1、2022-2023學(xué)年上海教科院實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ ）A單調(diào)遞減無最小值 B單調(diào)遞減有最小值C單調(diào)遞增無最大值 D單調(diào)遞增有最大值參考答案：A略2. 已知，且，則（ ）A B C D參考答案：C3. 設(shè)點P是雙曲線=1（a0，b0）與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的離心率為（）ABCD參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì) 【專題】計算題【分析】由P是雙曲線與圓

2、x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，推導(dǎo)出F1PF2=90再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，從而得到雙曲線的離心率【解答】解：P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，點P到原點的距離|PO|=，F(xiàn)1PF2=90，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，16a2+4a2=4c2，c=a，故選A【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用4. 已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)等于 A B C D參考答案：A，要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有，解得，選A.5

3、. 已知集合A=則A（1，2）B0，2C0，1，2D1，2參考答案：D集合A= ，所以1，2。6. 已知數(shù)列an滿足S n=，則= （ ）A1 B1 C2 D2參考答案：答案：B 7. 如圖是兩組各名同學(xué)體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖設(shè)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標(biāo)準(zhǔn)差依次為和，那么（ ）（注：標(biāo)準(zhǔn)差，其中為的平均數(shù)）A， B，C， D，參考答案：C8. 下列函數(shù)中，在其定義域是減函數(shù)的是( )A. B. C. D. 參考答案：D略9. (6) 函數(shù)在區(qū)間上的最小值是(A) (B) (C) (D) 0參考答案：B10. 已知四棱錐，它的底面是邊長為2的正方形，其俯視圖如圖所示，側(cè)視圖為直角三角形，

4、則該四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D4參考答案：C【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】由俯視圖判斷出PO平面ABCD，由線面垂直的定義、判定定理判斷出側(cè)面中直角三角形的個數(shù)【解答】解：由俯視圖可得，PO平面ABCD，POAB，ABBC，且POBC=O，ABPB，同理可證，CDPC，則PAB、PDC是直角三角形，側(cè)視圖為直角三角形，PBC是直角三角形，且PCPB，四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個數(shù)是3，如圖所示故選：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 函數(shù)存在唯一的零點，且，則實數(shù)a的取值范圍是 參考答案：12. 函數(shù)f（x）=的定義域為 參考答案：x|x且

5、x1【考點】函數(shù)的定義域及其求法【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及分母不是0，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可【解答】解：由題意得：，解得：x且x1，故函數(shù)的定義域是x|x且x1，故答案為：x|x且x113. _參考答案：214. 一個幾何體的三視圖如右下圖所示，則它的體積為 參考答案：15. 曲線與軸所圍成的圖形的面積為 參考答案：16. 已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值為參考答案：55【考點】7F：基本不等式【分析】正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，可得y=0，解得0 x21則xy+5x+4y=3x+y+42=3x+42=3+31，再利用基本不等式的性

6、質(zhì)即可得出【解答】解：正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，y=0，x0，解得0 x21則xy+5x+4y=3x+y+42=3x+42=3+313+31=55，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=10時取等號xy+5x+4y的最小值為55故答案為：5517. 已知向量夾角為，且 ；則_ _.參考答案：因為向量的夾角為，所以，所以，即，所以，解得。三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本題滿分16分）如圖，一船由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為，前進(jìn)后到達(dá)B處，測得島M的方位角為已知該島周圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行（）若，問該船有無觸礁危險？（）當(dāng)與滿足

7、什么條件時，該船沒有觸礁的危險？ 參考答案：（）在ABM中可知，AB=BM=5， 4分從而MC=，沒有觸礁危險。 8分（）設(shè)CMx,在ABM中由正弦定理得， ， 12分即，解得， 14分所以當(dāng)時沒有觸礁危險. 16分19. (本題滿分13分)已知函數(shù)f(x)exax22x1(xR)(1)當(dāng)a0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：對任意實數(shù)a0，有.參考答案：(1)當(dāng)a0時，f(x)ex2x1(xR)，f(x)ex2，且f(x)的零點為xln 2，當(dāng)x(，ln 2)時，f(x)0 即(，ln 2)是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，(ln 2，)是f(x)的單調(diào)增區(qū)間(5分)(2)由f(x)exax22x

8、1(xR)得：f(x)ex2ax2，記g(x)ex2ax2(xR)a0，即f(x)g(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，又f(0)10，故R上存在惟一的x0(0，1)，使得f(x0)0，(8分)且當(dāng)xx0時，f(x)x0時，f(x)0.即f(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，則f(x)minf(x0)ex0a 2x01，再由f(x0)0得ex02ax02，將其代入前式可得f(x)mina 2(a1)x01(10分)20. （本小題滿分12分）國家質(zhì)檢總局對某工廠進(jìn)行質(zhì)量檢測，抽查有編號為,的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：編號直徑其中直徑在區(qū)間1.48，1.52內(nèi)的

9、零件為一等品。（）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；（）從一等品零件中，隨機抽取2個. （）用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果； （）求這2個零件直徑相等的概率。參考答案：(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：，共有6種. 所以P(B)=.21. 已知拋物線的方程為 ，圓的方程為，直線（）是、的公切線是的焦點（1）求與的值；（2）設(shè)是上的一動點，以為切點的的切線交軸于點，設(shè)，證明：點在一定直線上參考答案：解：（1）由已知，圓： 的圓心為，半徑由題設(shè)圓心到直線的距離 即，解得（舍去） 設(shè)與拋物線的相切點為，又，得，代入直線方程得：，所以， （2）由（1）知拋物線方程為，焦點 設(shè)，由（1）知以為切點的切線的方程為令，得切線交軸的點坐標(biāo)為 所以， 因為是定點，所以點在定直線上 22. （本小題滿分12分） 等差數(shù)列中，首項，公差，前n項和為，已知數(shù)列成等比數(shù)列，其中，（）求數(shù)列，的通項公式；（）令，數(shù)列的前n項和為是否存在一個最小正整數(shù)M，使得當(dāng)時，（）