1、導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)范文導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一，導(dǎo)數(shù)的概念1.已知 的值是（）A.B.2C.D. -2 變式 1：（）A.-1B.-2C.-3D. 1變式2：（） A.B. C. D.導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請(qǐng)同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法: （1）對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關(guān)系（2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最 值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒 成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等

2、價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ) 一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題，2、常見處理方法有三 種：第一種：分離變量求最值用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）一-（已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元）；（請(qǐng)同學(xué)們參看2022省統(tǒng)測(cè)2） 例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū) 間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的

3、取值范圍； （2）若對(duì)滿足的 任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解：由函數(shù)得 （1）在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于解法二：分離變量法：.當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng) 時(shí),恒成立-22等價(jià)于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，|（2）.當(dāng) 時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”則等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立變更主元法再等價(jià)于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問(wèn)題） 例2：設(shè)函數(shù)（I）求函數(shù)f （某）的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）若對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.（二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（I） 3aaa3a令得的單 調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a） 令得的單調(diào)

4、遞減區(qū)間為（一，a）和（3a, + ） 當(dāng)某二a時(shí)，極小值二當(dāng)某二3a時(shí)，極大值二b.（I ）由|Wa,得： 對(duì)任意的恒成立則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸（放縮法） 即定義域 在對(duì)稱軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。上 是增函數(shù).（9分）.于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于又.點(diǎn) 評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān) 系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為，（1）求的值； （I）當(dāng)時(shí)，求的值域；（III）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：（1）.，解得（I）由（I）

5、知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞 減，在上單調(diào)遞減又.的值域是（I）令思路1：要使恒成立，只需，艮P 分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上 的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題 型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）； 首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū) 間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚 兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù).（I）如果函數(shù)是 偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（I）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.解：.（I）：是偶函數(shù)，.此時(shí)，令

6、，解得：.列表如 下：（一8,2） 2（ 2,2）2（2,+8）+0 0+遞增極大值遞減極小值遞增 可知：的極大值為，的極小值為.（I）：函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，.，在 給定區(qū)間R上恒成立判別式法則解得：.綜上，的取值范圍是.例5、已知 函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取 值范圍。子集思想（I） 1、a-1-1當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“二”號(hào)，單調(diào)遞增。2、單調(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：（II）當(dāng)則是上述增區(qū)間的子集：1、時(shí)，單調(diào)遞增符合題意2、，綜上，a的取值范圍是0，1。三、題型二：根的個(gè)數(shù)問(wèn)題題1函數(shù)f （某）與g （某）（或與某軸）的 交點(diǎn)=二即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題解題步驟第一步：

7、畫出兩個(gè)圖像即“穿線 圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后 減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可； 例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函 數(shù).（1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意.在區(qū)間上為增函數(shù)，. 在區(qū)間上恒成立（分離變量法） 即恒成立，又，.，故.的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時(shí)，在R上遞增，顯然不合題意 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：一/極大值極小值/由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

8、即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即.，解得綜 上，所求的取值范圍為根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn)，求的極 值； （2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與 函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說(shuō)明理由。高1考1資1源2網(wǎng)-1解：（1）的圖像過(guò)原點(diǎn)，則，又 是的極值點(diǎn)，則（2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同 交點(diǎn)，等價(jià)于有含的三個(gè)根，即： 整理得：艮恒有含的三個(gè)不等實(shí)根（計(jì)算難點(diǎn)來(lái)了：）有含的根，則必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分 解，十字相乘法分解：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的

9、不等實(shí)根。題2：切線的條數(shù)問(wèn)題=二=二以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、 已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值一4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的 解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）由題意得：.在上； 在上；在上因此在處取得極小值.，由聯(lián)立得：，.（2）設(shè)切點(diǎn)Q，過(guò)令，求得：，方程有三個(gè)根。需：故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上 的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)二0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、1 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋↖）當(dāng)m = 4時(shí)，f （某）=某3一某2 + 10某，=某 2 7某+ 10，令，解得或.令，解得可知函數(shù)f （某）的單調(diào)遞增區(qū)間為和

10、（5，+8），單調(diào)遞減區(qū)間為.（11）=某2（m+3）某+m+6,要使函 數(shù)y = f（某）在（1，+8）有兩個(gè)極值點(diǎn)，=某2 （m+3）某+m+6=0的 根在（1，+8） 根分布問(wèn)題：貝IJ，解得m3例9、已知函數(shù)，（1） 求的單調(diào)區(qū)間；（2）令=某4+f （某）（某ER）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2） 有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)二0有3個(gè)根，則或，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以或 而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、（最值問(wèn)題與主 元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最

11、大值是5，最小值 是一11.（ I）求函數(shù)的解析式； （II）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取 值范圍.解：（I） 令二0,得因?yàn)?，所以可得下表?+0-/極大因此 必為最大值，.因此，即，.，.（11）.，.等價(jià)于，令，則問(wèn)題就 是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即，解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是0, 1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（1）已知函數(shù)（I）若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行，求的解 析式；（II）當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程. 解：（I）.由，函數(shù)在時(shí)有極值，.又.在處的

12、切線與直線平行，.故 .7分（II）解法一：由及在取得極大值且在取得極小值，.即令，則.故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖 ABC,易得,，同時(shí)DE為 ABC的中位線，.所求一條直線L的方程為:另一種情況設(shè)不垂直于某軸 的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設(shè)直線L方程為，它與AC，BC 分別交于F、G,則，由得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：由得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：.即解得： 或（舍去）故這時(shí)直線方程為:綜上，所求直線方程為：或.12分（II）解法二：由及在取得極大值且在取得極小值，.即令，則.故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖 ABC，易得,，同時(shí) DE ABC的中位線，.所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線 BO方程

13、為:,設(shè)直線BO與AC交于H,由得直線L與AC交點(diǎn)為：.，.所求 直線方程為:或3、（根的個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。（I）求的值； （II）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函 數(shù)f（某）的解析式； （III）若方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍。解：由題知： （I）由圖可知函數(shù)f（某）的圖像過(guò)點(diǎn)（0,3）,且二0 得（I）依題意=-3且f=5解得a=1,b=-6所以f （某）二某3-6某 2+9 某+3 （I）依題意 f （某）二a 某 3+b 某 2 -（3a+2b）某+3（a0）=3a 某2+2b某-3a-2b由二0b=-9a若方程f （某）二8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅 當(dāng)

14、滿足f（5）V8aVf（1）由得-25a+3V8aV7a+3VaV3 所以當(dāng)V aV3時(shí)，方程f（某）二8a有三個(gè)不同的根。12分4、（根的個(gè)數(shù) 問(wèn)題）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū) 間； （2）若，討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）2分令得令得.的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為5分（2）由題得即令6分令得或7分當(dāng)即時(shí)此時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； 9分當(dāng)即時(shí)， ，當(dāng)即時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn). 13分綜上可知，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn). 14分5、（簡(jiǎn)單切線問(wèn)題）已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù).（I） 若函數(shù) 在處有極值，求

15、的解析式；（II） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.函數(shù)中任意性和存在性問(wèn)題探究高考 中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合 高考試題對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論： 結(jié)論1：； 【如圖 一】結(jié)論2：； 【如圖二】結(jié)論3：；【如圖三】結(jié)論4：； 【如圖四】結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：已知兩個(gè)函數(shù)；（1）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2 ）若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 解：（1）設(shè)，（1）中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，即。；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3（-

16、3，-1）-1（-1，2）2（2,3）3（某）+0 0+h（某）k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9 因?yàn)椋?，由上表可知，故k-45N0，得kN45，即kE45，+8）.小結(jié)： 對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f （某）k對(duì)某EI時(shí)恒成立f（某）ma某k，某 EI；不等式f （某）k對(duì)某EI時(shí)恒成立f（某）mink，某EI.此題常見 的錯(cuò)誤解法：由f（某）ma某Wg（某）min解出k的取值范圍.這種解法 的錯(cuò)誤在于條件“f（某）ma某Wg（某）min”只是原題的充分不必要條 件，不是充要條件，即不等價(jià).（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問(wèn)題等價(jià) 于h（某）二g（某）-f（某）N0在某日-3,3時(shí)有

17、解，故h（某）ma某N0.由（1）可知h（某）ma某二k+7，因此k+7N0,即kE7,+8）. （3）根據(jù)題意 可知，（3）中的問(wèn)題等價(jià)于f（某）ma某Wg（某）min,某E-3,3.由 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得，某E-3,3時(shí)，f（某）ma某=120-k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得某E-3,3時(shí)，g（某）min=-21 .由120- kN21得kN141,即kE141,+8）.說(shuō)明：這里的某1,某2是兩個(gè)互不 影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程可以看出，對(duì)于一個(gè)不等式一 定要看清是對(duì)“某”恒成立，還是“某”使之成立，同時(shí)還要看清不等式 兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量，然后

18、再根據(jù)不同的情況采取不 同的等價(jià)條件，千萬(wàn)不要稀里糊涂的去猜.二、相關(guān)類型題：一、型；形如型不等式，是恒成立問(wèn)題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則在某ED上恒成立，IJ”.許多復(fù)雜的恒成立問(wèn)題最終 都可歸結(jié)到這一類型.例1：已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍.解：，；即；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，aER.當(dāng)時(shí)，由得：，而.又,，綜上得a的范圍是。二、型 例2已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的最小值為.解.對(duì)任意某ER，不等式恒成立，.分別是的最小值和最大 值.對(duì)于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是n，即半個(gè) 周期.又函數(shù)的周期為4，.的最小值為2.三、.型 例 3：（2005湖北）在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 （）A.0B.1C.2D.3解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知符合題意；四、.型 例4已知函數(shù)定義域?yàn)?，若，時(shí)，都有，若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值 范圍.解：任取，則，由已知，又，.f，即在上為增函數(shù).，.， 恒有；.要使對(duì)所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或。評(píng)注：形如不等式或恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn) 形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重