變厚度薄板彎曲問題、解決工程實例問題的一種有力工板彎曲問題、解決工程實例問題的一種有力工具。具。1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（2 2現(xiàn)有解法的介紹二現(xiàn)有解法的介紹二b.b.變厚度矩形薄板彎曲間題的插值矩陣法變厚度矩形薄板彎曲間題的插值矩陣法單向變厚度型板的彎曲問題單向變厚度型板的彎曲問題, , 用單三角級數(shù)用單三角級數(shù)把矩形板的控制方程化成?；辗址匠踢呏甸g把矩形板的控制方程化成?；辗址匠踢呏甸g題題, , 然后采用兩點邊值問題的擂值矩陣法求然后采用兩點邊值問題的擂值矩陣法求解板的方程。解板的方程。實踐結(jié)果表明實踐結(jié)果表明, ,用該方法求解變厚度板

7、的方法，用該方法求解變厚度板的方法，簡約簡約, ,精度高，通用性強精度高，通用性強, , 計算穩(wěn)定計算穩(wěn)定, , 收斂也收斂也快，使用方便?？?，使用方便。1.1.變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展變厚度矩形薄板問題的歷史發(fā)展（2 2現(xiàn)有解法的介紹三現(xiàn)有解法的介紹三 針對矩形薄板的動力響應(yīng)問題，提出了一種有效的方法：DQ半解析法 . 本方法針對矩形薄板的振動控制微分方程，在空間域采用DQ法，即微分求積法在時間域取級數(shù)，采用時域配點的方法，得到求解以板各節(jié)點動力響應(yīng)位移場為全部待定參數(shù)的線性方程組，只需一次求解該方程組即得到全部待定參數(shù)，進而得到各節(jié)點的動力響應(yīng)位移場，再由高階Lagrange插值得到全

8、域內(nèi)的動力響應(yīng)位移場該法和之前提到的GD法類似。 2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（1 1根據(jù)等厚度矩形薄板的平衡微分方程推根據(jù)等厚度矩形薄板的平衡微分方程推導(dǎo)變厚度矩形薄板平衡微分方程導(dǎo)變厚度矩形薄板平衡微分方程（2 2考察厚度沿某一方向線性變化的情況考察厚度沿某一方向線性變化的情況 （D=D=常數(shù)）常數(shù)）等厚度矩形薄板彎矩、扭矩與撓度等厚度矩形薄板彎矩、扭矩與撓度w w的關(guān)系：的關(guān)系：322222222212 1xEtwwwwMDxyxy322112 1xyEtwwMDx yx y 322222222212 1yEtwwwwMDyxyx2.2.變厚度矩形

9、薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（1 1平衡微分方程平衡微分方程 （a a）2222220 xyyxMMMqxx yy 等厚度矩形薄板平衡微分方程：等厚度矩形薄板平衡微分方程：等厚度矩形薄板等厚度矩形薄板 變厚度矩形薄板變厚度矩形薄板? ?即：即： D=D=常數(shù)常數(shù)D=D(x,y)D=D(x,y)則則Mx,My,MxyMx,My,Mxy的表達式仍然成立，但彎曲剛度的表達式仍然成立，但彎曲剛度D D變?yōu)樽優(yōu)閤 x和和y y的函數(shù)。的函數(shù)。假設(shè)：假設(shè)：1.1.薄板厚度變化比較平緩；薄板厚度變化比較平緩；2.2.薄板中薄板中面仍然是平面。面仍然是平面。2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡

10、微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（1 1平衡微分方程平衡微分方程（b b）將將D=D(x,y)D=D(x,y)帶入帶入Mx,My,MxyMx,My,Mxy的表達式，再將的表達式，再將Mx,My,MxyMx,My,Mxy帶入薄板平衡方程：帶入薄板平衡方程：2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（1 1平衡微分方程平衡微分方程2222220 xyyxMMMqxx yy 得到：得到：222222222222222 10wwwDDxxyx yx ywwqyyx 式式b b為變厚度矩形薄板的平衡微分方程為變厚度矩形薄板的平衡微分方程其中其中 = = ， 式式c c為撓

11、度為撓度w w的變系的變系數(shù)微分方程數(shù)微分方程 。對于薄板厚度的不同變化規(guī)律，。對于薄板厚度的不同變化規(guī)律，該微分方程的系數(shù)取不同的函數(shù)形式，要求該微分方程的系數(shù)取不同的函數(shù)形式，要求用不同的方法求解。用不同的方法求解。 2 22.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（1 1平衡微分方程平衡微分方程222222222222(1)(2)DDDwwwD wx xy yDwDwDwqxyx y x yyx 進一步改寫：進一步改寫： (c)(c)2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化薄板厚度沿

12、著某一方向線性變化的情況雖然薄板厚度沿著某一方向線性變化的情況雖然是一種特殊情況，但卻是工程上比較常見的。是一種特殊情況，但卻是工程上比較常見的。2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化如圖，假定薄板如圖，假定薄板y=b/2y=b/2處厚度為處厚度為t0,t0,有有則任意點厚度表示為則任意點厚度表示為 （ ）021(1)yttb 11 300212 1EtD 33 330022221(1)1(1)(d)12(1)12(1)EtEyyD ytDbb將撓度視為x,y及參數(shù)的函數(shù)，并表達為：2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡

13、微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化0,1,2., ,(e)nnnw x yw x y2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化現(xiàn)在我們已經(jīng)有現(xiàn)在我們已經(jīng)有222222222222(1)(2)DDDwwwD wx xy yDwDwDwqxyx y x yyx (c)(c) 33 330022221(1)1(1)(d)12(1)12(1)EtEyyD ytDbb0,1,2., ,(e)nnnw x yw x y2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)

14、平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化將d）、（e帶入c可以得到一個關(guān)于代數(shù)的方程，因為在-1到1之間取任意數(shù)值方程都成立，所以的所有各次冪的系數(shù)都應(yīng)當?shù)扔诹?，得到如下一系列常微分方程?.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化00( , )qw x yD10042( , )3(1)yw x ywwb yb 221100222004283(1)3(1)8 22(1)(1).ywwwwwb ybbxyywwb byb （f f）(g)(g)(h)(h)2.2.變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程變厚度矩形薄板力學(xué)平衡微分方程（2 2厚度沿某一方向線性變化厚度沿某一方向線性變化0,1,2., ,(e)nnnw x yw x y在求解問題的時候，可以先在邊界條件下由在求解問題的時候，可以先在邊界條件下由(f)(f)解出解出wowo；然后將；然后將w0w0帶入微分方程帶入微