1、高數(shù)同濟31中值定理高數(shù)同濟31中值定理一、羅爾(Rolle)定理 P128幾何解釋:AB羅爾(Rolle)定理 如果函數(shù) f(x)滿足： （1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 內(nèi)至少存在一點( a m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè) 則至少存在一點使則由費馬引理得 證畢證明故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .注:定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,注:定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,零點定理用不上!? !證畢零點定理用不上!?

2、 !證畢例2. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實根 .證: 1) 存在性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由零點定理知存在使即方程有小于 1 的正根 x0 .設(shè)例2. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實根 .證: 1) 例2. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實根 . 2) 唯一性 . 假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!證畢證: 1) 存在性 .存在 使例2. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實根 . 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129思考:表示直線AB的斜率.拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f(x)滿足： （1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2）

3、在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；那么 在(a, b) 內(nèi)至少存在一點( a 2 時，方程 xn+ yn = zn 又有沒有整數(shù)解呢？這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這里空白太小，寫不下(約 1637 年)。歐拉1770年提出 n = 3 的證明，但其中有一點錯誤。高斯完成歐拉的證明.費馬(Fermat,1601？-1665 ) 當(dāng) n 2 時，方程 xn+ yn = zn 又有沒有整費馬大定理狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德國人1828 年，獨立地證明了 n = 5。1832 年，解決了 n = 14 的情況。柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅L

4、am (1795 - 1870)1847年，兩位法國數(shù)學(xué)家分別表示他們證明了費馬大定理。5 月 24 日，德國數(shù)學(xué)家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯姆椒ㄊ切胁煌ǖ模瑥亩较⒘硕说臓幷?。費馬大定理狄利克雷 Dirichlet (1805 - 18費馬大定理2019 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜志數(shù)學(xué)年鑒中發(fā)表。2019 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價值五萬美元的沃爾夫斯凱爾獎金。費馬大定理2019 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜志xn + yn = zn,(n 2)無整數(shù)解(1637)這是真的(2019)xn + yn = zn,這是真的作業(yè)P134:5、6、7、8、10、11-（2）、12、14作業(yè)P134 習(xí)題12證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,P134 習(xí)題12證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛例6 設(shè)f(x)在a, b上可微，且ab0，求證：(a0，求證：(a高數(shù)同濟31中值定理 思考2、證明 思考2、證明解答2o 對f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)間: 令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .2 、證明：解答2o 對