1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)第一試選擇題：(每小題6分，共36分)1方程6X(5a2+b2)=5c2滿足c2(B)x2(C)x0(D)x1-2或x23、過定點(diǎn)P(2,1)作直線I分別交x軸正向和y軸正向于A、B,使AOB(O為原點(diǎn))的面積最小，則I的方程為(A)x+y3=0(B)x+3y5=0(C)2x+y5=0(D)x+2y4=04、若方程cos2x+,3sin2x=a+1在0,上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x,則參-2數(shù)a的取值范圍是(A)0av1(B)3a3,a3Va4,a4a5的排列的個(gè)數(shù)是8(B)10(C)14(D)16填空題：(每小題9分，共54分)121、X表示不大于x的最大整數(shù)，則方程

2、-Xx2+x=19x+99的實(shí)數(shù)解xTOC o 1-5 h z是.2、設(shè)a1=1，an+1=2an+n2，則通項(xiàng)公式an=.3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是兀54、在厶ABC中，/A=，sinB=，則cosC=.3135、設(shè)k、二是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2(2k+1)x+k21=0的兩個(gè)根為sin和cost，貝廠的取值范圍是6、數(shù)fe+V24亍(nN)的個(gè)位數(shù)字是.三、(20分)已知x、y、z都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+y+z=1.求證：x(1-2x)(1-3x)+y(12y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)0,并確定等號(hào)成立的條件.四、(20分)求出所有的實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程x2+

3、(a+2002)x+a=0的兩根皆為整數(shù).試求出所有的實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0有三個(gè)整數(shù)根.五、(20分)試求正數(shù)r的最大值，使得點(diǎn)集T=(x,y)|x、yR，且x2+(y-7)20之中.第二試(50分)設(shè)a、b、cR,ac,ac,z是復(fù)數(shù)，且z2(ac)zb=0.求證：a+b-(a+cZ=1的充分必要條件是(ac)2+4bATBCAQ=AP,對(duì)于AKvAP,可證/APKv/AKP）.2n12全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(二)(命題人：江厚利審題人：李潛)第一試、選擇題(每小題6分，共36分)1、已知集合A=*-(x,y廠3+1】x-2JAB_，則a的

4、所有取值是,B=x,ya*-1xa-1y=15.若(A)1,11,丄22、3、(C)土1,(D)1,4,如圖1,已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)在AB1、BC1上，且AM=BN.那么，AA1丄MN;A1C1/MN;MN/平面A1B1C1D1;MN與A1C1異面.以上4個(gè)結(jié)論中，不正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為(A)1(B)2(C)3用Sn與an分別表示區(qū)間0,1內(nèi)不含數(shù)字95(D)4位小數(shù)的和與個(gè)數(shù).則吩的值為(A)3*44、首位數(shù)字是1,(A)216個(gè)57(B)5(C)44且恰有兩個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)共有(B)252個(gè)(C)324個(gè)(D)(D)432個(gè)5、對(duì)一切實(shí)數(shù)x.所有的二次函數(shù)fx=ax2bx

5、c(avb)的值均為非負(fù)實(shí)數(shù).則ba的最大值是1(A)丄3(D)226、雙曲線聳a(A)相交(C)相離相切(D)以上情況均有可能二、填空題(每小題9分，共54分)1已知復(fù)數(shù)乙=27，2Z2Z1.若ABC的3個(gè)內(nèi)角/A、/B、(2i+1)Zi/C依次成等差數(shù)列，且u=cosA+2icos2C，貝Uu+z2的取值范圍2TOC o 1-5 h z是.2、點(diǎn)P(a,b)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作一直線I,分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn).那么，PA2+PB2取最小值時(shí)，直線I的斜率為.3、若厶ABC是鈍角三角形，則arccos(sirA)+arccos(sirB)+arccos(sinC)的取值范圍是.

6、4、在正四面體ABCD中，點(diǎn)M、P分別是AD、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N、Q分別是厶BCD、ABC的中心.則直線MN于PQ的夾角的余弦值為.5、在(仮+2管的展開式中，x的幕指數(shù)是整數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和是.6、集合A、B、C(不必兩兩相異)的并集AUBUC=1,2,3,n.則滿足條件的三元有序集合組(A,B,C)的個(gè)數(shù)是.三、(20分)設(shè)p0,當(dāng)p變化時(shí)，Cp：y2=2px為一族拋物線，直線I過原點(diǎn)且交Cp于原點(diǎn)和點(diǎn)Ap.又M為x軸上異于原點(diǎn)的任意點(diǎn)，直線MAp交Cp于點(diǎn)Ap和Bp.求證：所有的點(diǎn)Bp在同一條直線上.四、(20分)對(duì)于公差為d(dM0)的等差數(shù)列an，求證：數(shù)列中不同兩項(xiàng)之和仍是這一數(shù)列中的

7、一項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)m一1，使ai=md.五、(20分)求最大的正數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,均有人a2b2(a+bf0(D)av02、已知三點(diǎn)A(2,1)、B(3,2)、C(1,3)和動(dòng)直線l:y=kx.當(dāng)點(diǎn)A、B、C到直線l的距離的平方和最小時(shí),(A)點(diǎn)A在直線l上(C)點(diǎn)C在直線l上B、C均不在直線I上下列結(jié)論中，正確的是點(diǎn)B在直線l上點(diǎn)A、AB3、如圖，已知正方體ABCD-AiBiCiDi,過頂點(diǎn)Ai在空間作直線I,使I與直線AC和BCi所成的角都等于60.這樣的直線I可以做(A)4條(B)3條2條(D)1條4、整數(shù)的n二C；00兩位質(zhì)因數(shù)的最大值是(A)61(B)67(C)83(D

8、)975、若正整數(shù)a使得函數(shù)y二fx=x.13-2ax的最大值也是整數(shù)，則這個(gè)最大值等于(A)3(B)4(C)7(D)86、在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色.先染1,再染2個(gè)偶數(shù)2、4;再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9;再染9后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16;再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列2,4,5，7,9，12，14，16，17,.則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個(gè)數(shù)是(A)3844(B)3943(C)3945(D)4006填空題(每小題9分，共54分)：1、在復(fù)平面上，Rt

9、ABC的頂點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)z+1、2z+1、(z+1)2,A為直角頂點(diǎn)，且|z|=2.設(shè)集合M=mzmR,mN+,P=x|xmM.則集合P所有元素之和等于2、函數(shù)f(x)=|sinx|+sin42x+|cosx|的最大值與最小值之差等于3、關(guān)于x的不等式x22a22x_a24a7x2亠a24a_5x-a24a-7的解集是一些區(qū)間的并集，且這些區(qū)間的長度的和小于4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4、銀行計(jì)劃將某項(xiàng)資金的40%給項(xiàng)目M投資一年，其余的60%給項(xiàng)目N.預(yù)計(jì)項(xiàng)目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的年利潤.年終銀行必須回籠資金，同時(shí)按一定的回扣率支付給儲(chǔ)戶.

10、為使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%,則給儲(chǔ)戶的回扣率的最小值是.22|25、已知點(diǎn)(a,b)在曲線arcsinx=arccosy上運(yùn)動(dòng)，且橢圓ax+by=1在圓x+y2=耳的外部(包括二者相切的情形).那么，arcsinb的取值范圍v36、同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球.已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長為a,TOC o 1-5 h z球的半徑為R設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為-,則tan(：+)的值是.三、(20分)ABC的三邊長a、b、c(abc)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件a、b、c均為整數(shù)；a、b、c依次成等比數(shù)列；a與c中至少有一個(gè)等于100.求出(a,b

11、,c)的所有可能的解.四、(20分)在三棱錐D-ABC中，AD=a,BD=b,AB=CD=c,且/DAB+ZBAC+ZDAC=180,/DBA+ZABC+ZDBC=180.求異面直線AD與BC所成的角.五、(20分)設(shè)正系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根.證明：4maxa,b,c91mina,b,c-(a+b+c).第二試一、(50分)已知ABC的外角ZEAC平分線與厶ABC的外接圓交于D,以CD為直徑的圓分別交BC、CA于點(diǎn)P、Q.求證：線段PQ平分ABC的周長.二、(50分)已知X0=1,X1=3,Xn+1=6xnXn-1(nN+).求證：數(shù)列xn中無完全平方數(shù).三、(50分)有2

12、002名運(yùn)動(dòng)員，號(hào)碼依次為1,2,3,，2002.從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，但要使剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼數(shù)等于另外兩人的號(hào)碼數(shù)的乘積.那么被選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由.參考答案第一試、選擇題:題號(hào)123456答案CDBACB、填空題:1、4、10%;3、1,3；5、住叮U匡叮164丿t和bvt討論)；9911a-t討論)；44第二試、證略；證略(提示:易由特征根法得Xn=22(3-242,于是X；-2y：=1,原結(jié)論等價(jià)于方程x4-2y2=1無整數(shù)解，由數(shù)論只是可證)、43.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(五)(命題人：羅增儒)第一試選擇題：(每小題

13、6分，共36分)1、空間中n(n3)個(gè)平面，其中任意三個(gè)平面無公垂面.那么，下面四個(gè)結(jié)論沒有任何兩個(gè)平面互相平行；沒有任何三個(gè)平面相交于一條直線；平面間的任意兩條交線都不平行；平面間的每一條交線均與n-2個(gè)平面相交.其中，正確的個(gè)數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)42、若函數(shù)y=f(x)在a,b上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當(dāng)c(a,b)時(shí)，f(c)的近似值可表示為(B)a+bbc,a+b+c=1，且a+b+c=1，貝U(A)a+b1(B)a+b=1(C)a+bv1不能確定，與a、b的具體取值有關(guān)4、設(shè)橢圓；：+；：=1的離心率e樣，已知點(diǎn)Pj0，!到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，則短半軸之

14、長b=4TOC o 1-5 h z111(A)(B)(C)1684A中的所有元素可以組成等5、S=1,2,2003，A是S的三元子集，滿足:差數(shù)列那么，這樣的三元子集A的個(gè)數(shù)是32003(B)C100121002(C)A1001A2002(D)A20036、長方體ABCD-A1B1C1D1，AC1為體對(duì)角線現(xiàn)以A為球心，AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個(gè)同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4,則有(A)V4VV1+V2+V3(C)V4V1+V2+V3(B)V4=V1+V2+V3(D)不能確疋，與長方體的棱長有關(guān)填空題：(每小題9分，共54分)1、已知?jiǎng)tk的取值范圍為2、等差數(shù)列an的首

15、項(xiàng)a1=8,且存在惟一的k使得點(diǎn)(k,ak)在圓x2+y2=102上,TOC o 1-5 h z則這樣的等差數(shù)列共有個(gè).a3、在四面體P-ABC中，PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b，且avb,則的取b值范圍為.4、動(dòng)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=4(cos=+isinR，定點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線交OA與D，則D所在的軌跡方程為.20035、a3k被8所除得的余數(shù)為k=16、圓周上有100個(gè)等分點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為三、(20分)已知拋物線y2=2px(p0)的一條長為I的弦AB.求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).四、(

16、20分)單位正方體ABCD/iBiCiDi中，正方形ABCD的中心為點(diǎn)M,正方形AiBiCiDi的中心為點(diǎn)N,連AN、BiM.求證：AN、BiM為異面直線；求出AN與BiM的夾角.五、(20分)對(duì)正實(shí)數(shù)a、b、c.求證：a28bc、b28acc28ab、99.abc第二試、(50分)設(shè)ABCD是面積為2的長方形，P為邊CD上的一點(diǎn)，QPAB的內(nèi)切圓與邊AB的切點(diǎn).乘積PAPB的值隨著長方形ABCD及點(diǎn)P的變化而變化，當(dāng)PAPB取最小值時(shí)，證明:AB2BC;求AQBQ的值.、(50分)給定由正整數(shù)組成的數(shù)列a=1,玄2=2J1亠51).L_an七an十a(chǎn)n求證：數(shù)列相鄰項(xiàng)組成的無窮個(gè)整點(diǎn)(ai,

17、a2)，(a3,a4)，,(a2k-i,a2k)，均在曲線x2+xy-y2+1=0上.若設(shè)f(x)=xn+xn-1anx-an-i，g(x)=x2x1，證明：g(x)整除f(x).5、4;6117600.5、4;6117600.三、(50分)我們稱Ai,A2,An為集合A的一個(gè)n分劃，如果A宀代二A;AAj=二，1ivjn.求最小正整數(shù)m，使得對(duì)A=1,2,m的任意一個(gè)13分劃Ai,A2,A13,一定存在某個(gè)集合Ai(1Wi13),在Ai中有兩個(gè)元素a、b9滿足bva1)，則客運(yùn)車票增加了58種(注：從甲站到乙站需要兩種不同的車票)，那么原有車站的個(gè)數(shù)是(A)12(B)13(C)14(D)15

18、填空題：(每小題6分，共36分)1、長方形ABCD的長AB是寬BC的23倍，把它折成無底的正三棱柱，使AD與BC重合折痕線EF、GH分別交原對(duì)角線AC于M、N，則折后截面AMN與底面AFH所成的角是2、在厶ABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足a2+b2=2c2，則角CTOC o 1-5 h z的最大值是.3、從盛滿a升(a1)純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去則第n次操作后溶液的濃度是.4、已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為非負(fù)實(shí)數(shù)集，對(duì)任意x0，規(guī)定f(x)*g(x)=minf(x),g(x).若f(x)=3-x，g(x)=2x5

19、，則f(x)*g(x)的最大值為.5、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則可有不同的取法.6、若實(shí)數(shù)a0,則滿足aa3+a=2的a值屬于區(qū)間：0,63;62,63;6一3：；0,32.其中正確的是.三、（20分）求證：經(jīng)過正方體中心的任一截面的面積不小于正方體的一個(gè)側(cè)面的面積四、(20分)直線Ax+Bx+C=0(ABCm0)與橢圓b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP丄OQ.求證:a2b2a2b2A2B2五、（20分）某新建商場建有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品的總金額）為6

20、0萬元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各部商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1,每1萬元營業(yè)額所得利潤如表2.商場將計(jì)劃日營業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營部，同時(shí)適當(dāng)安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預(yù)計(jì)每日的總利潤為c（萬元）且滿足19c19.7，又已知商場分配給經(jīng)營部的日營業(yè)額均為正整數(shù)萬元，問這個(gè)商場怎樣分配日營業(yè)額給三個(gè)部？各部分別安排多少名售貨員？表1各部每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)表部門人數(shù)百貨部5n服裝部4家電部2表2各部每1萬元營業(yè)額所得利潤表部門利潤百貨部0.3萬元服裝部0.5萬元家電部0.2萬元第二試、（50分）矩形ABCD的邊AD=AB,以AB為直徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取不同于A、B的一點(diǎn)P,連PC、PD

21、交AB于E、F,若AE2+BF2=AB2,試求正實(shí)數(shù)的值.、(50分)n若aiR+(i=1,2,n),S=為a：，且21va2ki-akn-1km三、（50分）無窮數(shù)列Cn可由如下法則定義：Cn+1=|1-|1-2Cn|,而0=ClW1.（1）證明：僅當(dāng)C1是有理數(shù)時(shí)，數(shù)列自某一項(xiàng)開始成為周期數(shù)列.(2)存在多少個(gè)不同的ci值，使得數(shù)列自某項(xiàng)之后以T為周期(對(duì)于每個(gè)T=2,3,)？參考答案第一試、選擇題:題號(hào)123456答案ACABCC、填空題:311、65、2500;2、3證略.4、2、3-1;四、證略.五、8,23,29或10,20,30（萬元），對(duì)應(yīng)40,92,58或50,80,60（人

22、）第二試二、證略.三、(1)證略.(2)無窮個(gè).全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(七)(選題人：李潛)第一試、選擇題：(每小題6分，共36分)7、a、b是異面直線，直線c與a所成的角等于c與b所成的角，則這樣的直線c有(A)1條(B)2條(C)3條(D)無數(shù)條8、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若f(x)-g(x)=x2+2x+3,則f(x)+g(x)=(A)-x2+2x-3(B)x2+2x-3(C)-x2-2x+3(D)x2-2x+39、已知ABC,OABC內(nèi)一點(diǎn)，/AOB=ZBOC=ZCOA=，則使3AB+BC+CAm(AO+BO+CO)成立的m的最大值是(A)2(B)5(C)

23、3(D)3210、設(shè)x=0.8205,y=sin1,z=log3、7則x、y、z的大小關(guān)系是(A)xvyvz(B)yvzvx(C)zvxvy(D)zvyvx199511、整數(shù)一的末尾兩位數(shù)字是10十3一(A)10(B)01(C)00(D)2012、設(shè)(a,b)表示兩自然數(shù)a、b的最大公約數(shù).設(shè)(a,b)=1,則(a2+b2,a3+b3)為(A)1(B)2(C)1或2(D)可能大于2、填空題：(每小題9分，共54分)TOC o 1-5 h z1、若f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2+6x+1，貝Uf(.2-1)=.2、設(shè)Fi、F2是雙曲線x2_y2=4的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上

24、任意一點(diǎn)，從Fi引/F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡方程是.3x亠13、給定數(shù)列Xn，X1=1，且X“=，貝UX1999-x601=.J3-Xn4、正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1中點(diǎn)，則四面體AD1EF的體積是.y-!x1一一5、在坐標(biāo)平面上，由條件.所限定的平面區(qū)域的面積是.y蘭-2x+36、12個(gè)朋友每周聚餐一次，每周他們分成三組，每組4人，不同組坐不同的桌子.若要求這些朋友中任意兩個(gè)人至少有一次同坐一張桌子，則至少需要周.三、(20分)22已知橢圓篤每=1過定點(diǎn)A(1,0)，且焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與曲線|y|=xab的交點(diǎn)為B、C.現(xiàn)有以

25、A為焦點(diǎn)，過B、C且開口向左的拋物線，拋物9線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M(m,0).當(dāng)橢圓的離心率e滿足:：:e21，求實(shí)數(shù)m的3取值范圍.四、(20分)a、b、c均為實(shí)數(shù)，b，c，cma.證明:a+b_2c+b+c_2ac+a-2bab+bc+c-a30,abb0),則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為(B)al2a2b2(C)aI-2a2a2b2a(l+2a)(D)2b24、在復(fù)平面上，曲線z4+z=1與圓|z|=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)35、設(shè)E=(x,y)|0Wx2,0y2,yJ組成的圖形面積是(A)6(B)2二(C)6.5(D)76、正方形紙片ABCD，沿對(duì)角線AC對(duì)折，使D在面AB

26、C外，這時(shí)DB與面ABC所成的角一定不等于(A)30(B)45(C)60(D)90二、填空題：（每小題9分，共54分）1、已知，則一s色色色的值等TOC o 1-5 h z24o4。3口o茨o2os2。aoa于.c112、1.亠亠亠1+21+2+31+2+3+20043、在RtABC中，AB=AC,以C為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在AB內(nèi)，且橢圓過A、B點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率等于4、從1,2,3,20中選出三個(gè)數(shù)，使得沒有兩個(gè)數(shù)相鄰，有不同的選法.z+z，z=a+bi5、設(shè)a、b均為正數(shù)，且存在復(fù)數(shù)z滿足丿，則ab的最大值jz蘭1TOC o 1-5 h z等于.6、使不等式*：

27、n:：:7對(duì)惟一的一個(gè)整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為.15n+k13三、（20分）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2w5.求f（x,y）=3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值與最小值.四、（20分）經(jīng)過點(diǎn)M（2,-1）作拋物線y2=x的四條弦PiQi（i=1,2,3,4），且P1、P2、P3、P4四點(diǎn)的縱坐標(biāo)依次成等差數(shù)列.+、RMP2MRMF4M求證：MQ1MQ2MQ3MQ4五、（20分）n為正整數(shù)，r0為實(shí)數(shù).證明：方程xn+1+rxn-rn+1=0沒有模為r的復(fù)數(shù)根.第二試（50分）D、E、F分別是從設(shè)C(I)是以ABC的內(nèi)心I為圓心的一個(gè)圓，點(diǎn)I出發(fā)垂直于邊BC、CA和AB的

28、直線C(I)的交點(diǎn).求證：AD、BE和CF三線共點(diǎn).（50分）非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=1.求證：KXy0,關(guān)于x的方程為|x+Jtx?=J2，則這個(gè)方程有相異實(shí)根的TOC o 1-5 h z個(gè)數(shù)情況是.5、已知集合1,2,3,3n-1,3n，可以分為n個(gè)互不相交的三元組x,y,z，其中x+y=3z,則滿足上述要求的兩個(gè)最小的正整數(shù)n是.6、任給一個(gè)自然數(shù)k,一定存在整數(shù)n,使得xn+x+1被xk+x+1整除，則這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)（n,k）是（對(duì)于給定的k）.三、（20分）過正方體的某條對(duì)角線的截面面積為S,試求S最大之值.S最小四、（20分）數(shù)列an定義如下：ai=3,an=3a

29、n1（n2）.試求an（n2）的末位數(shù).五、（20分）已知a、b、cR+,且a+b+c=1.證明：13a2+b2+c2+4abcv1.27第二試（50分）已知ABC中，內(nèi)心為I，外接圓為。O,點(diǎn)B關(guān)于。O的對(duì)徑點(diǎn)為K，在AB的延長線上取點(diǎn)N,CB的延長線上取M，使得MC=NA=s,sABC的半周長.證明：IK丄MN.（50分）M是平面上所有點(diǎn)（x,y）的集合，其中x、y均是整數(shù)，且Kx12,Kyde（如12430,13531等），則在所有的五位數(shù)中“凸”數(shù)的個(gè)數(shù)是（A）8568（B）2142（C）2139（D）1134二、填空題：（每小題9分，共54分）1、過橢圓=1上任意一點(diǎn)P,作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），并延長PH到Q,使得HQ=PH（-1）.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍是.2、已知異面直線a、b所成的角為60,過空間一點(diǎn)P作與a、b都成角（0vv90）的直線I，則這樣的直線I的條數(shù)是f（：J=.3、不等式4x21-,12x：2x9的解集為又復(fù)數(shù)使得zz-2i5、設(shè)a1,a2,a2002均為正實(shí)數(shù)，且+2a12a22a20024、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z-i|=1，且zm0,zm2i,實(shí)數(shù)，