1、第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式A 級 基礎(chǔ)鞏固一、挑選題1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3n3,nN,第一步應(yīng)驗證 An1Bn2 Cn3 Dn4 解析： 由題意 n3 知應(yīng)驗證 n3. 答案： C 2用數(shù)學(xué)歸納法證明“11 21 3 1 2 n1n,nN,n1” 時,由 nkk1不等式成立,推證 項數(shù)是 nk1 時,左邊應(yīng)增加的A2 k1 B2 k1 C2 k D2 k1 解析： 增加的項數(shù)為 2k112k12k 12k2k.應(yīng)選 C.答案： C3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式11 21 4 2n 1127 64 nN 成立,其初始值至少應(yīng)取 D10 A7B8 C9解析：左邊 11

2、 21 4 1 n111 2 n21 2 n1,代入驗證可11 2知 n 的最小值是 8. 答案： B 4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n11n21n3 1 nn 11nN *” 時,由 nk 到 nk1 時,不等式左邊應(yīng)添加的項是 1A. 2（k1）1 1B. 2k12k21 1 1C. 2k12k2k11 1 1 1D. 2k12k2k1k2解析： 當(dāng) nk 時,不等式為1 k11 k2 kk11 24.當(dāng) nk1 時,左邊（k1）11（k1）2 1（k1）（ k1）1（k1）k1（k1）（ k1） 1k21k3 1kk11 12k12k2.比較 nk 與 nk1 的左邊,可知應(yīng)添加的項為1 2k11

3、 2k21 k1. 答案： C 5如不等式 n11 n2 1 2n m 24對大于 1 的一切自然數(shù) n都成立,就自然數(shù) m 的最大值為 A12 B13 C14 D不存在解析：令 fnn11 n2 1 2n,取 n2,3,4,5 等值發(fā)現(xiàn) fn是單調(diào)遞減的,所以 fnmaxm 24,所以由 f2m 24,求得 m 的值故應(yīng)選 B. 答案： B 二、填空題6用數(shù)學(xué)歸納法證明 為_2 n1n2n2nN時,第一步的驗證解析： 當(dāng) n1 時,21 11212,即 44 成立答案： 21 112127在 ABC 中,不等式1 A1 B1 C 9 成立；在四邊形 ABCD 中,不等式1 A 1 B 1 C

4、 1 D 16 2 成立；在五邊形 ABCDE 中,不等式 1 A1 BC 1 D1 E 25 3 成立猜想在 n 邊形 A1A2 An中,類似成立的不等式為_解析： 由題中已知不等式可猜想：A1 1 A2 1 Ann 2（n2）n3 且 nN*答案：1 A1 1 A2 1 An（n2）n3 且 nN n 2*8在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明“11 2 21 3 2 （n1）22n1nN *” 時,從 nk 到 nk1,不等式左邊增加的項是 _解析： 解決此題的關(guān)鍵是看清不等式的左邊每一項的分母的變化,一看 “ 頭” ,從 12開頭；二看 “ 尾” ,當(dāng) nk 時,尾項的分母為k12,nk1 時尾項的分

5、母為 k22；三看中間,假如忽視平方,1,2,3, ,n1這些數(shù)都是連續(xù)相差1 時因此,從nk到 nk1 只增加了一項,即答案：12（k2）三、解答題1（k2）2kN9試證明： 11 2 1 3 1 n2 nnN證明： 1當(dāng) n1 時,不等式成立2假設(shè) nkk1,kN時,不等式成立,即11 2 1 3 1 k2 k.那么 nk1 時,11 2 1 3 1 k1 k12 k1 k12k（k1）1 k1k（ k1）1k12 k1.這就是說, nk1 時,不等式也成立依據(jù)12可知不等式對 nN成立10已知函數(shù) fx1 3x 3x,數(shù)列 an滿意條件： a11,且 an 1fan1,證明： an2n1

6、nN*證明： 由 fx1 3x 3x,得 f xx21.因此 an 1fan1an121anan2,1當(dāng) n1 時,a11211,不等式成立2假設(shè)當(dāng) nk 時,不等式成立,即 當(dāng) nk1 時,ak2k1,ak1akak22 k12 k122 2k1.又 k1,所以 2 2k2 k1,所以 nk1 時, ak 12 k11,不等式成立依據(jù)1和2知,對任意 nN,an2n1 成立B 級 才能提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 11 21 3 2 n1fnn2,1nN 的過程中,由 nk 到 nk1 時,左邊增加了 A1 項 Bk 項C2 k1 項 D2k項解析： 11 2 1 3 2 k11 11 21

7、 3 2 k1 1 k1 12 k1 2 k11,共增加了 2k 項答案： D 2利用數(shù)學(xué)歸納法證明3 5 （ 2n1）2 4 （ 2n2）2n1時, n的最小取值 n0 應(yīng)為_解析：n01 時不成立,n02 時,3 2 3,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,故 n02.答案： 23已知數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn,且滿意 a11 2,an2SnSn 10n21 1判定 Sn是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論；2證明： S 1S2 2 S2 n1 2 1 4n. S12. 1解：S1a11 2,所以 1 當(dāng) n2 時,anSnSn 1,即 SnSn12SnSn 1,所以1 Sn 1 Sn12.故1 Sn是以 2 為首項、 2 為公差的等差數(shù)列2證明： 當(dāng) n1 時, S 11 41 21 4 1,不等式成立假設(shè) nkk1,且 kN時,不等式成立, 即 S 2 1S 2 2S k1 2 1 4k成立,就當(dāng) nk1 時,S