1、2.5 投影變換 2.5.1 投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法 2.5.2 換面法換面法 2.5.3 換面法應(yīng)用舉例換面法應(yīng)用舉例2.5.1 投影變換的目的和方法a abb a abb 實(shí)長實(shí)長特殊位置線特殊位置線 反映線段實(shí)長和傾角反映線段實(shí)長和傾角一般位置線一般位置線 不反映線段實(shí)長和傾角不反映線段實(shí)長和傾角 ba ab c ca abb c c實(shí)形實(shí)形投影面平行面投影面平行面 反映平面實(shí)形和傾角反映平面實(shí)形和傾角一般位置面一般位置面 不反映平面實(shí)形和傾角不反映平面實(shí)形和傾角投影面平行線投影面平行線 直接反映直角直接反映直角一般位置線一般位置線 不能直接反映直角不能直接反映直角bb

2、 a c acba ab c ckk a abb c c特殊位置相交特殊位置相交 交點(diǎn)可以直接求出交點(diǎn)可以直接求出一般位置相交一般位置相交 交點(diǎn)不能直接求出交點(diǎn)不能直接求出ka abb c ck u 一般位置問題一般位置問題 不反映實(shí)長、實(shí)形、傾角，無積聚性，不反映實(shí)長、實(shí)形、傾角，無積聚性，垂直時不反映直角。解題較為煩瑣。垂直時不反映直角。解題較為煩瑣。u 特殊位置問題特殊位置問題 反映實(shí)長、實(shí)形、傾角，有積聚性，垂反映實(shí)長、實(shí)形、傾角，有積聚性，垂直時反映直角。解題較為方便。直時反映直角。解題較為方便。 投影變換投影變換 改變空間幾何元素與投影面改變空間幾何元素與投影面的相對位置，的相對位

3、置，把一般位置的問題轉(zhuǎn)化為特殊位置把一般位置的問題轉(zhuǎn)化為特殊位置的問題的問題來解決。來解決。常用投影變換方法常用投影變換方法：u 換面法換面法u 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法幾何元素不動，變換投影面投影面不動，旋轉(zhuǎn)幾何元素2.5.2 換面法基本原理與方法幾何元素不動，變換投影面幾何元素不動，變換投影面 換面法p 如何設(shè)立新投影面？如何設(shè)立新投影面？p 如何求新投影？如何求新投影？要解決兩個問要解決兩個問題題p 如何設(shè)立新投影面如何設(shè)立新投影面新投影面的設(shè)立原則新投影面的設(shè)立原則： 一次只能變換一個投影面一次只能變換一個投影面 必須和原有投影面之一垂直必須和原有投影面之一垂直 必須和空間幾何元素處于有利必須和空

4、間幾何元素處于有利于解題的位置（平行或垂直）于解題的位置（平行或垂直）舊投影面舊投影面 舊投影舊投影不變投影面不變投影面 不變投影不變投影新投影面新投影面 新投影新投影 a1 , b1 ; a1 , b1 舊投影軸 XX投影命名及標(biāo)注投影命名及標(biāo)注舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面X1新投影軸 X1ax點(diǎn)的一次變換點(diǎn)的一次變換p 如何求新投影如何求新投影 點(diǎn)的投影變換規(guī)律點(diǎn)的投影變換規(guī)律AHa VXaa1 V1X1ax1axHa VXaa1 X1ax1V1 a1 a X1 a1 ax1 = a ax舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面ax點(diǎn)的一次變換點(diǎn)的一次變

5、換p 如何求新投影如何求新投影 點(diǎn)的投影變換規(guī)律點(diǎn)的投影變換規(guī)律AHa VXaa1 V1X1ax1axHa VXaa1 X1ax1V1舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面 新投影到不變投影連線垂直于新投影軸；新投影到不變投影連線垂直于新投影軸； 新投影到新投影軸的距離等于舊投影到舊投影軸的距離。新投影到新投影軸的距離等于舊投影到舊投影軸的距離。XVHa axaa1 ax1HV1X1AHa VXaa1 V1X1ax1ax投影圖作法投影圖作法不變舊新a aa1ax1a1a X1XVHVH1VHAaaxX1X換換H H面時的作法面時的作法H1 a1a X1 a1ax1 = aax不變

6、舊新舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面一次變換基本作圖b1 a1 將一般位置線變?yōu)閷⒁话阄恢镁€變?yōu)橥队懊嫫叫芯€投影面平行線a b abX1XAB一般位置線一般位置線換換V面面“正平線正平線 ”（實(shí)長實(shí)長，）一般位置線一般位置線換換H面面“水平線水平線 ”（實(shí)長實(shí)長，）XVX1aa Hbb ABa1(b1)a b aba1(b1)XX1將投影面平行線變?yōu)閷⑼队懊嫫叫芯€變?yōu)橥队懊嫱队懊娲怪贝怪本€線H1水平線水平線“正垂線正垂線”換換V面面正平線正平線“鉛垂線鉛垂線”換換H面面a ab d bdcc XX1a1 (d1 )b1 c1 將一般位置面變?yōu)閷⒁话阄恢妹孀優(yōu)橥队懊嫱队懊娲怪?/p>

7、面垂直面 一般位置面一般位置面取水平線取水平線“正垂面正垂面”（）換換V面面一般位置面一般位置面“鉛垂面鉛垂面”（）取正平線取正平線換換H面面b1 a1 XX1a ab bcc c1 實(shí)實(shí) 形形將將投影面投影面垂直面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻嬲姑嬲姑妗八矫嫠矫妗保▽?shí)形實(shí)形）換換H面面鉛垂面鉛垂面“正平面正平面”（實(shí)形實(shí)形）換換V面面ab bkb1 m1 a1 k mk1 例例 過點(diǎn)過點(diǎn)K K作直線與直線作直線與直線ABAB垂直相交。垂直相交。a m c1例例 完成矩形完成矩形ABCDABCD的投影。的投影。a ab bcb1a1d d1c dk k例例 求直線和平面的交點(diǎn)。

8、求直線和平面的交點(diǎn)。a ab bed e f fdd1 e1 k1 f1 b1 a1 l1d 例例 求點(diǎn)求點(diǎn)K K到平面到平面ABCABC的距離。的距離。kl lda ab bcc k a1d1b1c1k1LLk d 例例 已知點(diǎn)已知點(diǎn)K K到平面到平面ABCABC的距離為的距離為L L，求，求K K點(diǎn)的正面投影。點(diǎn)的正面投影。a ab bcc l lka1d1l1b1c1dLk1L二次變換基本作圖二次變換基本作圖H2VHV1HV1H2VHVH1V2H1p 點(diǎn)的二次變換點(diǎn)的二次變換AHa Vaa1 X1ax1ax舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面XX2a2V1ax2不變投影面

9、不變投影面新投影面新投影面舊投影面舊投影面2112XVHX1HV1V1H2X2a aa1 a2舊舊p 點(diǎn)的二次變換點(diǎn)的二次變換XH2AHa Vaa1 X1ax1axX2a2V1ax2不變不變新新舊舊不變不變新新舊投影面舊投影面新投影面新投影面不變投影面不變投影面不變投影面不變投影面新投影面新投影面舊投影面舊投影面a1 a2 b2A把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€H2Ha VaX1XX2V1Bbb1 b 一般位置線一般位置線“正平線正平線”（實(shí)長，實(shí)長，）換換V面面換換H面面“鉛垂線鉛垂線”XVHHV1V1H2X2X1a aa1 a2(b2)b bb1 a1 a2 b2A

10、H2Ha VaX1XX2V1Bbb1 b 一般位置線一般位置線“正平線正平線”（實(shí)長，實(shí)長，）換換V面面換換H面面“鉛垂線鉛垂線”一般位置線一般位置線“水平線水平線”（實(shí)長，實(shí)長，）換換H面面換換V面面“正垂線正垂線”Xa a1 a2b bb1 c1 c2b2c c實(shí)實(shí) 形形a把一般位置面變?yōu)橥队懊嫫叫忻姘岩话阄恢妹孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻嬉话阄恢妹嬉话阄恢妹妗罢姑嬲姑妗保ǎ┤∷骄€取水平線換換V面面“水平面水平面”（實(shí)形實(shí)形）換換H面面X1X2 把一般位置面變?yōu)橥队懊嫫叫忻姘岩话阄恢妹孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻嬉话阄恢妹嬉话阄恢妹妗罢姑嬲姑妗保ǎ┤∷骄€取水平線換換V面面“水平面水平面”（實(shí)形實(shí)形）換

11、換H面面一般位置面一般位置面“鉛垂面鉛垂面”（）取正平線取正平線換換H面面“正平面正平面”（實(shí)形實(shí)形）換換V面面2.5.3 換面法應(yīng)用舉例k1 例例 求點(diǎn)求點(diǎn)K K到直線到直線ABAB的距離。的距離。a1 b1 l1 k2ll a2(b2)l2a b bk akLm2a2(b2)c2(d2)n2例例 求平行二直線求平行二直線ABAB、CDCD之間的距離。之間的距離。a b bb1 c1 c cad da1 d1 m1 n1 nmm n Lc 例例 已知平行二直線已知平行二直線ABAB、CDCD之間的距離為之間的距離為1515，完成，完成CDCD的水平投影。的水平投影。a b bcad da1c 2(d 2)b1c1d1a 2(b 2)R1530c 1 例：等腰三角形例：等腰三角形ABCABC，底邊，底邊ABAB，平面的，平面的角為角為3030，高，高的實(shí)長為的實(shí)長為L L，補(bǔ)全其投影，補(bǔ)全其投影 。有幾解？。有幾解？c a b bcad da 1(b 1)Lb 1e 1f 1例例 求交叉二直線求交叉二直線ABAB、CDCD的公垂線。的公垂線。e2f2EFd2Ca2(b2)DABc2H2c2c a b bcad dc 1d 1a 1efe