1、. .PAGE26 / NUMPAGES261、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。常見(jiàn)的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（-2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓過(guò)動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過(guò)直線的代數(shù)形式，可以看出直

2、線的特點(diǎn)：證明直線過(guò)定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。一、過(guò)一定點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在拋物線外，則過(guò)點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：兩條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（2）若定點(diǎn)P在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（3）若定點(diǎn)P在拋物線，則過(guò)點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條：和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。二、過(guò)定點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在雙曲線，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：和

3、雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）若定點(diǎn)P在雙曲線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點(diǎn)P在雙曲線外且不在漸近線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點(diǎn)P在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；（5）若定點(diǎn)P在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題弦的垂直平分線問(wèn)題和對(duì)稱問(wèn)題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪

4、個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題2、過(guò)點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：過(guò)點(diǎn)T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫(xiě)出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的倍。運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得= 1 * G

5、B3由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即= 2 * GB3由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。 解得滿足= 2 * GB3式 此時(shí)。例題3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值圍。分析：第一問(wèn)求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問(wèn)，過(guò)定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用

6、韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。 解：(I)a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2.圓過(guò)點(diǎn)O、F,圓心M在直線x=- 設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0, 設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

7、2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)， 則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為 令y=0，得 點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值圍為（）。例題4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（= 1 * ROMANI）求橢圓的方程； （= 2 * ROMANII）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問(wèn)是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問(wèn)中，點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過(guò)韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐

8、標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：（= 1 * ROMANI）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（= 2 * ROMANII）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根， 則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即 故當(dāng)時(shí)，MN過(guò)橢圓

9、的焦點(diǎn)。例題5、（07理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問(wèn)，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過(guò)定點(diǎn)，就是通過(guò)垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)

10、且，解得，且滿足當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對(duì)定點(diǎn)直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為，建立等式。直線不過(guò)定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過(guò)橢圓的中心O，且，如圖。(= 1 * ROMANI)求點(diǎn)C的坐標(biāo)與橢圓E的方程；(= 2 * ROMANII)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。解：(=

11、 1 * ROMANI)，且BC過(guò)橢圓的中心O 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)， ，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(= 2 * ROMANII) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根， 即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。例題7、設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,數(shù)的取值圍。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出來(lái)。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程

12、組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點(diǎn)消去x2，可得 即y2=又2y22， 22解之得：則實(shí)數(shù)的取值圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)即= 1 * GB3由韋達(dá)定理得：即= 2 * GB3由= 1 * GB3得，代入= 2 * GB3，整理得 ，解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時(shí)，易知或。總之實(shí)數(shù)的取值圍是。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值分析：（07理科）如圖，已知點(diǎn)（1，

13、0），直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且 QUOTE （）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程；（）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知 QUOTE QUOTE ，求 QUOTE 的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以與研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得.（）設(shè)直線的方程為： . 設(shè)，又， 聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，題型六：面積問(wèn)題例題8、（07理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓

14、C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題例題9、（07理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理

15、由。（此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力.解法1：（）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得又由點(diǎn)到直

16、線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問(wèn)題例題9、（08理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：()由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 ()由得 因?yàn)椴粸闄E圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成

17、三角形.在PMN中， 將代入，得 故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上. 由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點(diǎn)坐標(biāo)為問(wèn)題九：四點(diǎn)共線問(wèn)題例題10、（08理）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上22解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上例題1、已知直線相交于A、B兩點(diǎn)

18、。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值。（07理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值圍。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二設(shè)橢圓E: （a,b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A

19、,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)? 所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所

20、以, 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB |的取值圍為即: 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 .（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為

21、G， 由得. 由解得. 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，于?， .因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形（包括邊界）的充要條件為 即 亦即解得，此時(shí)也成立.故直線斜率的取值圍是問(wèn)題十一、存在性問(wèn)題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）(2009卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值圍，若不存

22、在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且. 因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗? 所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.當(dāng)時(shí),.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)

23、交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB |的取值圍為即:設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1R2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因?yàn)?所以, 即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1R0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線