1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義直線與平面平行【高考要求】：1掌握空間直線和平面的位置關(guān)系；2,掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化3,掌握空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系，掌握兩個(gè)平面平行的定義；4掌握兩個(gè)平面平行的判定定理及性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化【知識(shí)點(diǎn)歸納】魯.直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))；符號(hào)表示為：a? 口，(2)直線和平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn))；符號(hào)表示為：aP|a = A, (3)直線和平面平行(沒有公共點(diǎn))一一用兩分法進(jìn)行兩次分類.符號(hào)表示為：a

2、 /a .2線面平行的判定定理：判定方法圖形符號(hào)語后直 線 與 平 面 平 行定義：若一直線與一半囿 沒有公共點(diǎn)，則直線與平 面平行。Zaan a =中=a / a_/若平囿外一直線與平囿內(nèi) 一直線平行，則平面外這 直線平行于平面。a/ b/ab二 aa / b JQ a/ a若幽個(gè)平囿平行，則其中 一直線平行于另一平面。Z屋a /，/a /廠a-a_ 1a/ 3一平面外的兩條平行線 中，若什-殺平行于半囿， 則另一條直線也平行于平 面。aba、b d a a/ b卜 b/ aa/ a J3.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行， 經(jīng)過這條直線的平面 和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交

3、線平行.推理模式：l / 翼,1 ?：,二 Pl ： = m= l m .【基礎(chǔ)訓(xùn)練】a、3表不平面，a、b表布直線，則a/ a的一個(gè)充分不必要條件是 A、 a，3 , a，3B、 a n 3 = b，且 a / b C a / b 且 b / a D、 TOC o 1-5 h z a ” 3 且 a u 3 ；()(2)已知直線a,b,c及平面a,具有下列哪個(gè)條件時(shí),ab成立？答A. aa且bo(B.a_Lc且b_LcC. a,b與ot 成等角D.ac且 bc()(3)空間四邊形 ABCD的兩對(duì)角線 AC=4,BD=6,則平行于兩對(duì)角線 的截面四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是 HYPERLINK l

4、 bookmark4 o Current Document (4)四面體A BCD被平行于AB,CD的平面EFGH所截(如圖9-9), 其中 AB = AD = BC = BD , AB = 2CD，則當(dāng)四邊形EFGH 面 積最大 時(shí)，AH : HC等于()A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3(5)若a,b是兩條異面直線，則存在唯一確定的平面 P ,滿足()A. a/ P 且 b P B. a a p 且 b/ PC. a_LP且b_LP D. auP且b_LP那么這條直ABCDF口 ABEF(6).一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面, 線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是A異面B相交C平行D不

5、能確定【典型例題】【例1】如下圖，兩個(gè)全等的正方形MN所在平面相交于 AB, MC AC NC FB且AM=FN求證: /平面BCE【例2】如下圖，正方體 ABCD-ABGD中， 側(cè)面對(duì)角線 AB、BC上分別有兩點(diǎn) E、F,且BE=CF. 求證：EF/平面ABCD【例3】已知正四棱錐P- ABCD勺底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均為 13, M N分別是 PA BDk的點(diǎn),且 PM： MABN： ND=5 ： 8.(1)求證：直線MM/平面PBC(2)求直線 MNW平面ABC所成白角.【例4】 如圖，正方形 ABCD ABEF的邊長(zhǎng)者B是 互相垂直，點(diǎn)M在直線AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng), 若 CM=BN=

6、a （0a 2 ）求證： MN/平面 CBE求MN勺長(zhǎng)度當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小：分析：證明直線與平面平行的基本方法是，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的已知直線平行1 ,而且平面ABCD ABEF【鞏固練習(xí)】 TOC o 1-5 h z .a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A.過A有且只有一個(gè)平面平行于a、b B.過A至少有一個(gè)平面平行于a、bC.過A有無數(shù)個(gè)平面平行于 a、b D.過A且平行a、b的平面可能不存在.設(shè)有平面a、3和直線m n,則m/ a的一個(gè)充分條件是（）A. 且 mLBB.a n 3 =n H mi nC.m/I n 且 n / aD. a

7、/ 3 且 m 3. （2004年北京，3）設(shè)m n是兩條不同的直線，a、3、丫是三個(gè)不同的平面.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是（）若 斤|1，門”“，貝1斤|1 n 若 ”由3,3日丫，斤!”,則斤（1丫 若 m/ a , n / a ,貝U m/ n 若 a y , 3，丫，則00/3A.B.C.D.設(shè)D是線段BC上的點(diǎn)，BC/平面a ,從平面a外一定點(diǎn)A （A與BC分居 平面兩側(cè)）作ARAD AC分別交平面a于E、F、G三點(diǎn)，BC=a,AB=b,DF=c,則 EG.在四面體 ABCD, M N分別是面4 ACD BCD勺重心，則四面體的四個(gè)面中與MN行白是.如圖9-11,四面體A

8、BCD被一平面所截，截 面EFGH是一個(gè)矩形.（1）求證：CD/平面 EFGH ;（2） 求異面直線AB和CD所成的角.E39-117.如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過 AB的中點(diǎn)O作 平面”與a、b分別平行，M N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，Mg “交于點(diǎn)P, 求證：P是MN勺中點(diǎn).8.如下圖，四棱錐 P-ABCD勺底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形， 側(cè)棱PAL底面ABCPI面PBCft有BEL PC于E,且BE=6 a ,3試在AB上找一點(diǎn)F,使EF/平面PADPBD9.如下圖，設(shè)P為長(zhǎng)方形ABC所在平面外一點(diǎn),為AB PD上的點(diǎn)，且 幽_=DN_,求證：直線 mN/MB NP平

9、面PBCM N分別P10.已知母 ABC勺直角頂點(diǎn) C在平面a內(nèi)，斜邊 AB/ a BC分別和平面a成45和30角，則AB到平面a的距離為,AB=276 , ACa2BN=_12CMIMPMPQ睡平行四邊形又 NQ2參考答案【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）（答：D）（答：線段BC）。）（答：D） （8） 解析：設(shè) a n 3 =L a / a , a / 3 ,過直線a作與a、3都相交的平面丫 ,記 a n 丫 =b, 3 n 丫 =c,貝U a / b 且 a / c,b / c.又 bu “， a n 3=l , b/ l. .,.a/ l.答案：C例1.證法一：過 MPL BC NQL BE P、Q為

10、垂足（如上圖），連結(jié)PQ MP/ AR NQ/ ARMP/ NQ22. MN/ PQ PQ= W BCE而MN!平面BCE.MN/平面 BCE證法二：過 MG BC交AB于點(diǎn)G （如下圖），連結(jié)NG. MG BC BL 平面 BCEMG平面BCE.MG 平面 BCEp BG CM BN乂=,GA MA NF GM AF/ BE,同樣可證明 GN平面BCE又面M8 NGG平面MNG平面BCE又MN=平面MNG. .MNZ平面BCE特別提不證明直線和平面的平行通常米用如下兩種方法：利用直線和平面平行的 判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì) 定理，通過“面面”平行，證得

11、“線面”平行 證法一：分別過 E、F作EML AB于點(diǎn)M, FNL BC于點(diǎn)N,連結(jié) MN. BB，平面 ABCp. . BBAB BBXBCEM/ BB, FN/ BB. EM/ FN 又 BiE=GF, . . EM=FNl 故四邊形MNFEi平行四邊形.EF/ MN又 MNS平面 ABCDK . EF/平面 ABCD證法二：過E作EG/ AB交BB于點(diǎn)G連結(jié)GF則BiE =BiGB1AB1B. BE=CF,BiAfCB,C1F = B1GC1BB BFG/ BiG / BC又.E田 FG=G, ABH BOB,平面EFG/平面 ABCDW EF在平面EF$,EF/ 平面 ABCD評(píng)述：證

12、明線面平行的常用方法是：證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線； 證明直線所在的平面與已知平面平行.（1）證明：: P ABCD1正四棱錐，ABCD1正方形.連結(jié)AN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連結(jié)PE AD/ BC EN： AN=BN： ND又. BN： ND=PM MAEN： AN=PM： MAMN/ PE又 PE在平面PBCrt,MM/平面PBC（2）解：由（1）知MIN/ PE，MN與平面ABC所成的角就是 PE與平面 ABC所成的角.設(shè)點(diǎn)P在底面 ABCDb的射影為 Q 連結(jié) OE則/ PEC PE與平面 ABC而 成的角.13. 2由正棱錐的性質(zhì)知 PG PB2 -OB2 =三.2由（1）知，BE

13、： AD=BN： ND=5 : 8,.BE=65.8,一65在 PEEI43, Z PBE=60 , PB=13, BE=65,8根據(jù)余弦定理，得 PE=91. 813291在 RtAPOE, PG132, PE=91 , 28.sin / PEPO- = 42.PE 7故M的平面ABC而成的角為arcsin 4-2 .7證明（1）:作MP/ AB交BC于P,作NQI AB交BE于Q,連結(jié)PQ 依題意易 證 CMP2 BNQ所以MP/ NQ從而 MNP0平行四邊形，.MN/ PQ從而得MN/平面CBEBQ,2（2）由（1）知 MN=PQ=PB2 +BQ2 ,由 CM=BN=a,CB=AB=BE

14、=1 得 AC=BF=/2 , CP=a ,2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document MN=PQ=(a- 2)21 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 222 o 1(3)由(2)有：MN,(a 苴)2 +1一22所以，當(dāng)a=1時(shí)，MN取最小值 （即M, N分別在 AC BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小）另解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 2222 c、M（ a,0,1 - a）, N（a,

15、a,0）, HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 22222 、5 MN =（0,a,a -1）2又平面CBE的一個(gè)法向量n =（1,0,0）a -1)-0-4 222MN n =1 0 0 a 0 ( i22MN _n又點(diǎn)M正平面CBE,MN /平面CBE（2）由兩點(diǎn)距離公式得| mN |= j（；a）2（；a-1）2 = , （a-；）2 10 二 a ：二.2）【鞏固練習(xí)】.解析：過點(diǎn)A可作直線a /a, b / b,則 a n b =A.a、b可確定一個(gè)平面，記為 a .如果 a 遼 a, b 遼 a,則 a/ a , b / a .由于平

16、面a可能過直線a、b之一，因此，過 A且平行于a、b的平面可能 不存在.答案：D答案：D解析：顯然正確.中m與n可能相交或異面.考慮長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，“與 3可以相交.答案：A解析：解法類同于上題.答案:ab -ac解析：連結(jié)AM延長(zhǎng)，交CDT E,連結(jié)B所延長(zhǎng)交CD于F,由重心性質(zhì) 可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為 CD勺中點(diǎn)E,由型_ =叫=1得MNF ABMA NB 2因此，MN/平面 ABCM MM平面 ABD答案：平面ABC平面ABD分析 從已知條件中尋求平行關(guān)系，可望突破.解(1) 截面EFGH是一個(gè)矩形，:EF /GH .又GH u平面ACD , EF值平面ACD，,EF/平面ACD

17、 ,而 EF u 平面 BCD ,平面 BCD 口 平面 ACD =CD，二 EF /CD .C CD S 平面 EFGH ,故 CD/平面 EFGH .(2)由(1)知，EF /CD ,同理，EH /AB .截面EFGH是一個(gè)矩形，二EH _L EF ,從而異面直線 AB和CD所 成的角為90.證明：連結(jié) AN,交平面”于點(diǎn)Q連結(jié)PQb/ a , b匚平面 ABN 平面 ABNT & =OQ.b/OQ又O為AB的中點(diǎn),.Q為AN的中點(diǎn).a/ a , a二平面AMN1平面AM沏a =PQ all PQ P為 MN勺中點(diǎn).評(píng)述：本題重點(diǎn)考查直線與平面平行的性質(zhì).解：在面PCDHEGL PDTG連

18、結(jié)AG. PAL平面 ABCD CDL AD. CDL PD . CD/ EG又 AB/ CD EG/ AB若有EF/平面PAD貝U EF/ AG四邊形AFE的平行四邊形，得 EGAF CE: Ja2 -(a)2 =近 a , PBC 為直角三角形，333a -3 a .AB CD PC.3abC=CE- CP=： C3a,=史=走=3一=2.故得 AF： FB=2 ： 1 時(shí)，EF/平面 PAD分析：要證直線 MN/平面PBC只需證明 MNZ平面PBCft的一條直線或 MN 所在的某個(gè)平面/平面 PBC證法一：過N作NR/ DC交PC于點(diǎn)R,連結(jié)RB,依題意得DC NR= DN = AMNR NP MBAB - MB DC -MBMBMB= NMB-NR/ DC/ AB, .四邊形 MNR嵬平行四邊形. .MN/ RB又 R七平面PBC 直線 MN/平面PBC證法二：過N作NQ/ AD交PA于點(diǎn)Q連結(jié)QM