1、第六章第六章 函數(shù)插值函數(shù)插值本章主要討論的問題：1、函數(shù)插值的基本方法2、插值的誤差分析已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫6.1 插值插值舉例這就是本章要討論的“插值問題”。函數(shù)插值也就是對函數(shù)的離散數(shù)據(jù)建立簡單的數(shù)學(xué)模型。 Def：當(dāng)精確函數(shù) y = f (x) 非常復(fù)雜或未知時, 在區(qū)間a , b上一系列互異節(jié)點 x0, x1, ,x n 處測得函數(shù)值 y0 = f (x0), , yn

2、= f ( xn), 由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù) g(x) f (x), 滿足條件 g ( xi) = f ( xi) (i = 0, n) (*)這個問題稱為“插值問題插值問題”插值問題的定義這里的這里的 g(x) 稱為稱為f (x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。節(jié)點節(jié)點 x0 xn稱為插值節(jié)點稱為插值節(jié)點, f (x) 稱為被稱為被插函數(shù)，插函數(shù)，條件條件(*)稱為稱為插值條件插值條件, 區(qū)間區(qū)間a , b稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)最常用的插值函數(shù)是最常用的插值函數(shù)是 ?代數(shù)多項式代數(shù)多項式用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱

3、為代數(shù)插值代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)本章主要討論的內(nèi)容容插值函數(shù)的類型有很多種插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值問題插值法插值法插值函數(shù)插值函數(shù) 一、插值問題解的存在唯一性？ 二、插值多項式的常用構(gòu)造方法？ 三、插值函數(shù)的誤差如何估計？代數(shù)插值代數(shù)插值一一 代數(shù)插值問題解的存在惟一性代數(shù)插值問題解的存在惟一性 給定區(qū)間給定區(qū)間a , b上互異的上互異的n+1個點個點 的一的一 組函數(shù)值組函數(shù)值 , 求一個次數(shù)不超過求一個次數(shù)不超過 n 的多項式的多項式 , 使得使得 1 niix( ),0,1,if xin( )nP x nP( )( ),0,1,2,(1)niiP xf xin定理定理1：滿足

4、插值條件（滿足插值條件（1）的插值多項式（）的插值多項式（2）是存在）是存在唯一的。唯一的。2012( )(2)nnnP xaa xa xa x令令只要證明只要證明 Pn( x )的系數(shù)的系數(shù) 存在唯一即可存在唯一即可012,naa aa證：證：由插值條件由插值條件( (1 1) )知知 Pn (x)的系數(shù)滿足下列的系數(shù)滿足下列n+1+1個代數(shù)方個代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組程構(gòu)成的線性方程組 a0+a1x0+an x0n= f (x0) a0+a1x1+an x1n= f (x1) (3).a0+a1xn+an xnn= f (xn)而而 的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式

5、行列式, ,且且,0,1,ia in20002111010211(,)()01nnnijj innnnnxxxxxxV xxxxxxxx 從而方程組從而方程組(3)的解的解 存在且唯一存在且唯一. 012,naaaa 注：注：通過解上述方程組通過解上述方程組(3)求得插值多項式求得插值多項式 Pn ( x ) 的方法并的方法并不可取不可取. 這是因為當(dāng)這是因為當(dāng)n 較大時解方程組的計算量較大較大時解方程組的計算量較大, 而且而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大(可能可能是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組), 當(dāng)當(dāng)階數(shù)階數(shù)n 越越高時高時, 病態(tài)越重病態(tài)越重 .為此我們必須從其

6、它途為此我們必須從其它途徑來求徑來求Pn( x )：不通過求解方程組而獲不通過求解方程組而獲得插值多項式得插值多項式不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值基本思想基本思想: :在在n 次多項式空間次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)中找一組合適的基函數(shù) 0(x), 1(x), n( x ),使使Pn( x )=a0 0(x) +a1 1(x) +an n(x)n = 1可見可見 L1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線兩點的直線.6.2 Lagrange插值插值求求 n 次

7、多項式次多項式 使得使得01( )nnnL xaa xa x( ),0,1,niiL xy in已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求101( )Lxaa x100111(),()LxyL xy使使得得l0(x)l1(x)10100101100100110( )()( )iiiyyL xyxxxxxxxxyyl x yxxxx這種插值稱為線性插值這種插值稱為線性插值, 其中其中 l0( x ), l1( x )稱為線性插值的基稱為線性插值的基函數(shù)函數(shù), 它們是由插值節(jié)點它們是由插值節(jié)點 x0, x1唯一確定的唯一確定的, 且滿足且滿足:1,()0,ijijl xijn = 2 L

8、2(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) , ( x1, y1 ) 和和( x2, y2 ) 三點的次數(shù)不超三點的次數(shù)不超過過 2 次的多項式次的多項式, 幾何上看即為拋物線幾何上看即為拋物線.構(gòu)造構(gòu)造 L2(x) 如下如下, 令令: 2120102( )()()()()()()LxA xxxxB xxxxC xxxx代入代入200(),Lxy可得可得00102()()yAxxxx0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxxxxxxxxxl2(x)l0(x)l1(x)同理可得同理可

9、得 2120211012,()()()()yyBCxxxxxxxx于是有于是有 這種插值稱為二次插值這種插值稱為二次插值, 或拋物插值或拋物插值. 可以驗證可以驗證 L2(x)滿足插值滿足插值條件條件: L2(xi) = yi (i=0,1,2). 其中其中 l0( x ), l1( x )和和l2( x )稱為二次插稱為二次插值的基函數(shù)值的基函數(shù), 它們是由插值節(jié)點它們是由插值節(jié)點 x0, x1, x2唯一確定的唯一確定的, 且滿足且滿足1,()0,ijijl xij2001122( )( )( )( )Lxlx yl x ylx y二次插值函數(shù)：二次插值函數(shù)： 推廣到一般情形推廣到一般情形

10、, ,則有一般的則有一般的LagrangeLagrange插值公式插值公式. .一、插值基函數(shù)一、插值基函數(shù) De f : 若若n 次多項式次多項式 在在 n +1個插值節(jié)點個插值節(jié)點 上滿足插值條件上滿足插值條件( ) (0,1, )klxkn01nxxx1(), ( ,0,1, )0kiikiklxi knik則稱這則稱這 n +1 個個 n 次多項式次多項式 為插值節(jié)點為插值節(jié)點上的上的n 次插值基函數(shù)次插值基函數(shù). 01( ), ( ),( )nlx l xlx下建立其具體表達(dá)式：下建立其具體表達(dá)式： 由由ik 時時, 知知 為為 的零的零點點, 故設(shè)故設(shè) ()0kilx0111,kk

11、nx xxxx( )klx0111( )()()()()()kkkknlxA xxxxxxxxxx0111(0,1, )()()()()kkkkkkknAknxxxxxxxx由由 得得 ()1kklx011011()()()()( )(0,1, )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxknxxxxxxxx因此因此 與與 節(jié)點節(jié)點有關(guān)，而與有關(guān)，而與f 無關(guān)無關(guān)基函數(shù)的性質(zhì)基函數(shù)的性質(zhì) Prop1: 基函數(shù)基函數(shù) 為由插值節(jié)點為由插值節(jié)點 唯一確定的唯一確定的n 次函數(shù)次函數(shù). ( ) (0,1, )klxkn01,nx xxProp2: 基函數(shù)所含的基函數(shù)個數(shù)與插值節(jié)點個數(shù)

12、相同基函數(shù)所含的基函數(shù)個數(shù)與插值節(jié)點個數(shù)相同. 可以證明函數(shù)組可以證明函數(shù)組 l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值區(qū)間在插值區(qū)間a , b上線上線性無關(guān)性無關(guān), 所以這所以這 n+1個函數(shù)可作為個函數(shù)可作為Pn 的一組基函數(shù)的一組基函數(shù), 稱為稱為Lagrange插值基函數(shù)。插值基函數(shù)。00110( )( )( )( )( )nnnnkkkLxlx yl x ylx ylx y則則 Ln(x)是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過 n 的多項式的多項式, 滿足插值條件滿足插值條件Ln(xi) = yi , 稱其為稱其為Lagrange插值多項式插值多項式, 或或Lagrange插值公式。插值公式。

13、注注: (1) 若被插函數(shù)若被插函數(shù) f (x)=1, 則得插值基函數(shù)的一個重要性質(zhì)則得插值基函數(shù)的一個重要性質(zhì)(2) Lagrang插值只要求節(jié)點互異插值只要求節(jié)點互異, 而與大小次序無關(guān)。而與大小次序無關(guān)。 0( )1nkklx令：令：二、二、Lagrange 插值多項式插值多項式 方便記法方便記法：記：記：1010( )()()()()nnniixxxxxxxxx則則10110()()()()()()nnkkkkkkknkiii kxxxxxxxxxxx因此因此 可寫成如下形式可寫成如下形式( )nLx101( )( )()()nnnkkknkxLxyxxx例例1：已知已知 分別用線性插

14、值和二次分別用線性插值和二次插值求插值求 的近似值。的近似值。解解: (1) 線性插值線性插值10010, 12111, 1441211511121100( )1011100 121121 100115 121115 100115(115)101110.71429100 121121 100 xxL xL(2) 二次插值二次插值22(121)(144)(100)(144)( )1011(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)(100)(121)+12(144 100)(144 121)115(115)10.7228xxxxLxxxL注：注：這里線性插值只選取兩個

15、相近點。這里線性插值只選取兩個相近點。 插值余項插值余項 /* Remainder */(1)(1)10( )( )( )( )( )()( )(1)!(1)!nnnnniniffR xf xL xx xxnn定理定理6.2.1 若若(1)( )nfx在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 則在則在a , b上上的的n +1個互異的點，對個互異的點，對 f (x)所作的所作的n 次次Lagrange 插插值多項式值多項式Ln (x) 有誤差估計有誤差估計 Rolles Theorem的推論的推論: 若若 充分光滑充分光滑, 且且0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( n)(x 證明

16、：證明：由于由于R n ( xi ) 0 ，i = 0,1, n0)()nniixu xRxx任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察00( )( )( )()( )( )( )()nnniniiitR tu xtxf tL tu xtx (t )有有 n+2 個不同的根個不同的根 x0 xn x(1)()0,( , )nxxa b(1)( )( )(1)!nfu xn(Taylor公式公式)推論：推論：設(shè)設(shè) , 并記并記 ,則函數(shù)則函數(shù) f (x) 的過點的過點(a , f (a) , (b , f (b)的線性插值余項的線性插值余項 R1(x) 有上界誤差有上界誤差

17、估計式：估計式：2( ) , f xC a b2max |( )|a x bMfx 221|( )|() , , 8MR xbaxa b 說明：說明：10 : 由于余項含有因子由于余項含有因子,如果插值點偏離節(jié)點較遠(yuǎn)如果插值點偏離節(jié)點較遠(yuǎn), 則插值效則插值效果一般不理想果一般不理想.20 : 通常所說的通常所說的n 次代數(shù)插值多項式不一定就是次多項式次代數(shù)插值多項式不一定就是次多項式, 它它可能是次數(shù)低于可能是次數(shù)低于n 的的.30 : 一般情況下一般情況下, 余項中余項中的具體數(shù)值不易確定的具體數(shù)值不易確定, 實際計算中實際計算中常估計其誤差限常估計其誤差限.設(shè)設(shè)(1)1max |( )|n

18、na x bMfx 則有則有(1)1|( ) |max |( ) |(1)!nnnax bMRxxn 由此看出由此看出, |Rn(x)|的大小除與的大小除與Mn+1有關(guān)外有關(guān)外, 還與插值節(jié)點有密還與插值節(jié)點有密切關(guān)系切關(guān)系. 當(dāng)給定當(dāng)給定m 個點處的函數(shù)值個點處的函數(shù)值, 但僅選用其中但僅選用其中n+1(n+1 m)個作為插值條件而求某點個作為插值條件而求某點 處的函數(shù)值時處的函數(shù)值時, n+1個節(jié)點的個節(jié)點的選取應(yīng)盡可能地接近選取應(yīng)盡可能地接近 .xx40 : 優(yōu)缺點優(yōu)缺點優(yōu)點優(yōu)點: Lagrange插值多項式構(gòu)造簡單插值多項式構(gòu)造簡單, 形式對稱形式對稱, 計算方便計算方便.缺點缺點: 要增加節(jié)點時要增加節(jié)點時, 需重新構(gòu)造基函數(shù)需重新構(gòu)造基函數(shù).例例2：已知已知233sin,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計算插值計算 sin 50 ， 并估計誤差。并估計誤差。 解：解：n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計算計算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL015sin50()0.7761418L(2)1()13( )()(),sin2!6422xxfR xxx150.01319()0.0076218R sin 50 = 0.7660444