1、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 效益分配效益分配)(1Ivxniiniivxi, 2 , 1),( 212121),()()(0)(sssvsvssvv,2, 1nI集合 (1) Shapley合作對(duì)策合作對(duì)策滿(mǎn)足實(shí)函數(shù)，子集)(svIs I,v n人合作對(duì)策，人合作對(duì)策，v特征函特征函數(shù)數(shù)),(21nxxxxn人從人從v(I)得到的分配，滿(mǎn)得到的分配，滿(mǎn)足足v(s) 子子集集s的獲的獲利利第1頁(yè)/共21頁(yè)!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()(公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素?cái)?shù)目，中的元素?cái)?shù)目， Si 包含包含i的所有子的所有子集集)( sw由

2、由 s 決定的決定的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”的權(quán)的權(quán)重重 Shapley值值)()(isvsv i 對(duì)合作對(duì)合作s 的的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”)(siShapley合作對(duì)策合作對(duì)策第2頁(yè)/共21頁(yè)三人三人(I=1,2,3)經(jīng)商中甲的分配經(jīng)商中甲的分配x1的計(jì)算的計(jì)算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv1S1 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3類(lèi)似可得類(lèi)似可得 x2=23/6, x3=17/6)1()()(11svsvswxSs1 2 2 3第3頁(yè)/共21頁(yè)合作對(duì)策的應(yīng)用合作

3、對(duì)策的應(yīng)用 例例1 污水處理費(fèi)用的合理分污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān)擔(dān)20km38km河流河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123 污水處理，排入河流污水處理，排入河流三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠或聯(lián)合建廠(用管道將污水用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn))Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道長(zhǎng)度管道長(zhǎng)度建廠費(fèi)用建廠費(fèi)用P1=73Q0.712管道費(fèi)用管道費(fèi)用P2=0.66Q0.51L第4頁(yè)/共21頁(yè)230)3(,160)2(,230573) 1 (712. 0CCC35020566. 0)35(73)2 , 1 (51. 0712.

4、 0C36538366. 0)53(73)3 , 2(51. 0712. 0C46358566. 0)55(73) 3 , 1 (51. 0712. 0C460)3() 1 (CC污水處理的污水處理的5 種方種方案案1）單獨(dú)建廠）單獨(dú)建廠620)3()2() 1 (1CCCD總投資總投資2）1, 2合合作作3）2, 3合合作作4）1, 3合合作作580)3()2 , 1 (2CCD總總投資投資595) 3 , 2() 1 (3CCD總投資總投資合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)第5頁(yè)/共21頁(yè)55638) 35(66. 020566. 0)535(73) 3 , 2 , 1 (51. 051. 0712

5、. 05CD5）三城）三城合作總投合作總投資資D5最小最小, 應(yīng)聯(lián)合建廠應(yīng)聯(lián)合建廠 建廠費(fèi)：建廠費(fèi)：d1=73 (5+3+5)0.712=453 12管道費(fèi)：管道費(fèi)：d2=0.66 50.51 20=30 23管道費(fèi)：管道費(fèi)：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建議：建議：d1 按按 5:3:5分擔(dān)分擔(dān), d2,d3由城由城1,2擔(dān)擔(dān)負(fù)負(fù)城城2建議：建議：d3由城由城1,2按按 5:3分擔(dān)分擔(dān), d2由城由城1擔(dān)擔(dān)負(fù)負(fù)城城1計(jì)算：計(jì)算：城城3分擔(dān)分擔(dān)d1 5/13=174C(3), 城城2分擔(dān)分擔(dān)d1 3/13+d3 3/8 =132C(1)不不同同意意D5如何分擔(dān)？如何分

6、擔(dān)？230) 3(160) 2(230) 1 (CCC第6頁(yè)/共21頁(yè)0)3()2()1(,0)(vvvv3 ,2, 1I集合特征函數(shù)特征函數(shù)v(s)聯(lián)合聯(lián)合(集集s)建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資資),(321xxxx 三三城從城從節(jié)約投資節(jié)約投資v(I)中得到的分配中得到的分配40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 () 2() 1 ()(0) 31 (25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32(CCCCIvvCCCv Shapley合作對(duì)合作對(duì)策策第7頁(yè)/

7、共21頁(yè)計(jì)算計(jì)算城城1從從節(jié)約投資中得到的分配節(jié)約投資中得到的分配x1)1()()(svsvsw)(sws) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7,城城1 C(1)-x1=210.4, 城城2 C(2)-x2=127.8, 城城3 C(3)-x3=217.8三城在總投資三城在總投資556中的分中的分擔(dān)擔(dān)x2 =32.1, x3=12.2第8頁(yè)/共21頁(yè)合作對(duì)策的應(yīng)用合作對(duì)策的應(yīng)用 例例2 派別在團(tuán)體中的權(quán)派別在團(tuán)體中的權(quán)重重 90人

8、的團(tuán)體由人的團(tuán)體由3個(gè)派別組成，人數(shù)分別為個(gè)派別組成，人數(shù)分別為40, 30, 20人。團(tuán)體表決時(shí)需過(guò)半數(shù)的贊成票方可通過(guò)。人。團(tuán)體表決時(shí)需過(guò)半數(shù)的贊成票方可通過(guò)。1)()32()31 ()21 (, 0)3()2() 1 (, 0)(Ivvvvvvvv雖然雖然3派人數(shù)相差很大派人數(shù)相差很大若每個(gè)派別的成員同時(shí)投贊成票或反對(duì)票，用若每個(gè)派別的成員同時(shí)投贊成票或反對(duì)票，用Shapley合作對(duì)策合作對(duì)策計(jì)算計(jì)算各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。3/1321xxx權(quán)重團(tuán)體團(tuán)體 I=1,2,3，依次代表，依次代表3個(gè)派個(gè)派別別否則否則，的成員超過(guò)的成員超過(guò)定義定義特征函數(shù)特征函數(shù)045, 1

9、)(ssv第9頁(yè)/共21頁(yè)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。如如n個(gè)單位治理污染個(gè)單位治理污染, 通常知道第通常知道第i方單獨(dú)治理的投資方單獨(dú)治理的投資yi 和和n方共同治理的投資方共同治理的投資Y, 及第及第i方不參加時(shí)其余方不參加時(shí)其余n-1方的投資方的投資zi (i=1,2, n). 確定共同治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。確定共同治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。iijjzyiIv)(其它其它v(s)均不知道均不知道, 無(wú)法用無(wú)法用Shapley合作對(duì)策合作對(duì)策求解求解Shapley合作對(duì)策小合作對(duì)策小結(jié)結(jié)若定義特征函數(shù)為合作的獲利若定義特征函數(shù)為合作的獲利(節(jié)約的投資節(jié)約的投

10、資)，則有，則有,)(), 2 , 1(0)(1YyIvniivnii缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：需要知道所有合作的獲利，即要定義需要知道所有合作的獲利，即要定義I=1,2,n的所有子集的所有子集(共共2n-1個(gè)個(gè))的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。第10頁(yè)/共21頁(yè)),(1nbbb記設(shè)只知道設(shè)只知道)(iIvbi無(wú)無(wú) i 參加時(shí)參加時(shí)n-1方合作的獲利方合作的獲利)(IvB及全體合作的獲全體合作的獲利利0),(21inxxxxxB的分配求各方對(duì)獲利),(),7 , 5 , 4(11321xxxxbB求，即已知求解合作對(duì)策的其他方法求解合作對(duì)策的其他方法例例. 甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙

11、合作獲利甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，元，甲丙合作獲利甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利4元，三人元，三人合作獲利合作獲利11元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利？元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利？第11頁(yè)/共21頁(yè)（2）協(xié)商）協(xié)商解解00,AbAxTT11nniiibxxbxxBx11將剩余獲利將剩余獲利 平均分平均分配配 ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7 , 5 , 4(.Bb例模模型型以以n-1方合作的獲利為下方合作的獲利為下限限TTbxA求解求解iiibbnx11 xi 的下限的下限, 3),1 , 3 , 4(ixBx) 2 , 4 , 5() 1 ,

12、 1 , 1 ( xx第12頁(yè)/共21頁(yè)（3）Nash解解 ),(1nddd記為現(xiàn)狀點(diǎn)（談判時(shí)的威懾點(diǎn)）為現(xiàn)狀點(diǎn)（談判時(shí)的威懾點(diǎn)）iiiiiidxBxtsdxxma. .)(iixd 在此基礎(chǔ)上在此基礎(chǔ)上“均勻地均勻地”分配全體合作的獲利分配全體合作的獲利B模模型型0id)(1iiidBndx平均分配獲利平均分配獲利B3）Nash解解 2）協(xié)商解）協(xié)商解第13頁(yè)/共21頁(yè)（4）最小距離解）最小距離解的上限為記xxxxn),(1iiiiiixxBxtsxxnmi. .)(2模模型型 第第i 方的邊際效益方的邊際效益iibBx若若令令nBbbnxiii111),7 , 5 , 4(.Bb例)(1B

13、xnxxiii4）最小距離解）最小距離解 2）協(xié)商解）協(xié)商解, 6),4 , 6 , 7(Bxxi) 2 , 4 , 5 () 2 , 2 , 2 (xx第14頁(yè)/共21頁(yè)（5）滿(mǎn)意解）滿(mǎn)意解iiiiidedxu滿(mǎn)意度Bxtsunmixmaiii. .)(di現(xiàn)狀點(diǎn)現(xiàn)狀點(diǎn)(最低點(diǎn)最低點(diǎn))ei理想點(diǎn)理想點(diǎn)(最高點(diǎn)最高點(diǎn))模模型型iiiixexd,5）基于滿(mǎn)意度的解）基于滿(mǎn)意度的解 2）協(xié)商）協(xié)商解解iiixed , 0)(iiiiiiiiideudxdedBu的比例分配中在按iiiiixxBxxx第15頁(yè)/共21頁(yè)（6）Raiffa 解解jjxbBnjj獲利為方合作時(shí)的原來(lái)無(wú)參與當(dāng),1)(jin

14、inxxxxxjiijj, 1,) 1(2,2:)1的分配基礎(chǔ)上進(jìn)行方合作獲利的分配（在Bnx方再等分方平分，和先由11nnjxj得到再平均取,2, 1njijjiiixnxnxnnx) 1(21211) 4 , 6 , 7 (),1 , 3 , 4(xx與協(xié)商解與協(xié)商解x=(5,4,2)比比較較11),7 , 5 , 4(.Bb例)1252,12113,324（x第16頁(yè)/共21頁(yè)求解合作對(duì)策的求解合作對(duì)策的6種方法（可分為三類(lèi)）種方法（可分為三類(lèi)）Shapley合作對(duì)策合作對(duì)策A類(lèi)類(lèi)B類(lèi)類(lèi)!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()()(),(Iv

15、BiIvbi只需Issv),(需要所有協(xié)商協(xié)商解解)(1iiixBnxx下限ixNash解解 )(1iiidBndx現(xiàn)狀id最小距離最小距離解解)(1Bxnxxiii上限ix滿(mǎn)意解滿(mǎn)意解)(iiiiiiiiideudxdedBudi現(xiàn)狀現(xiàn)狀, ei理想理想iiiixexd,iibBx,1bAxB類(lèi)類(lèi)4種方法相同種方法相同第17頁(yè)/共21頁(yè)Raiffa解解C類(lèi)類(lèi))(),(IvBiIvbi只需方再等分方平分，和先由上限對(duì)每個(gè)11,nnjxjj第18頁(yè)/共21頁(yè)例：有一資方例：有一資方(甲甲)和二勞方和二勞方(乙乙,丙丙), 僅當(dāng)資方與至少僅當(dāng)資方與至少一勞方合作時(shí)才獲利一勞方合作時(shí)才獲利10元，應(yīng)如何分配該獲利？元，應(yīng)如何分配該獲利？10)(),10,10, 0(),(.IvBbiIvbBi)67. 1 ,67. 1 ,67. 6().(xShapleyA)0 , 0 ,10(,xbBxii)0 , 0 ,10(1TTbAx)83. 0 ,83. 0 ,34. 8(xijjiiixnxnxnnxRaiffiC) 1(21211).()0 ,0 ,10(x第19頁(yè)/