1、構(gòu)設(shè)原形情形提高課堂教學(xué)效率數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)1 教材分析 1.1 教材的位置與作用 數(shù)學(xué)歸納法在爭(zhēng)論涉及正整數(shù)無(wú)限性的問(wèn)題時(shí)是一種特別重要的方法 ,它的位置和作用 可以從三個(gè)方面來(lái)看：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)的很多重要結(jié)論,如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式,二項(xiàng) 式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明由歸納、猜想得出一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué) 命題,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,可以使同學(xué)對(duì)有關(guān)學(xué)問(wèn)的把握深化一步（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明很多數(shù)學(xué)命題,既可以開闊同學(xué)的眼界,又可以使他們受到 推理論證的訓(xùn)練（3）數(shù)學(xué)歸納法在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要常常用到,因此把握這種方法為今后的學(xué)習(xí)打下了 基礎(chǔ)1

2、.2 教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù) n ,假如當(dāng) n n 0 時(shí),* 命題成立, 再假設(shè)當(dāng) n k k n 0 , k N 時(shí),命題成立 （這時(shí)命題是否成立不是確定的）,依據(jù)這個(gè)假設(shè), 如能推出當(dāng) n k 1 時(shí),命題也成立, 那么就可以遞推出對(duì)全部不小于 n 的正整數(shù) n 0 ,1 n 0 2 ,命題都成立,這是問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法原理及其簡(jiǎn)潔的應(yīng)用是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)2 教學(xué)目標(biāo)分析 2.1 學(xué)問(wèn)與技能 培育同學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的才能,更重要的是可以開闊同學(xué)的眼界,仍可以使他們 受到推理論證的訓(xùn)練,也讓同學(xué)感受到數(shù)學(xué)文化的熏陶,培育同學(xué)的科

3、學(xué)文化素養(yǎng)2.2 過(guò)程與方法 建構(gòu)主義觀點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)踐的教學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納法原理是很抽象的,但又與生活中的很多實(shí)例是相關(guān)的,可以例舉大量的實(shí)例讓同學(xué)感受或進(jìn)行試驗(yàn),即從做中 學(xué),從而上升到理論熟悉,這就需要抽象概括的才能于是,同學(xué)就主動(dòng)建構(gòu)了數(shù)學(xué)歸納法 的原理和解決問(wèn)題的兩個(gè)步驟這樣課堂教學(xué)方法不僅突破了教學(xué)的難點(diǎn),同時(shí)也解決了數(shù) 學(xué)課堂枯燥無(wú)味的感覺(jué),培育了同學(xué)觀看社會(huì)、喜愛(ài)生活,真正發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化訓(xùn)練功能2.3 情感態(tài)度與價(jià)值觀教學(xué)中留意數(shù)學(xué)與文化的教學(xué),讓同學(xué)充分熟悉到數(shù)學(xué)中到處有人文精神,勉勵(lì)同學(xué)探索制造,充分表達(dá)課程改革的精神3 學(xué)情分析 3.1 同學(xué)學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的基礎(chǔ)其

4、實(shí)在上這節(jié)課之前時(shí),同學(xué)早就接觸過(guò)歸納法了例如在高一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí),常常遇到給出數(shù)列的前幾項(xiàng),求它的一個(gè)通項(xiàng)公式,用的方法就是數(shù)學(xué)歸納法,確定等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,用的也是歸納法3.2 同學(xué)學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的才能同學(xué)通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)列有關(guān)內(nèi)容,已經(jīng)把握依據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié) 論的推理方法, 即不完全歸納法 不完全歸納法所得到的命題并不能保證它成立,但同時(shí)也 應(yīng)看到,它是爭(zhēng)論數(shù)學(xué)的一把鑰匙,是發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段3.3 同學(xué)學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的心理依據(jù)皮亞杰 J Piaget 關(guān)于心理進(jìn)展階段學(xué)說(shuō), 他提出兒童青少年認(rèn)知進(jìn)展經(jīng)受四個(gè)階段, 即感知運(yùn)算、前運(yùn)算、詳細(xì)運(yùn)算和形式運(yùn)算

5、階段高三同學(xué)經(jīng)過(guò)二年的高中學(xué)習(xí),認(rèn)知水平已經(jīng)從形象轉(zhuǎn)向抽象,思維才能也得到了提高他們有才能學(xué)會(huì)由特別到一般的思維方式,并且使自己的感性熟悉上升到理性熟悉4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)4.1 構(gòu)設(shè)原形情境當(dāng)同學(xué)在學(xué)習(xí)某種新學(xué)問(wèn)之前,假如他們先明白這項(xiàng)學(xué)問(wèn)在生活中的原型材料,那么對(duì)學(xué)問(wèn)的懂得會(huì)自然,接受也坦然,記憶長(zhǎng)遠(yuǎn),學(xué)習(xí)態(tài)度也會(huì)表現(xiàn)得更主動(dòng)更有愛(ài)好在教學(xué)時(shí) , 我先讓同學(xué)看了這樣一段錄象：新華社 2022 年 12 月 31 日和中心電視臺(tái) 2022年元月 6 日先后報(bào)道：在 20 世紀(jì)的的最終幾分鐘里 , 一項(xiàng)新的多米諾骨版吉尼斯紀(jì)錄 , 在北京頤和園體育健康綜合館和網(wǎng)球館產(chǎn)生了中國(guó)、日本和韓國(guó)的62 名

6、青年同學(xué)勝利推倒了340 多萬(wàn)張骨牌,一舉打破了此前由荷蘭人所保持的 297 萬(wàn)張的世界紀(jì)錄從電視畫面可以看到, 骨牌瞬時(shí)依次倒下的場(chǎng)面蔚為壯麗,期間顯示的圖案豐富多彩,令人嘆為觀止, 同學(xué)贊口叫絕這就是“ 多米諾骨牌效應(yīng)”,其中包蘊(yùn)的科學(xué)道理簡(jiǎn)潔地說(shuō),就是能確保前一張骨牌倒下就后一張骨牌必倒,這個(gè)較為新異的情形場(chǎng)面是數(shù)學(xué)歸納法原理的直觀展現(xiàn),有助于同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的懂得和證題步驟的把握4.2 挖掘生活原形,發(fā)覺(jué)定義 追問(wèn) 1 ：你們?nèi)钥梢耘e一些生活中的例子嗎？ 生 1 ：一排排放得很近的自行車,只要碰倒第一輛,就會(huì)倒下一排 生 2 ：過(guò)年的時(shí)候 , 有放鞭炮的傳統(tǒng), 只要前排的鞭炮響,

7、就它的后一排鞭炮就會(huì)響 生 3 ：一列由 n 節(jié)車廂連接好的火車,第一節(jié)車廂運(yùn)動(dòng),其次節(jié)車廂也跟著運(yùn)動(dòng),第三節(jié)車廂也跟著運(yùn)動(dòng) 第節(jié)車廂也跟著運(yùn)動(dòng)（同學(xué)們的思維很活躍,課堂氣氛好） 追問(wèn) 2 ：那么這些嬉戲或生活中的實(shí)例要取得勝利,必需有什么條件做保證呢？ 生 ：例如骨牌中,第一張牌被推倒,后面全部的都倒了 追問(wèn) 3 ：是這樣嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)倜?生 ：仍應(yīng)當(dāng)有： 任何相鄰兩張牌的距離不能太大,必需保證前一張牌倒后一張牌也必定倒,這樣就有傳遞性,即進(jìn)入循環(huán)遞推系統(tǒng) 師 ：正確！ 用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的,用于證明不完全歸納法估計(jì)所得的命題的正確性的證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法即先證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n

8、 （例如 0 n ）時(shí),命題成立 然 0后假設(shè)當(dāng) n k（k N * , k n 0）時(shí),命題也成立,那么就證明這個(gè)命題成立由于證明了這一點(diǎn),就可以判定這個(gè)命題對(duì)于n 取第一個(gè)值后面的全部正整數(shù)也都成立4.3 問(wèn)題解決,加深懂得我們用上面的方法來(lái)證明題目：等差數(shù)列a n的通項(xiàng)公式ana 1n1d nkN*時(shí)證明： 1 當(dāng)n1時(shí), 左邊 =1a , 右邊 =a 10da 1, 左邊 =右邊 , 等式成立12假 設(shè) 當(dāng)nk時(shí) 等 式 成 立 , 即aka 1k1d, 那 么 當(dāng)n有:ak1a kda 1k1 dda 1k11d當(dāng)nk1, 公式成立 . 由12知, 公式對(duì)一切正整數(shù)均成立. 4.4

9、例題示范 , 學(xué)會(huì)應(yīng)用用上面的方法來(lái)證明題目：等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana 1n1dnN*時(shí)證明： 1 當(dāng)n1時(shí) , 左邊 =a , 右邊 =a 10da 1, 左邊 =右邊 , 等式成立nk12假 設(shè) 當(dāng)nk時(shí) 等 式 成 立 , 即aka 1k1d, 那 么 當(dāng)有:ak1a kda 1k1 dda 1k11d當(dāng)nk1, 公式成立 . . 由12知, 公式對(duì)一切正整數(shù)均成立4.5 解法剖析 , 把握原理例 1 證明 1+3+5+2n3+2n1=n2nN*2n 項(xiàng)和 .方法一 : 觀看左邊可知 : 它表示一個(gè)首項(xiàng)為1, 公差為 2 的等差數(shù)列的前左邊 =n 12 2n1 n2=右邊 , 故等式

10、成立 . 2k2, 方法二 :1 當(dāng) n =1 時(shí), 左邊 =1, 右邊 = 121, 等式成立 . 2假設(shè)當(dāng)nk時(shí), 等式成立 , 即: 135 2k1當(dāng)nk1時(shí), 代入 ,135 2n3 2 n1 n得:1352 k1k1 2, 所以等式成立 . 綜合 12等式對(duì)一切正整數(shù)n 均成立 . 說(shuō) 明 方 法 一 不 是 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 , 方 法 二 也 不 是 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 , 而 且 是 錯(cuò) 誤 的 . 這 是 因?yàn)?,nk1時(shí)的等式是有待于利用歸納假設(shè)和已知條件加以證明, 不能直接將nk1代入要求證的等式. 4.5 例題示范 , 學(xué)會(huì)應(yīng)用例 2: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 1 22

11、 23 2 n n 1 2 n 1 . 6先由同學(xué)自己獨(dú)立完成 , 然后進(jìn)行講評(píng) , 證明過(guò)程見(jiàn)課本 64 至 65 頁(yè). 例 3: 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 : 如 f n 1 1 1 1 , 就2 3 nn f 1 f 2 f n 1 n f n n ,2 n N . 啟示 1 分析要證的等式 . 當(dāng) n 2 時(shí) , 左邊等于什么 .右邊等于什么 . 2 有已知 f n 的表達(dá)式 , 寫出 f k 與 f k 1 的關(guān)系 . 證明 :1 當(dāng) n 2 時(shí), 等式左邊 = 2 f 1 2 1 3 , 等式右邊 = 2 f 2 = 2 1 1 3 ,2所以對(duì) n 2 時(shí), 等式成立 . 2

12、 假設(shè) n k 時(shí), 等式成立 , 即: k f 1 f 2 f k 1 k f k 由已知條件可得 f k 1 f k 1, k 1右邊 = k 1 f k 1 先寫出右邊 , 便于對(duì)比變形 那么當(dāng) n k 1 時(shí), 左邊 = k 1 f 1 f 2 f k 1 f k = k f 1 f 2 f k 1 1 f k 湊成歸納假設(shè) = k f k 1 f k 利用歸納假設(shè)得 = k 1 f k 1 = = k 1 f k 1 1 1 = k 1 f k 1 =右邊k 1當(dāng) n k 1 時(shí), 等式也成立 . 由 12 可知 , 對(duì)一切 n 2 的正整數(shù)等式都成立 . 說(shuō)明 驗(yàn)證并不是講過(guò)場(chǎng) , 要留意觀看當(dāng) n 取第一個(gè)正整數(shù)時(shí) , 左邊是什么 , 右邊是什么 ;其次步的關(guān)鍵是將左邊配湊