1、第四講 數(shù)學(xué)交流11.數(shù)學(xué)交流含義 從數(shù)學(xué)的社會(huì)性來(lái)講, 數(shù)學(xué)思想只有被“數(shù)學(xué)共同體”所接受才能算是正確的. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中, 為了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作出解釋, 教師必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào), 同時(shí)學(xué)生也必須理解這些語(yǔ)言符號(hào),于是就存在一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體成員之間彼此解釋各自的想法、相互理解對(duì)方思想的問(wèn)題. 因此, 數(shù)學(xué)教學(xué)就是共同體成員之間所進(jìn)行的討論交流活動(dòng).22.數(shù)學(xué)交流探源 在我國(guó)歷史上,大教育家孔子說(shuō),三人行,必有我?guī)熝?又說(shuō),敏而好學(xué),不恥下問(wèn).這其中都有交流的影子.學(xué)記中有獨(dú)學(xué)而無(wú)友,則孤陋而寡聞的詩(shī)句,它提倡學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中互相切磋,彼此交流.到了近代,陶行知先生提出小先生制,兒童不但當(dāng)學(xué)生,

2、而且當(dāng)先生,把學(xué)到的知識(shí)隨時(shí)傳給同學(xué).現(xiàn)代學(xué)校教育則更加重視交流合作學(xué)習(xí).3 在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域,較早提出數(shù)學(xué)交流的是1981年英國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)調(diào)查委員會(huì)向政府提交的Cockoroft報(bào)告.報(bào)告中提出,教數(shù)學(xué)的主要理由在于數(shù)學(xué)提供了一種有力的、簡(jiǎn)潔的和準(zhǔn)確無(wú)誤的交流信息的手段.這里提出數(shù)學(xué)交流主要出于對(duì)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值的考慮.新加坡在1990年公布的小學(xué)、中學(xué)(低年級(jí))數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中,將使用數(shù)學(xué)作為交流的工具視為數(shù)學(xué)教育的目的.中國(guó)2000年大綱(試用修訂版)在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中提出能夠使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,展開(kāi)交流,形成用數(shù)學(xué)的意識(shí).結(jié)論:重要性越來(lái)越強(qiáng)!43.美國(guó)數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)交流的特點(diǎn) 真正把數(shù)學(xué)交流

3、作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育目的提出的,是美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)(NCTM)1989年制定出的美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).這份文件將學(xué)校數(shù)學(xué)內(nèi)容分為解決問(wèn)題、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)聯(lián)系四條線索,并詳細(xì)制定了從幼兒園到12年級(jí)各年級(jí)對(duì)數(shù)學(xué)交流的教學(xué)要求與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).53.1.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)交流在數(shù)學(xué)理解中的作用 首先,通過(guò)數(shù)學(xué)交流的驅(qū)動(dòng)力作用,學(xué)生可以在非正式的、直覺(jué)的觀念與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間建立起聯(lián)系,從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解;其次,數(shù)學(xué)交流可以使學(xué)生對(duì)自己的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行組織和澄清(反思的過(guò)程);最后,數(shù)學(xué)交流可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有可見(jiàn)性.參與為自己的解答過(guò)程辯護(hù)的討論,特別在答案不一致的情況下,學(xué)生說(shuō)服持不

4、同觀點(diǎn)的同伴的同時(shí),也加深了自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解.63.2.注重?cái)?shù)學(xué)寫(xiě)作的交流形式 數(shù)學(xué)寫(xiě)作不是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的書(shū)面表達(dá),有明顯的反思特征.數(shù)學(xué)寫(xiě)作的形式眾多,其中數(shù)學(xué)日記是美國(guó)教師常用的一種.例如:教師C.斯圖亞特將數(shù)學(xué)日記的寫(xiě)作安排在課堂上進(jìn)行:1)數(shù)學(xué)概念和計(jì)算推理程序.比如：在講完有理數(shù)的減法后,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)日記中表述一下自己對(duì)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)這個(gè)運(yùn)算的理解并舉例說(shuō)明;2)對(duì)教學(xué)過(guò)程和方式的評(píng)價(jià);3)自由發(fā)表意見(jiàn).73.3.注重?cái)?shù)學(xué)交流的評(píng)價(jià) 評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，應(yīng)提供證據(jù)表明學(xué)生能夠通過(guò)口頭表達(dá)、書(shū)寫(xiě)、證明和形象描述的方式來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)思想；理解、表述和評(píng)論通過(guò)文字、

5、口頭或圖像形式表達(dá)的數(shù)學(xué)思想；使用數(shù)學(xué)詞匯、記號(hào)和語(yǔ)法來(lái)表達(dá)思想，描述關(guān)系，建立模型.83.4.強(qiáng)調(diào)教師在數(shù)學(xué)交流中的重要作用3.4.1.建立課堂上支持全體學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)共同體.為此,教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一種相互信任、相互尊重的氣氛. 3.4.2.選擇和使用能出現(xiàn)有意義的交流的數(shù)學(xué)活動(dòng).3.4.3.教師對(duì)課堂討論的指導(dǎo)應(yīng)建立在對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)觀察的基礎(chǔ)上.教師必須幫助學(xué)生理清他們的論述,把注意力集中在問(wèn)題的條件及其數(shù)學(xué)意義上,并且提煉他們的思想.94.數(shù)學(xué)交流的分類 數(shù)學(xué)交流有很多不同的形式,按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn),不同的理論依據(jù),交流的類型也不同.如:按交流的形式分類(主講式、討論式、活動(dòng)探究式);按交流的對(duì)

6、象分類(人與人的交流、人與機(jī)的交流和人與物的交流); 下面我們重點(diǎn)看按交流的內(nèi)容分類:知識(shí)的交流、體驗(yàn)的交流和解決問(wèn)題的交流.104.1.數(shù)學(xué)知識(shí)的交流 當(dāng)教師或?qū)W生以口頭或書(shū)面的方式把自己對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí),如概念、定理、方法等的理解向他人表述,并試圖去理解別人的觀點(diǎn)時(shí),就是進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的交流.例如,學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì), 利用圖像的對(duì)稱關(guān)系作出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像,從數(shù)形結(jié)合歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).在這個(gè)過(guò)程中,教師的講授與提問(wèn),學(xué)生的聽(tīng)講與回答,以及和教師的探討是以知識(shí)為主的數(shù)學(xué)交流.114.2.數(shù)學(xué)體驗(yàn)的交流 數(shù)學(xué)體驗(yàn)交流的內(nèi)容包含認(rèn)知和情感體驗(yàn).認(rèn)知體驗(yàn)包括在認(rèn)知過(guò)程中對(duì)某一現(xiàn)象的概括性認(rèn)識(shí)

7、.情感體驗(yàn)包括在認(rèn)知過(guò)程中產(chǎn)生的厭煩、喜愛(ài)、驚詫、贊嘆等情緒.比如,學(xué)生自我總結(jié)一堂課的主要內(nèi)容和關(guān)鍵問(wèn)題, 分析學(xué)習(xí)內(nèi)容的難易程度等,都屬于認(rèn)知體驗(yàn)的交流;在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞,因認(rèn)知障礙而產(chǎn)生的厭煩、畏懼心理,對(duì)某類知識(shí)學(xué)習(xí)的偏愛(ài),對(duì)他人思維巧妙性的贊嘆,均屬于情感體驗(yàn)的交流.124.3.解決問(wèn)題的交流 指學(xué)習(xí)者在思考問(wèn)題、整理思路的基礎(chǔ)上,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言,采用合適的表述方式,將解決問(wèn)題的思路、解法和結(jié)果或者困惑與障礙予以表述的過(guò)程.例如:在一直線上共插有13面小旗,相鄰兩面之距離為10米,在第一面小旗處有一人,要把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路

8、最短,應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解法和其評(píng)價(jià)展開(kāi)討論與交流.135.數(shù)學(xué)交流的價(jià)值5.1.數(shù)學(xué)交流有利于學(xué)生主體地位的確立 數(shù)學(xué)交流可以激發(fā)學(xué)生積極參與,成為真正的學(xué)習(xí)主體.5.2.數(shù)學(xué)交流是完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑 數(shù)學(xué)交流是學(xué)習(xí)者以口頭語(yǔ)言或書(shū)面語(yǔ)言的方式,對(duì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)所建構(gòu)的理解和表達(dá).其中包含著主體創(chuàng)造性的選擇和抽象,所以也是主體建構(gòu)的具體過(guò)程.145.3.數(shù)學(xué)交流是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)力 弗賴登塔爾說(shuō):數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是常識(shí)發(fā)展的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程就是要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言,用它特定的符號(hào)、句法、詞匯和成語(yǔ)去交流,去認(rèn)識(shí)世界,而不僅僅是去計(jì)算,從而使常識(shí)得到積累.在教學(xué)過(guò)

9、程中,通過(guò)數(shù)學(xué)交流的驅(qū)動(dòng)作用,可以幫助學(xué)生在非正式的、直覺(jué)的觀念與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言間建立起聯(lián)系,還可以幫助學(xué)生把實(shí)物的、圖畫(huà)的、符號(hào)的、口頭的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來(lái),加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.155.4.數(shù)學(xué)交流有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神 所謂合作精神,就是與他人合作的愿望.在當(dāng)前社會(huì),交流與合作已經(jīng)滲透到社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域.今天的學(xué)生要具有合作精神是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的整體化趨勢(shì)的要求.數(shù)學(xué)交流提供了與他人合作的機(jī)會(huì).在交流過(guò)程中,學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己既是獨(dú)立學(xué)習(xí)者,又是他人的協(xié)作伙伴,既有權(quán)利表達(dá)自己的思想,又有義務(wù)聽(tīng)取別人的觀點(diǎn)、考慮他人的需要和意圖.因此,數(shù)學(xué)交流培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神,發(fā)展了學(xué)生的交往能力.16美國(guó)

10、的案例 (1)提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境 假定你是珠寶商,有時(shí)人們要求你把他們的戒指改小,你切下一小塊金子,把戒指改小,并留下這一小塊金子作為改戒指收費(fèi)的一部分.在過(guò)去的一段時(shí)間里,你分別獲得了這么多金子: 1.14克、0.089克、0.3克 現(xiàn)在你有一個(gè)修補(bǔ)的活需要一些金子,你擔(dān)心你的金子是否夠用.在班上和你的同組的同學(xué)一起算出你所收集的金子有多少.準(zhǔn)備好在班上說(shuō)明是怎樣得到答案的. 17(2)組探究教師巡視,學(xué)生分組討論.下面是第一小組的討論情況.尼基:我們可以把數(shù)從右邊排好,就像計(jì)算其他數(shù)一樣.內(nèi)德:或許我們應(yīng)該對(duì)齊小數(shù)點(diǎn),可我不知道為什么我們應(yīng)該這樣做.教師:我覺(jué)得你想說(shuō)小數(shù)加法和整數(shù)加法排列

11、數(shù)的方法不一樣,對(duì)不對(duì)?內(nèi)德:(點(diǎn)頭).教師:為什么做整數(shù)加法要把數(shù)那樣排列呢?道理是什么?內(nèi)德:我不知道,就是那樣做的,我們學(xué)的就是那樣去做.馬立克:我覺(jué)得如果我們畫(huà)一幅圖會(huì)有幫助的,就像十進(jìn)制方塊.我們也許會(huì)弄清楚的.18(教師又走到另一個(gè)小組前,下面是這一小組的討論情況)教師:你們是怎樣處理這些小數(shù)的?基朗:我們決定把小數(shù)點(diǎn)去掉,然后按以前學(xué)的方法來(lái)算.那樣的話,我們可以在這些數(shù)右邊對(duì)齊并相加起來(lái).我們把零放在那兒了,其實(shí)不用管它.因?yàn)樗黄鹗裁醋饔?教師:你們?nèi)鈫?喬安娜和杰麗:對(duì).教師:好,你們是不是說(shuō)如果有1.14克的金子和另外的很小量的一點(diǎn),加完后得到206克金子嗎?19(3

12、)報(bào)告交流在小組工作結(jié)束后,全班再討論.羅布報(bào)告他們小組是這樣算的.(正規(guī)的算法)內(nèi)德:為什么要把數(shù)目這樣排列.羅布:我們小組是這樣決定的,十分位對(duì)準(zhǔn)十分位,百分位對(duì)準(zhǔn)百分位,這樣才能算得正確.基朗:是不是可以去掉0.089中的0,因?yàn)樗裁匆膊淮?特麗薩插話說(shuō):你不能去掉這個(gè)零,它一定得在那兒,不然的話那就是百分之89,而不是千分之89了.這兩個(gè)數(shù)根本不相等. 20 馬立克繼續(xù)要求用一個(gè)模型來(lái)表示,但卻卡在那兒了.如果我用一個(gè)積木塊代表一個(gè)整數(shù),那么一條就是十分之一,單個(gè)就是百分之一.但是我除了畫(huà)點(diǎn)點(diǎn)外,不知道千分之一怎么畫(huà),我真的不知道這是怎么一回事“.另一個(gè)學(xué)生,本,建議把一積木塊看作

13、整體,一面就是十分之一,一條就是百分之一,單個(gè)就是千分之一.他和另外幾個(gè)同學(xué)畫(huà)出下面這個(gè)圖來(lái)說(shuō)明他們一過(guò)程. 馬立克非常注意聽(tīng)本的講解,點(diǎn)頭表示他理解.特麗薩也對(duì)本的解釋感興趣,注意到了零所代表的重要性.在這個(gè)講解之后,學(xué)生們?cè)谒麄兊墓P記本上解釋他們認(rèn)為怎樣才能正確相加的步驟.很多同學(xué)都提到,那個(gè)直觀演示清楚地說(shuō)明了一定要十分位加十分位,百分位加百分位,才能得到正確答案.有些學(xué)生編出新的問(wèn)題并且用十進(jìn)制模型畫(huà)圖說(shuō)明.21中國(guó)的案例 (1)復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 計(jì)算2350+5163, 8622-4687, 5621+687, 1357-298 說(shuō)一說(shuō)整數(shù)加減法的意義 說(shuō)一說(shuō)整數(shù)加減法的計(jì)算方法(2)導(dǎo)入

14、教師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)加、減法的意義和計(jì)算法則,這節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)小數(shù)加、減法的意義和計(jì)算法則.22(3)進(jìn)行新課例1:少先隊(duì)員采集中草藥第一小隊(duì)采集了3.735千克,第二小隊(duì)采集了4.075千克,兩個(gè)小隊(duì)一共采集了多少千克?教師:怎樣求兩個(gè)小隊(duì)一共采集中草藥的千克數(shù)呢?誰(shuí)能列出算式?學(xué)生列出算式:3.735+4.075=教師:通過(guò)列這個(gè)算式,大家知道小數(shù)加法的意義是什么嗎?引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出小數(shù)加法的意義和整數(shù)加法的意義相同.是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算.板書(shū)加法的意義.教師:這是一道小數(shù)加法算式,會(huì)做嗎?會(huì)做的同學(xué)直接用小數(shù)做,不會(huì)用小數(shù)的同學(xué)可以把千克數(shù)改寫(xiě)成克數(shù),把兩個(gè)加數(shù)變成整數(shù)后再計(jì)算.

15、總之,選一種適合你們自己的計(jì)算方法,試試看. 學(xué)生列豎式計(jì)算,算完后在視頻臺(tái)上展示. 23教師:這兩種算法哪個(gè)對(duì)?(兩種都對(duì))為什么呢?學(xué)生:因?yàn)?810是以克為單位的,而7.810是以千克為單位的.7810克=7.810千克.教師:這兩種不同形式的計(jì)算有相同的地方嗎?(有,都要把相同數(shù)們對(duì)齊相加)為什么要相同數(shù)們對(duì)齊相加呢?(引導(dǎo)學(xué)生理解:相同數(shù)對(duì)齊,把相同的計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能相加減.)教師:在小數(shù)加法里怎樣才能把相同單位對(duì)齊呢?(引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出:把小數(shù)加法和整數(shù)加法的計(jì)算方法也有相同之處,就是要把相同的數(shù)對(duì)齊相加,在小數(shù)加法里就是要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊相加.)教學(xué)小數(shù)減法的意義和計(jì)算法則.總結(jié)小數(shù)加

16、、減法的計(jì)算法則.(4)鞏固練習(xí).(5)課堂作業(yè).(6)課堂小結(jié).24對(duì)比分析 美國(guó)課例遵循情意性原則,創(chuàng)設(shè)寬松、民主的教學(xué)氣氛.教師對(duì)學(xué)生討論過(guò)程中的不完整,不是指責(zé),而是加以指導(dǎo)補(bǔ)充;對(duì)學(xué)生思維受阻,并非置之不理,而是讓學(xué)生通過(guò)交流互相啟發(fā)和誘導(dǎo);對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性的答案,更是沒(méi)有冷漠對(duì)待,而是毫不掩飾自己的興奮,給以熱情的贊賞和鼓勵(lì)等,從而把教學(xué)過(guò)程變成了探求真理的帶有感情色彩的數(shù)學(xué)交流過(guò)程.25 美國(guó)學(xué)生習(xí)慣于和同學(xué)一起學(xué)習(xí),善于與同學(xué)合作.這是由于美國(guó)的開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)天長(zhǎng)日久培養(yǎng)出來(lái)的.案例中不僅包括學(xué)生和教師、學(xué)生之間的交談,還包括一個(gè)學(xué)生傾聽(tīng)一組同伴的交談及加入小組討論. 我們教師

17、處理教材的基本功是非常到位的,從知識(shí)傳授的角度看,由于我國(guó)一直在強(qiáng)調(diào)新課改,所以我們的課例也非常重視情境的創(chuàng)設(shè),教師從學(xué)生的已經(jīng)具有的整數(shù)加減法知識(shí)出發(fā),逐步過(guò)渡到小數(shù)加減法的法則,新知識(shí)在舊知識(shí)的基礎(chǔ)之上,讓學(xué)生自己領(lǐng)悟出二者一致的地方.應(yīng)該說(shuō),這是非常典型的中國(guó)風(fēng)格的好課.26 學(xué)生基礎(chǔ)太好了.這是我們當(dāng)之無(wú)愧的優(yōu)勢(shì),但這也恰恰是我們的劣勢(shì),我們運(yùn)用前人已經(jīng)總結(jié)好的小數(shù)運(yùn)算法則根本不需要?jiǎng)幽X想得太多,只要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊就可以了,這恰恰養(yǎng)成了我們思想的惰性.即使我們讀了大學(xué),再讀研究生也是這個(gè)習(xí)慣,用前人的東西就可以了,結(jié)果我們自己的創(chuàng)造性想法卻沒(méi)有,這是多么可悲的一件事??！ 如果拿一張卷測(cè)試

18、一下,分?jǐn)?shù)一定比美國(guó)的高.這樣的教法使中國(guó)的雙基非常牢固,效果是美國(guó)的課例所無(wú)法企及的.照理說(shuō)中國(guó)的學(xué)生有這樣好的基礎(chǔ),應(yīng)該有更好的創(chuàng)造.遺憾的是中國(guó)的數(shù)學(xué)總是在世界主流數(shù)學(xué)后邊追趕,總是出不了與中國(guó)人口比例相稱的數(shù)學(xué)成果.27 建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為,學(xué)生必須積極參與學(xué)習(xí)過(guò)程,最好的學(xué)習(xí)方式就是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探索、對(duì)話、討論與別人相互影響地進(jìn)行學(xué)習(xí);學(xué)生們將會(huì)從反思、評(píng)論改進(jìn)自己和別人的工作中受益,學(xué)生學(xué)會(huì)什么與他們?nèi)绾螌W(xué)很有關(guān)系.如果用一句話來(lái)概括這兩個(gè)課例的功能的本質(zhì)區(qū)別,那么中國(guó)的課例是以培養(yǎng)學(xué)生的技能為主的,美國(guó)的課例是以培養(yǎng)學(xué)生的交流能力和創(chuàng)新能力的.28實(shí)施數(shù)學(xué)課堂交流教學(xué)的建議1.創(chuàng)設(shè)民主、和諧的課堂氛圍,激發(fā)學(xué)生交流的愿望. 我們要把討論怎樣想的成為班上日常教學(xué)的一部分, 這樣不僅培養(yǎng)學(xué)生的自信.還使學(xué)生除把精力集中到自己獨(dú)立思考上外,還得努力去理解別人的想