1、押第13題 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理是高考全國(guó)卷的一個(gè)高頻考點(diǎn),大多為基礎(chǔ)題,且以小題的形式進(jìn)行考查,考查熱點(diǎn)是求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，或求形如的展開式中指定項(xiàng)的系數(shù).1二項(xiàng)式定理的展開式,其中組合數(shù)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有n+1項(xiàng).注意：（1）項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念,但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí),系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù).如在的展開式中,第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；（2）當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（3）審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？（4）特例：2.二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)

2、二項(xiàng)展開式中第r+l項(xiàng)稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng).主要用于求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí),要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性.注意：通項(xiàng)公式是表示第項(xiàng),而不是第項(xiàng).展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第項(xiàng)的系數(shù)不同.通項(xiàng)公式中含有五個(gè)元素,只要知道其中的四個(gè)元素,就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中,常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè),求另外幾個(gè)元素的問題,這類問題一般是利用通項(xiàng)公式,把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意是正整數(shù),是非負(fù)整數(shù)且. 3.項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首

3、末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）(2)增減性與最大值：當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大,當(dāng)時(shí),C的值逐漸減小,且在中間取得最大值.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)（第1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)（第和1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值 HYPERLINK /wxc/ .(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：,令,則 ,(4)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似運(yùn)算,關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厣崛〔挥绊懢鹊捻?xiàng),一般地：當(dāng)很小時(shí),有.4.二項(xiàng)定理問題的處理方法和技巧運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng),注意與雖然相同,但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的,一定要注意順序問題,另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)

4、不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分前者只與和有關(guān),恒為正,后者還與,有關(guān),可正可負(fù) 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母變量的值為1；關(guān)于組合恒等式的證明,常采用“構(gòu)造法”構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；證明不等式時(shí),應(yīng)注意運(yùn)用放縮法. 求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng),通常是先根據(jù)已知條件求,再求,有時(shí)還需先求,再求,才能求出. 有些三項(xiàng)展開式問題可以變形為二項(xiàng)式問題加以解決；有時(shí)也可以通過組合解決,但要注意分類清楚,不重不漏. 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題,首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),其次要掌握賦值法,賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個(gè)重要手段

5、. 近似計(jì)算要首先觀察精確度,然后選取展開式中若干項(xiàng). 用二項(xiàng)式定理證明整除問題,一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開,常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來解決.多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡(jiǎn),降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算,在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用,例如求常數(shù)項(xiàng),可令.在二項(xiàng)式的展開式中,要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.5. 求展開式系數(shù)最大項(xiàng)如求 ()的展開式系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法,設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為,且第項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用從而解出k來,即得6.二項(xiàng)式應(yīng)用問題(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí),關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式

6、,應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除,只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可(2)求余數(shù)問題時(shí),應(yīng)明確被除式與除式 (),商式與余式的關(guān)系及余式的范圍(3)展開式中常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)的特征是通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)解決這類問題時(shí),先要合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù),再根據(jù)上述特征進(jìn)行分析(4)有關(guān)求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等,一般要利用通項(xiàng)公式,運(yùn)用方程思想進(jìn)行求值,通過解不等式(組)求取值范圍7.二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,使用時(shí)有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個(gè)多項(xiàng)式恒等,則對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等)；二是賦值二項(xiàng)式定理結(jié)合“恒等”與“賦值”兩條思路可以

7、使很多求二項(xiàng)展開式的系數(shù)的問題迎刃而解賦值法是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的最有效的經(jīng)典方法,一般對(duì)任意,某式子恒成立,則對(duì)中的特殊值,該式子一定成立,特殊值如何選取視具體情況決定,靈活性較強(qiáng),一般取居多.若則設(shè).有： 1（2020山東高考真題）在的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）ABCD【答案】A【詳解】第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.2（2021江蘇高考真題）已知的展開式中的系數(shù)為40，則等于（）A5B6C7D8【答案】A【詳解】，所以.故選：A.3（2021湖南高考真題）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_（用數(shù)字作答）【答案】15【詳解】解：由取，得展開式中常數(shù)項(xiàng)為故答案為：154（2021天津高考真題

8、）在的展開式中，的系數(shù)是_【答案】160【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.5（2021北京高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_【答案】【詳解】的展開式的通項(xiàng) 令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為故答案為：.1（2022山東青島一模）的展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令可得所以的展開式中的系數(shù)是故答案為：2（2022山東泰安一模）在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是_.【答案】6【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，的展開式的通項(xiàng)公式為，所以展開式中，含的項(xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為6故答案為：6.3（2022福建福建模擬預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)武的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)

9、，則正整數(shù)n的最小值是_【答案】7【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為7.故答案為：7.4（2022廣東佛山模擬預(yù)測(cè)）展開式中的系數(shù)為_【答案】【詳解】由于，所以其展開式的通項(xiàng)為，其中，為得到展開式中的系數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.5（2022江蘇南通模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則_【答案】1【詳解】由題意令，可得 令，可得所以故答案為：1（限時(shí)：30分鐘）1若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，則正整數(shù)n的值為_【答案】6【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，令，所以，或，因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，故，即，故答案為：2已知，則的值

10、為_【答案】 【詳解】令帶入等式兩邊可得，.故答案為:.3在的展開式中的系數(shù)為_.【答案】6【詳解】，展開式中含的項(xiàng)為故它的展開式中的系數(shù)為6，故答案為：64若的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則_（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得，即，解得，所以或或.故答案為：（答案不唯一）.5已知的展開式中的系數(shù)為_【答案】240【詳解】 展開式的通項(xiàng)公式為： ，令 ，則，故的系數(shù)為 ，故答案為：2406二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是_.（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】解：因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；故答案為：7的

11、展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_【答案】10【詳解】的展開式中含的項(xiàng)為：，的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為10，故答案為：108的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)81乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)乘以時(shí)，令，解得常數(shù)項(xiàng)為 ；所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 故答案為：9已知的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為56，則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_.【答案】【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，則，所以，令可得各項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：10在展開式中，的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為8，則_.【答案】【詳解】設(shè)展開式的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為，奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為，則，得，由得.故答案為：.11若的展開式中第5項(xiàng)為常

12、數(shù)項(xiàng)，則該常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字表示）【答案】35【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，該展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：3512某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比一年利潤(rùn)增長(zhǎng)8%，則2026年的利潤(rùn)是_萬元.（結(jié)果精確到1萬元）【答案】147【詳解】由題意可知， (萬元)，即2026年的利潤(rùn)大約是147萬元.故答案為：14713已知，則_，_.【答案】 【詳解】在等式中，令可得，令，可得，令，可得，可得.故答案為：；.14已知多項(xiàng)式，則_，_.【答案】 1 -47【詳解】解：因?yàn)槎囗?xiàng)式，所以，即，解得，又，所以，故答案為： 1，-4715“楊輝三角”是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示，第行的數(shù)字之和為_；去除所有為1的項(xiàng)，依此構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，則此數(shù)列的前46項(xiàng)和為_.【答案】 2037【詳解】次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第行，例如：，系數(shù)分別為1，2，1，對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第三行：令，就可以求出該行的系數(shù)和，第1行為，第2行為，