1、第五章 靜態(tài)場的邊值問題邊值問題研究方法解析法數(shù)值法分離變量法鏡像法復(fù)變函數(shù)法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法5.1 唯一性定理和解的疊加原理 一. 唯一性定理1、表述 在給定的區(qū)域內(nèi)，泊松方程（或拉普拉斯方程）滿足所給定的全部邊界條件的解是唯一的。 2、邊界條件的形式給定全部邊界上的函數(shù)值給出全部邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值給定部分邊界上的函數(shù)值，而其余邊界上給出函數(shù)的法向?qū)?shù)值“狄利赫利”邊界條件“聶曼”邊界條件混合邊界條件3、唯一性定理的證明證明：考慮泊松方程，用反證法 在區(qū)域內(nèi)存在兩個不同的函數(shù) 和 都滿足相同的泊松方程 ，并且在區(qū)域邊界S上滿足同樣的邊界條件。 令則有利用取則對上

2、式兩邊在區(qū)域內(nèi)作體積分，然后運用散度定理，得將 代入上式得 對于第一類邊界條件對于第二類邊界條件對于第三類邊界條件不論對哪類邊界條件，面積分 都等于零 因此有 由于 恒為正值，故上式成立的條件是解之可得討論：對于第一類邊界條件，因為所以C = 0第二類和第三類邊界條件的情況 對于求解場函數(shù)來說，解是唯一的。4、應(yīng)當(dāng)明確只有在區(qū)域的所有邊界上給出唯一的邊界條件時，邊值問題的解才是唯一確定的。 唯一性定理 給出了求解電磁場問題的理論依據(jù)不論采用什么方法，只要得到的解能夠在區(qū)域內(nèi)滿足方程而在邊界上滿足邊界條件，這個解就是該邊值問題的唯一正確解。 二. 解的疊加原理解的可疊加性是方程線性的必然結(jié)果。

3、1、表述對拉普拉斯方程，若 、 、 都是滿足方程 的解 則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 并且 、 、 都是滿足方程 的解 則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 對泊松方程，若 是滿足方程 的一個任意解 2、證明討論泊松方程的情況對疊加得到的結(jié)果兩邊作 運算，得 因此 是方程 的解 令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情況的證明3、應(yīng)用求解邊界問題時，可以先將復(fù)雜邊界條件分解成便于求解的幾個邊界條件，則總的邊界問題解就是這些解的疊加。例：分解為三個邊界問題分解后每個邊值問題都只有一個非齊次邊界值，求解變得容易。 原問題的解應(yīng)該是三個問題解的疊加5.2 拉普拉斯方程的分離變量法一. 直角

4、坐標(biāo)系中的分離變量法 直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 令 ，并代入上式并兩邊同除以 得 1、方法介紹變量的分離則上式分解成三個獨立的全微分方程，即 稱為分離常數(shù)，分離常數(shù)之間滿足約束關(guān)系 全微分方程解的選?。ㄒ?為例）對 和 也都有與上述相同形式的解。在 、 、 三組可取解中各取其一并相乘，即可得到一個解的表達(dá)式。 解的選取并不是任意的，因為存在約束條件如果取 ， ，則必須取 a. 對于有兩個零值邊界的方向，其對應(yīng)的函數(shù)取三角函數(shù)；b. 對于單零值邊界方向，對應(yīng)的函數(shù)一般取雙曲函數(shù)形式；c. 而有無限遠(yuǎn)邊界的方向，一般取指數(shù)函數(shù)形式。d. 若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無關(guān)，則該變量對應(yīng)的函數(shù)取成

5、常數(shù)， 并取作1。根據(jù)邊界條件來選擇函數(shù)： 拉普拉斯方程的通解本征值：滿足齊次邊界條件的分離常數(shù)可以取一系列特殊值 本征值對應(yīng)的函數(shù)稱為本征函數(shù)或本征解。 所有本征解的線性疊加構(gòu)成滿足拉普拉斯方程的通解在許多問題中，單一本征函數(shù)不能滿足所給的邊界條件，而級數(shù)形式的通解則可以滿足單個解函數(shù)所無法滿足的邊界條件。 2、例題例5.1 邊界條件如圖，求電位分布 o y 0=U b a 0UU=圖51 長方形截面的導(dǎo)體長槽 0=U 0=U x 解：內(nèi)部電位與z無關(guān)，是二維問題 根據(jù)邊界條件寫出通解x方向電位有兩個零值邊界， 應(yīng)取三角函數(shù)形式；y方向電位為單零值邊界， 應(yīng)取雙曲函數(shù)形式。 令分離常數(shù) 則電

6、位通解為求待定系數(shù)將邊界條件(a)代入得 若對任意y成立，則 再利用邊界條件(b)得 通解變?yōu)槿魧θ我鈟成立，則再利用邊界條件(c)得 若對任意x成立，則 其中 ，若用整數(shù)n代替i，則上式表示為 把邊界條件(d)代入上式，得 將U0 在（0，a）區(qū)間內(nèi)展開為 的傅立葉級數(shù)于是其中對比兩邊各項系數(shù)可得因此，在槽內(nèi)的電位分布是 0UU= 0=U 0=U 0=U 例5.2 有兩塊一端彎成直角的導(dǎo)體板相對放置，中間留有一小縫，如圖所示。設(shè)導(dǎo)體板在x軸和z軸方向的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩導(dǎo)體板間的距離b，上導(dǎo)體的電位為U0，下導(dǎo)體接地。求兩板間的電位分布。 解：電位分布與z無關(guān)，這是一個二維拉普拉斯問題 邊界條件

7、邊界條件的分解 0UUbya= ybUUxa00= ybUUUxb000-= ybUUxb00-= 0=xbU ( A ) ( B ) 圖54 圖53的場分解 y y x x 00=yaU 0=bybU 00=ybU 對于(A)問題，情況與平行板電容器相同，兩極間為勻強(qiáng)電場對于(B)問題沿y軸方向存在兩個零電位邊界，取 沿x軸正方向邊界無界且電位趨于零，取 因此(B)問題的電位通解應(yīng)為 將邊界條件(c)代入，得利用傅立葉展開并比較系數(shù)，可求得(B)問題的解利用疊加原理所以原問題的電位表達(dá)式為 原問題的解應(yīng)該是A 問題和B 問題解的線性疊加二. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法1、方法介紹變量的分離圓柱

8、坐標(biāo)中拉普拉斯方程為令 ，代入上式，并在兩邊同乘以得得上式第二項只與 有關(guān)，可以先分離出來，令其等于常數(shù) 將上式代回到式(A)，各項同除以 r2，得 (A)令上式左邊最后一項等于常數(shù) ，則上式分離成為兩個方程解的選取 時 ， 對于對于 時 ， 時 ， 時 ， 時 ， 對于 ，是一個n階貝塞爾方程 時 時 時 時 稱為n階第一類貝塞爾函數(shù) 稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)，也叫聶曼函數(shù) 第一類和第二類變形貝塞爾函數(shù) 其中本征解的疊加構(gòu)成通解例5.3 電場強(qiáng)度為 的均勻靜電場中放入一半徑為a的電介質(zhì)長圓棒，棒的軸線與電場相垂直，棒的電容率為 ，外部電容率為 ，求任意點的電位。 解：在柱坐標(biāo)系中求解 根據(jù)邊

9、界條件，寫出通解與z無關(guān)，取 ，則故對于 ，根據(jù)問題的形式，可知所以取 n2 0，并且 n為正整數(shù)只取 項對于 ，因為所以 取于是通解可以表示為求分區(qū)通解r a 時，總電位包括外電場和介質(zhì)棒兩部分的貢獻(xiàn) 外電場電位介質(zhì)棒電位規(guī)定了考慮到當(dāng) 時，介質(zhì)棒產(chǎn)生的電位是有限值，故利用靜電場的邊界條件求系數(shù)將U1和U2的通解表達(dá)式代入上面兩個邊界條件，得 比較上面兩式兩邊 的系數(shù)，得 n = 1時以上兩式聯(lián)立求解，得 n 1時聯(lián)立解上面兩式求解，得求出圓柱內(nèi)外電位求出圓柱內(nèi)外電場強(qiáng)度 中的無限長圓柱體是和上面例子完全類似的磁場在均勻外磁場 邊值問題。用和 分別表示圓柱體內(nèi)外的磁標(biāo)位，則它們的邊界 條件也

10、和電位的形式相同，即 時 , 時 , 此時，和的解也與靜電場和的解有相同的形式，只需把和解中的和 分別用和代替，用代替，便得到和的解。同樣可以得知圓柱體內(nèi)的磁場強(qiáng)度是均勻的。 例 5.4 一導(dǎo)體圓筒的高度為b，半徑為a，所給邊界條件為 求圓筒內(nèi)的電位分布函數(shù)。解：由問題對稱性可知，電位與變量無關(guān)，因此應(yīng)取和;應(yīng)該取成在零點處為零值；并考慮到電位在r=0處為有限值，故的形式為。因此電位函數(shù)的本征解為：的雙曲正弦函數(shù)，有將邊界條件代入上式，得所以應(yīng)是零階貝塞爾函數(shù)的根 把所有本征值所對應(yīng)的本征解相加，得到電位函數(shù)的通解將邊界條件代入上式，得上式兩邊同乘以，從0a對r積分，得 對上式兩邊分別應(yīng)用貝塞

11、爾函數(shù)積分公式 和正交公式（540），可以得到 所以 例5.5 將例題5.4的邊界條件改成求圓筒內(nèi)的電位分布函數(shù)。解：由問題對稱性可知，電位與變量無關(guān)，因此應(yīng)取和應(yīng)該取成在零點處為零值的正弦函數(shù) 并考慮到電位在r=0處為的形式為。因此電位函數(shù)的通解為有限值, 將邊界條件代入上式，得 上式兩邊同乘以，從0b對z積分，由三角函數(shù)的正交性，得代回原式，得到 三. 球面坐標(biāo)系中的分離變量法 球面坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 令 代入上式，并兩邊同乘以變量的分離得引入 - m2分離引入 n(n+1)分離r分離解的選取 時 對于 時 對于 解只有一種形式 時 時 時 對于分別稱為第一類和第二類連帶勒讓德

12、函數(shù) 分別稱為第一類和第二類勒讓德函數(shù) 本征解的疊加構(gòu)成通解例5.6 在均勻電場中放入一半徑為a的接地導(dǎo)體球。求任意點的電位和電場強(qiáng)度 解：取球心位于坐標(biāo)原點， 電場方向為極軸方向，建立球坐標(biāo)系根據(jù)邊界條件，求出通解與 無關(guān)，取m = 0，所求場域包括 ，故只含有第一類勒讓德多項式 r 0Ev x a 0e P z y o q 電位通解可以寫成 根據(jù)邊界條件確定電位因為導(dǎo)體球接地，所以球內(nèi)在球外，電位包括均勻電場和導(dǎo)體球兩部分的貢獻(xiàn)均勻電場的電位因為感應(yīng)電荷的電位因為 時， 故總電位利用導(dǎo)體球的邊界條件 ，得 不含 rn 項由勒讓德多項式的正交公式可得根據(jù)電位求電場因此球外電位是可見，感應(yīng)電荷

13、對場的貢獻(xiàn)相當(dāng)于一個沿z軸放置的電偶極子，這是由于球面感應(yīng)電荷的分布恰好是上正下負(fù)之故。 例5.6 略5.3 鏡像法鏡像法理論依據(jù)：唯一性定理。鏡像法基本思路：分界面上的感應(yīng)源 區(qū)域外的鏡像源無限區(qū)域的同種媒質(zhì)問題 分區(qū)媒質(zhì)問題鏡像電荷位置選擇原則：1、鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外的空間。 2、鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件。 一. 平面鏡像 例5.8 真空中一點電荷q位于一無限大接地導(dǎo)體平面的上方，與平面的距離為h。求z 0區(qū)域的電位分布。 1、導(dǎo)體介質(zhì)（電場）用鏡像電荷 代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷將 區(qū)域換成真空 解：給出等效問題z 0區(qū)域所滿足的邊界條件保持不變，即所以，原問題就化

14、作求解電荷 在無界真空區(qū)域中的問題。區(qū)別僅在于我們只取z 0區(qū)域的解。求解等效問題空間任意點的電位由q和 共同產(chǎn)生 根據(jù) ，可知R時，U = 0根據(jù) ，可得 于是原問題的解感應(yīng)電荷密度為 總感應(yīng)電荷為 導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷總感應(yīng)電荷恰好等于鏡像電荷電量。這一結(jié)果是合理的，因為點電荷q所發(fā)出的電力線將全部終止于無限大的接地導(dǎo)體平面上。點電荷對相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像a. 兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。 要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。b.對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則所有鏡像電荷數(shù)目為 2n - 1個。2、介質(zhì)介質(zhì)（電場） q h R ),

15、(zyxP 2e o (c) 2e y x q q- h R R ),(zyxP 1e 1e y x o (b) -h 例題5.9 在1區(qū)距離界面h處有個點電荷q 求空間的電位分布q h 1e 2e y x o 解：給出等效問題x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場問題(b)x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場問題(c)求解等效問題 兩個區(qū)域的電位表達(dá)式為 電位的邊界條件是 將電位表達(dá)式代入得聯(lián)立求解，得 化簡得 將這兩個鏡像電荷的表達(dá)式代入分區(qū)域的電位表達(dá)式中即可得到整個空間的電位。給出原問題的解3、介質(zhì)介質(zhì)（磁場）例5.10 求與分界面平行的無限長線電流I，在空間

16、各點的磁場。 解：原問題的等效1區(qū)2區(qū)求解等效問題設(shè)分界面法線方向 ，切線方向 則界面兩側(cè)的磁場為利用邊界條件將磁場表達(dá)式代入，可解得給出原問題的解如果區(qū)域1是 的非磁性材料，區(qū)域2是 的理想磁導(dǎo)體 則在x = 0的分界面上表明：理想磁導(dǎo)體的外側(cè)磁場只有法線分量。這與理想電導(dǎo)體表面只有法線電場分量的情況類似。 二. 球面鏡像 對于分界面是球面，并且源為點源的靜態(tài)場問題，可用球面鏡像。例5.11 在半徑為a的接地導(dǎo)體球外M點有一個點電荷q，球心O與M點的距離為d，如圖所示。求導(dǎo)體球外的電位分布和球面上的感應(yīng)電荷。 qqOqrRRddABM解：設(shè)置鏡像電荷鏡像電荷 應(yīng)在OM連線的球內(nèi)部分上，設(shè) 的

17、位置點與O點的距離為 空間任意點的電位邊界條件 對于球面上的任意點都成立考察 兩點，則有由上面兩式解得 求出的鏡像電荷及位置是否滿足整個球面的零位邊界條件？ 將 代入表達(dá)式，得 故這兩個點電荷在球外區(qū)域產(chǎn)生的位就是原問題的解，即 求感應(yīng)電荷面密度 利用電位可求出導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷密度與總感應(yīng)電荷 a. 總感應(yīng)電荷恰等于鏡像電荷 b. 感應(yīng)電荷的絕對值小于施感電荷q 表明q發(fā)出的電力線一部分終止于導(dǎo)體球面而另一部分則終止于無窮遠(yuǎn)處。 討論：a. 導(dǎo)體球不接地且表面上不帶過剩電荷 b. 導(dǎo)體球不接地，并且給出它的電位為U0 c. 導(dǎo)體內(nèi)挖一個球形空腔，空腔內(nèi) 點有一點電荷 距球心 此時需要在球心

18、處增加一個鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 此時需要在球心處增加一個鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 此時它的鏡像應(yīng)該放在腔外的M點上，也就是本例問題的反演，鏡像電荷 和 。 腔內(nèi)的場分布由 共同確定。例5.12 假設(shè)一個無限大接地導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球形導(dǎo)體凸塊，在凸塊附近有一個點電荷q。求此電荷的鏡像。 解：建立坐標(biāo)系設(shè)電荷q和導(dǎo)體平面法線所在的平面為xz平面。o z a z q- d q q(x,0,z) -q(x,0,-z) x a. 電荷q對導(dǎo)體平面xy面的鏡像電荷- q， 坐標(biāo)為 ( x, 0, -z) b. 電荷 q 對球面的鏡像為 求鏡像電荷導(dǎo)體外

19、任意點的場由 四個點電荷共同確定。 c. 鏡像電荷 對xy平面的鏡像為 ， 處在 與O的連線上。三. 圓柱面鏡像 r P o a lr R R lr j x d o d M y b b B 例5.13 在半徑為a的無限長接地導(dǎo)體園柱外有一根與圓柱軸線平行的無限長線電荷，線電荷與圓柱軸線的距離為d，如圖所示。求：柱外任意點的電位和柱面上的感應(yīng)電荷。 解：設(shè)置鏡像電荷根據(jù)場的對稱性，可設(shè)鏡像電荷是一條與圓柱軸平行的線電荷，線密度為 ，與軸線的距離為 。 求解等效問題空間任意點的電位為 其中 代入邊界條件 ，得 上式應(yīng)對任意都成立，即圓柱面上的電位處處為零。因此應(yīng)有 由此可以得到上式成立的充分條件是

20、兩個方括號部分都等于零 所以可得到不合理正確解給出原問題的解利用求得的鏡像電荷參數(shù)可以得到柱外任意點電位 柱面上的感應(yīng)電荷面密度和單位長度上的感應(yīng)電荷分別為 等量異號平行線電荷的等電位面 lr lr b b y x 圖516 平行線電荷的等電位線 假定兩線電荷相距為2b，電量分別為 ，則空間任意點電位為分別表示場點與 的距離，可見當(dāng) 取不同值時，就得到不同電位的等位線。 若取兩線電荷連線為x軸，連線的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則整理可得 這是一個以常數(shù)k為參量的圓族方程，它表示兩條平行異號線電荷在二維平面內(nèi)的等電位線族。 等位圓的圓心在半徑為k 1時，等位圓在y軸的右側(cè)，電位為正值；k =

21、1時，等位線變?yōu)閥軸，電位為零；k = 0時，等位圓縮為(0,b)處的點，電位為；k =時，等位圓縮為(0,b)處的點，電位為。例5.14 兩無限長平行圓柱導(dǎo)體的半徑都等于a，軸線之間的距離為2d，如圖所示。求：導(dǎo)體柱單位長度的電容。 解：用兩條平行異號線電荷和作為平行帶電圓柱的鏡像。首先來確定線電荷的位置b。在右邊圓柱邊界上選取兩個特殊點 ，設(shè)y軸上的任意點為零電位參考點，則空間任意點處的電位為則即解之得所以空間任意點處的電位為可得帶負(fù)電圓柱的電位由此將帶負(fù)電圓柱面的方程 代入上式， 同理，可證明帶正電圓柱的電位為 兩圓柱間的電位差 兩圓柱單位長度的電容為 當(dāng) 時，令 ，則得5.4 復(fù)變函數(shù)法1、復(fù)位函數(shù)法 2、保角變換法 5.5 有限差分法 1、數(shù)值方法當(dāng)邊界形狀比較復(fù)雜，以至邊界條件無法寫成解析式而只能用一些離散數(shù)值表示時，前面所介紹的各種解法均無法使用，此時可以采用數(shù)值方法求解。 有限差分法、矩量法、有限元法、邊界元法2、有限差分法 基本思想： 將滿足拉