1、什么東東叫一個方程（組） 把東東代入這個方程（組（組）化為恒什么東東叫一個方程（組） 把東東代入這個方程（組（組）化為恒（1）n（2）n 元一次方程組（線性方程組概念是矩陣的秩，理論重心是“齊次線性方程組解集的構(gòu)造”n A n 一元n還同樣找到了高次方程的 “ 定理”。a1x1a2x2anxn0 ，實際上只需按順序?qū)懗鏊南禂?shù)組就行了。這就產(chǎn)生了形式上的 n 維向量（a1，a2， ，anmmmn （x1，x2 n端“a1x1a2x2anxn” “對應(yīng)分量兩兩相乘，加在 矩陣的秩，n 常常是遠(yuǎn)， 矩陣的秩，n 常常是遠(yuǎn)，要而定義新的概念；因為需要而“規(guī)定”集合中的運算； 。愿這能有助于你減少一點

2、抽象 m n m n 個元所排n 在學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，n （下含）正交陣 （下含）n維向量集合就是全體n元有序數(shù)組，a 。有時候也把n維向量看特殊的矩陣，即（n 1）階行矩陣或（1 n）階列矩陣。 n 維向量集合上都定義了“數(shù)乘”與“加法”。Ca，b a，b C1（a， b）表示在區(qū)間（a，b）上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的全體函數(shù)。 C（a，b）表示在區(qū)間（“ - ” 線性運算是不是“封閉”顯然，m n 階矩陣集合，n 維向量集合，Ca，b 函數(shù)集合，C k（a，b）函數(shù)集合，三者”的特殊對應(yīng)規(guī)律。 高級語言稱之為集合上的 一個“二元關(guān)系” 。n 維向量集合上的一個“二元關(guān)系” n 即n 三者”的特殊對應(yīng)規(guī)

3、律。 高級語言稱之為集合上的 一個“二元關(guān)系” 。n 維向量集合上的一個“二元關(guān)系” n 即n 12, ，n(1,2 , ，n) , 規(guī)定內(nèi)積 = = 11 + 22 + + nn （ = ） （f，g）= n維向量設(shè)為列向量。借助于列向量可以把mnAa1，a2，an ) ，稱為矩陣a1a11，an1， aA =(a 1n ， ，a n n)如果把每個列塊視為一個元素，可以說 A = (a1，a2， ，a n) 是一個“形式向量”。這個觀念對學(xué)習(xí)線性代數(shù)大有好處。比如，讓“形式向量”x 作“形式內(nèi)積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0 改寫為(a1，a2， ，an) （x1，x2， ，xn

4、）=即x1a1+x 2a2+xna n = 矩陣乘法是矩陣集合上的一個“二元關(guān)系” mn A（aij）ns B（bij）AB（ciABmscij c ij = a i1b j1+ a i2bj 2+ + a in bj c i j = A i 行與B j ，1i m ，1j 即（mn（ns）=（ms（m1（1s）=（s） 與 （n）（）較常見的是變化矩陣為 列分塊式 或 行分塊式。. （n（ns=（ms（s）=（s）AB = A（b1，b 2，b s）=（A b 1，A b 2，A b s）（11（1s）（1s）微觀可乘：對應(yīng)相乘的子塊 A b j 都滿足： （mn（n1）=（m1）. （n（

5、ns=（m. （n（ns=（ms（s）=（ms）AB =（A 的行分塊式（B的列分塊式） . （n（ns=（ms（n（ns）=（s）AB =（a1，a 2，a n（bi j）=（a1b11a2b21anbn1 ，a1b1na2b2nanbnn）AB A 的列向量的線性組合。 （1n（n1）=（11，c1a1+c 2a2+c nan = (a1，a2， ，an) （c1，c 2， ，c a1 ，a2 ，a3 A（a1，a2，a3）a1a2，a12a24a3 ，a13a29a3 BA a1a2a3（a1，a2，a3（1，1，1）a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3（1，2，4）a1+3

6、a2+9a3=（a1，a2，a3（13，9），這三個線性組合為列排成的矩陣，等于A乘以“三個系數(shù)列排成的矩陣” 。乘法變形4. （mn（ns）=（ms）（mn（n1）=（m1） j（B Axb 與齊次線性方程組 Ax0全體解向量對于線性運算封閉。成功nnr（可以粗糙地說Ax0= nrA) 數(shù)Axb但是，線性方程組 Axb設(shè)向量AAxb 與齊次線性方程組 Ax0全體解向量對于線性運算封閉。成功nnr（可以粗糙地說Ax0= nrA) 數(shù)Axb但是，線性方程組 Axb設(shè)向量Ab ，b0 ，而1，2，nr+n- r 線性無關(guān)。乘以矩陣A，（AXb 的 nr +1 個解。AXb 的任一解 X1可以有 A

7、XbX=+ C11 + C22 + + C n- rn-n- X=C+C1（+1）+C2（+2）+ +Cn-C = 1-（C1 + C2 + + C n- Axb 有無窮多解時，解集的秩為 nrAxb解的充分必要條件是，線性組合式中各系數(shù)總和為 Ax0一個齊次線性方程組的全體解向量是 nAx0n- X=C+C1（+1）+C2（+2）+ +Cn-C = 1-（C1 + C2 + + C n- Axb 有無窮多解時，解集的秩為 nrAxb解的充分必要條件是，線性組合式中各系數(shù)總和為 Ax0一個齊次線性方程組的全體解向量是 nAx0= nr Ax0nnrAx0=nr(A)“ 若 AB = E ，則必

8、有 B = A* ”由ABEA 與 B以 A 為主體說話，A 的行向量組線性無關(guān)。B 是 A是“構(gòu)造法”的思路。A 的第一行 與 BA 的其它行 與 B的第一列 都為 B 的第一列是齊次線性方程組 Q x = 0QA 劃去第一行以后得到的矩陣。它的秩 r（Q）=n1，Q“ 若 AB = E ，則必有 B = A* ”由ABEA 與 B以 A 為主體說話，A 的行向量組線性無關(guān)。B 是 A是“構(gòu)造法”的思路。A 的第一行 與 BA 的其它行 與 B的第一列 都為 B 的第一列是齊次線性方程組 Q x = 0QA 劃去第一行以后得到的矩陣。它的秩 r（Q）=n1，Qx0 （恒等式，就象聞到了香味流

9、“口水”。由行列式展開定理知，|A| 的第 1Qx0作其基礎(chǔ)解系。（把它轉(zhuǎn)置為列向量，仍記為 這樣一來， = c （潛臺詞：矩陣Q“|A|1的全部數(shù)據(jù)。盡管本題用不著，但應(yīng)該知道但是，由行列式展開定理知，A1 的內(nèi)積等于 而由已知，AB 的第一列 = c 的內(nèi)積為 只有 c = 1 / |A| ，即 = / A 的第二行 與 B1A 的其它行 與B 的第二列 的內(nèi)積都為 最后就得到結(jié)論 B= A* |A| ，自然就可以核算 BA=E錦上。1A對稱陣A3（1）對稱陣A 的 n（2）對稱陣 A 的第二行 與 B1A 的其它行 與B 的第二列 的內(nèi)積都為 最后就得到結(jié)論 B= A* |A| ，自然就

10、可以核算 BA=E錦上。1A對稱陣A3（1）對稱陣A 的 n（2）對稱陣A 如果有重特征值，則每個k秩一定等于重數(shù) 。即每個重特征值都不會虧損（3）對稱陣A這樣一來，非零的對稱陣 A（Ak）的秩 = An 維向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 特點（3）如果對稱陣A 有 nn化，就能得到 n如果對稱陣A有的特征向量集最大無關(guān)組標(biāo)準(zhǔn)正交化，近而合并得 n*這是 n的坐標(biāo)基 i ，j 2正交陣與*A定義（正交陣） 列（或行）矩陣 AA= AA = E A是正交陣 | A| = 如果對稱陣A 有 nn化，就能得到 n如果對稱陣A有的特征向量集最大無關(guān)組標(biāo)準(zhǔn)正交化，近而合并得 n*這是 n的坐標(biāo)基 i ，j 2正交

11、陣與*A定義（正交陣） 列（或行）矩陣 AA= AA = E A是正交陣 | A| = aij = Aiaij = AiA*=| A|AA* = A，聯(lián)想 A*（2”是個很有趣的構(gòu)造結(jié)論。如果你用 n2準(zhǔn)正交組。（1）已知對稱陣A 或APA P = PAP 即 實際工作量只不過是求A（2）已知對稱陣AAPPA=反求矩陣A把A寫為列分塊形式，P，n），則P自然為行塊形式，其第ii P=（11，22，-，nn）（右乘在列。A= PP=111+222+ 達(dá)式稱為對稱陣A（潛臺詞：宏觀可乘，（1n）（ nn 微觀可乘，比如 11，（n1）（1n）=（ nn 。對稱陣A和，等于它的nA= PP=111+

12、222+ 矩陣11元和為1222和為2（2）已知對稱陣AAPPA=反求矩陣A把A寫為列分塊形式，P，n），則P自然為行塊形式，其第ii P=（11，22，-，nn）（右乘在列。A= PP=111+222+ 達(dá)式稱為對稱陣A（潛臺詞：宏觀可乘，（1n）（ nn 微觀可乘，比如 11，（n1）（1n）=（ nn 。對稱陣A和，等于它的nA= PP=111+222+ 矩陣11元和為1222和為2，nnn元和為n80 三階實對稱陣的 A 秩為 2，=6A的二重特征值,若1（1，（1）求A（2）求矩陣 因為 A 的秩為 2 ，所以 A對稱陣 A 的二重特征值=62，顯然1（1/2，1/2，0），（2/6

13、，1/6，1/6） A0，32 61（331A1 011 3P對稱陣 A 的二重特征值=62，顯然1（1/2，1/2，0），（2/6，1/6，1/6） A0，32 61（331A1 011 3PAPBPAB對于對稱陣選擇它的n個特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交組來排成關(guān)聯(lián)矩陣即PPAP（AnAP = An盡大綱要求“合同關(guān)系”。請對比 矩陣A 和B等價A 和B相似A 和B同矩陣和BJ、Q，= 矩陣和BPAP=矩陣和BQAQ=邏輯xf（x）x”， 推出會之矩陣和BJ、Q，= 矩陣和BPAP=矩陣和BQAQ=邏輯xf（x）x”， 推出會之。（講座（40）na1，a 2，-，ak 線性無關(guān)a1，a2，-，ak，15

14、 組的合并組線性無關(guān)。（暫時不寫一個條件設(shè)有一組數(shù)C1，Cr ，Cr+1a1，a2，-，ak，15 組的合并組線性無關(guān)。（暫時不寫一個條件設(shè)有一組數(shù)C1，Cr ，Cr+1，Cr+kC11 + rr+Cr+11 +C(r+k ) k=用1+1r Cr =用2+2r r = 用r+rrr = 1，A=（1，2，-，r）（潛臺詞：矩陣乘法，“左行右列作內(nèi)積2，R(A)R(A作齊次線性方程組 AX0 和 A AX0 ，AX0A AX = 0如果列向量 是 A AX = 0(A)(A) = A A = (A )= 這說明A=0(向量), 即A AX0AX0R(A n-R(A)=n-R(A 故R(A)前述

15、關(guān)于C1，C r（?！皀 + 1 個 n每一個向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說“kr 中心定義 如果存在滿秩方陣P，方陣 A = ，就稱矩陣AB（A 與BP使得 A = PBQ（1）A = PBPA=（(PBP）A= PB(P)(P)=P則APB(P) （。“n + 1 個 n每一個向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說“kr 中心定義 如果存在滿秩方陣P，方陣 A = ，就稱矩陣AB（A 與BP使得 A = PBQ（1）A = PBPA=（(PBP）A= PB(P)(P)=P則APB(P) ABPA與B) （2）設(shè) A 與 B 都可逆，對定義等式，方陣

16、A = PBP，A= （(P)BP）A= 結(jié)論：如果ABA與B也相似。關(guān)聯(lián)矩陣P試證明滿秩矩陣ABA*B*分設(shè)（2）設(shè) A 與 B 都可逆，對定義等式，方陣 A = PBP，A= （(P)BP）A= 結(jié)論：如果ABA與B也相似。關(guān)聯(lián)矩陣P試證明滿秩矩陣ABA*B*分設(shè)ABP（即取得A* = （(PBP）* = 由P*=|P|P，(P)*=|P|P，A*=PB*P ，A*B*（A=PBPAB| A|A=| B| ，即 A* = PB* A*B*P，A* = PB*P|A|A=P|B|BP方陣相似關(guān)系的（2）（潛臺詞：由乘積的秩關(guān)系知，相似矩陣的秩相等。（3）（陣不一定有相同的特征向量。（4(t)

17、實際上，若有滿秩矩陣P，使得A = PBPAkAA A = P（Bk（乘法滿足結(jié)合律這就表明，（Ak）與（Bk）與 B 相似，則矩陣AE 和矩陣 BE2，方陣P（Bk（乘法滿足結(jié)合律這就表明，（Ak）與（Bk）與 B 相似，則矩陣AE 和矩陣 BE2，方陣 A 與對角陣相似的充分必要條中心定nAAn設(shè)有滿秩矩陣P，使得，PAP = （對角陣），即 AP = P，陣的主對角線上元素為 1，2 把PA（1，2，-，n）=（A1，A2，-（潛臺詞：左邊（11）（1n），右邊（1n）（nn），乘積都是n）階列分塊陣。Aj，jnn（列由特征值與特征向量知識直接得到判定定理（充分條件（1）若nAnA向量集

18、的秩一定為k，則A（潛臺詞：重特征值虧損的嚴(yán)是，矩陣不能與對角陣相似。二階方陣A| A| 0 ，Ann（列由特征值與特征向量知識直接得到判定定理（充分條件（1）若nAnA向量集的秩一定為k，則A（潛臺詞：重特征值虧損的嚴(yán)是，矩陣不能與對角陣相似。二階方陣A| A| 0 ，A由特征多項式 ()=|AE|(0)=|A|，即（二次的）征多項式常數(shù)項為|A|，零矩陣是最特殊的對角陣。它有n0把關(guān)聯(lián)矩陣P矩陣E，0（下）三角陣也具有n0這些上（下）1，（潛臺詞：隨便寫一個都是反例，ABAB相似。（4） 如果對某一自然數(shù)k ，Ak10（陣）Ak= 0（陣），就稱AAn0陣”A（5）把n基本研考題 利用三階

19、方陣AA借助于AA3A 有一個單特征和一個二重特征值72（基本推理A 基本研考題 利用三階方陣AA借助于AA3A 有一個單特征和一個二重特征值72（基本推理A A3 A（AE）x =0該方程組系數(shù)矩陣AE32 = AE挑選A特征對角陣相似的充分必要條件。（AHP）等，矩陣特征值都（畫外音:知道“光譜”嗎？燈謎“光譜，（打一國名）不同的材料一定有不同的光譜。1An數(shù)A=，則稱是A是A由于A= 即（AE）= 0 ，齊次線性方程組（AE）x= 0|AE對角陣相似的充分必要條件。（AHP）等，矩陣特征值都（畫外音:知道“光譜”嗎？燈謎“光譜，（打一國名）不同的材料一定有不同的光譜。1An數(shù)A=，則稱是

20、A是A由于A= 即（AE）= 0 ，齊次線性方程組（AE）x= 0|AE | = 0 是關(guān)于未知量（A）的一元 n 次方程。代數(shù)基本定理 ：一元nnkk（f（）=|AE | 稱為方陣Af（）=|AE|=（1）n由方程|AE | = 0 解出 A 的 n分別解E）x = 0，全體非零解組成A*數(shù)學(xué)一的考生要知道高級語言，“A的特征向量 + 0A（潛臺詞：煩啊！要解一個一元nn分量成比例，比值就是 應(yīng)分量成比例 nn1 最多可以確定A中的n1（畫外音：你有這樣的觀念了嗎？一眼看去，A就是個向量。方陣AAA。如何能得到“每行元素和”？玩熟內(nèi)積的人會想到列向量=（1，1（潛臺詞分量成比例，比值就是 應(yīng)

21、分量成比例 nn1 最多可以確定A中的n1（畫外音：你有這樣的觀念了嗎？一眼看去，A就是個向量。方陣AAA。如何能得到“每行元素和”？玩熟內(nèi)積的人會想到列向量=（1，1（潛臺詞這表明是A是A1/，A=(1/)=（1/，1/）A如果方陣A是AA= =A A = |A| A = |A|/ A*。若A=，A=AA= A= (A+ (t)tAE就得到多項式矩陣 (A)；A=，則(A)=()A= =A A = |A| A = |A|/ A*。若A=，A=AA= A= (A+ (t)tAE就得到多項式矩陣 (A)；A=，則(A)=()A，則多項式矩陣 (A)有特征值()(1)與(2)（畫外音：在傳遞過程中

22、，特征向量就象是“陪嫁物”一樣被傳送了。已知四階方陣A|2E + A|=0，且 AA = 則AA* 有一個特征值為（ ？ |2E + A|= |A(2)E|= 0 , A有特征值= 由 AA2E 兩端取行列式，得 |A|16 ，|A|=4|A|/2（1）（2）|A|= An（3）上都不證明（1）。對于數(shù)學(xué)一的考生來說，特殊情形“若nf（）=|AE|=（1）n令= 0，這就說明了（2）和可以計算 |多項式矩陣 例已知三階方陣A的特征值為1，2，3 ；求 A1，2，3 ；則 A5E例A的屬于不同特征值的特征向量，其線性組合一定不是特征向量不仿把問題簡化。設(shè)1，2上都不證明（1）。對于數(shù)學(xué)一的考生來

23、說，特殊情形“若nf（）=|AE|=（1）n令= 0，這就說明了（2）和可以計算 |多項式矩陣 例已知三階方陣A的特征值為1，2，3 ；求 A1，2，3 ；則 A5E例A的屬于不同特征值的特征向量，其線性組合一定不是特征向量不仿把問題簡化。設(shè)1，2A12（反證法）1+2 A即（1）1 +（2）2 = 屬于不同特征值的特征向量12 線性無關(guān)，只有 。1+2 線性相關(guān)，從而1+213= （潛臺詞：（AE）x= 0n r(AE)（2）對于A“k（E)。把“kA3= （潛臺詞：（AE）x= 0n r(AE)（2）對于A“k（E)。把“kA屬于的特征向量集秩 = （AE）x = 0（AE）x=0）=3r

24、(AE)，rE) = 只能A 已知非零的n與正交。作方陣A = ，求AA求A是個提示。 A=（）=0（矩陣 零矩陣只能有n0An0此時，解齊次線性方程組 （AE）x= A x = （的感覺。由矩陣乘積秩定理，顯然有r(A)=1，n1，又不仿設(shè) 1101已知非零的n與正交。作方陣A = ，求AA求A是個提示。 A=（）=0（矩陣 零矩陣只能有n0An0此時，解齊次線性方程組 （AE）x= A x = （的感覺。由矩陣乘積秩定理，顯然有r(A)=1，n1，又不仿設(shè) 11011 x1+1n xn =來將 x1x1 （n1） =C11 +C22 +-，+0（潛臺詞：n 重 0 特征的特征向量集的秩為

25、n1，有虧損；又要知道點一元 nAx與解線性方程組 b1線性方程組AxbAx與解線性方程組 b1線性方程組Axb的充分必要條Axb的首要問題是，“這個方程組有解還是無解在指導(dǎo)（40）中已經(jīng)提到過“線性方程組Axb解的充分必要條件是，向量b以被A列向組線性表示?！敝灰严禂?shù)矩陣寫為列分塊形式，這個結(jié)論就會一目了然把列向量b 添加為A的末列，得到A的增廣矩陣b） 。如果新添加“線性方程組 Axb有解的充分必要條件是A與自己的增廣矩陣秩例試證明，“如果A的行向量組線性無關(guān)，則對任意一個列向量b A x = b 分析 若mnAmn ，且A個mAAm1A矩陣的秩與A性表示。這時，對于齊次線性方程組Ax

26、0程求解程序熱2已有 332 次閱讀2010-05-26 17:58。在實際計算中，對增廣矩陣的某一行已經(jīng)化為零向量，而該行尾那個bb2Ax = bAx = AxbAxb（1）1，AxbAxb（Ax = b（2）AxbAx0Ax = b（3）AxbAx0Ax = b 有解，且Ax0。在實際計算中，對增廣矩陣的某一行已經(jīng)化為零向量，而該行尾那個bb2Ax = bAx = AxbAxb（1）1，AxbAxb（Ax = b（2）AxbAx0Ax = b（3）AxbAx0Ax = b 有解，且Ax0AxbAx00Ax = bx = （Ax0）+自己的一個特解x* ”3Ax = b（1）對增廣矩陣b）作

27、行初等變換。把A（2）Ax = b（Ax0）n（3未知量逐次取為nr(AAx（4）把nr (A0Ax = b，算得特解（5）“Axb(1，1，2)Axba（1）對增廣矩陣b）作行初等變換。把A（2）Ax = b（Ax0）n（3未知量逐次取為nr(AAx（4）把nr (A0Ax = b，算得特解（5）“Axb(1，1，2)Axba分析 對增廣矩陣的1 1a1）1 ( 1 0)0(1 a)(2+a0）行列式|A|0，由此解得 a = 或 如果a1 ，顯然 ，秩 r(A)=b)=2。a = Ax = b 的系數(shù)矩陣A3，1=（2，3，4，5），2 + 3 =（1，2，3，4）Ax043（2 +3）/

28、2 = Ax = b = 1（2 + 3）/2 = （3/2，2，5/2，3）原方程組有通解 = c +已知方陣=（a1，a2，a3，a4），且a2，a3，a4 線性無關(guān)，a1 2a 2a3 若向量 = a1a 2a3a 4Ax =r(A) = 3 ，且（1，1，1，1）Ax =Ax=Ax = b 的系數(shù)矩陣A3，1=（2，3，4，5），2 + 3 =（1，2，3，4）Ax043（2 +3）/2 = Ax = b = 1（2 + 3）/2 = （3/2，2，5/2，3）原方程組有通解 = c +已知方陣=（a1，a2，a3，a4），且a2，a3，a4 線性無關(guān)，a1 2a 2a3 若向量 =

29、a1a 2a3a 4Ax =r(A) = 3 ，且（1，1，1，1）Ax =Ax=43（基礎(chǔ)解系。a1 =2a 即 a1 2a 2+ a3 0 表明2，1，0）Ax0原方程組有通解 = 設(shè)向量Ab ，b0 ，而1，2，nr 線性方程組Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系，試證（1）向量組 ，1，2， n- r 線性無關(guān)（2），+1，+2，+nr證明 選較復(fù)雜的（2）來示范。（2）設(shè)有n- r+1個數(shù)，C，C1，C2，C n- 使C+ C1（+1）+C2（+2）+Cn-r（+n-r）=C11+C22+C+ C1（+1）+C2（+2）+Cn-r（+n-r）=C11+C22+ +Cn-rn-r+ （C+C1

30、+Cn-r）=即等式兩端都左乘以矩陣A（C+C1+Cn-r）b=0 C n- r = 0C1=C2= =Cn-r=b C+ 再返回算出 C = 0 ，即知（2）Ax b在向量內(nèi)積的基礎(chǔ)上，人們規(guī)定了矩陣的乘法mn 階矩陣ABAB =（b i j）。ABmsci AiBj階數(shù)規(guī)則（mn）（ns）=（ms），左行右列作內(nèi)積（1）若A，Bn矩陣熱1已有 516 次閱讀2010-03-31 07:21特別地，如果 AB = BA = E，則稱BAAB|A|0AA*=A*A=|A A*| = |A|E |，| A*| = |A|n1（潛臺詞：|A|0AA*/|A|方法。（2）（3）AB=A（b1，b 2

31、，-，b s）=（Ab1，Ab 2，-，Ab特別地，如果 AB = BA = E，則稱BAAB|A|0AA*=A*A=|A A*| = |A|E |，| A*| = |A|n1（潛臺詞：|A|0AA*/|A|方法。（2）（3）AB=A（b1，b 2，-，b s）=（Ab1，Ab 2，-，Ab 微觀可乘：相乘的子塊 Ab j都滿足階數(shù)規(guī)則： 具體如，Ab1AB = 0AB = 0（陣即（Ab 1，Ab 2，-，Abs）=（0，0，-A b j 0 ，BAx0 BAx = 0（此步可省去。r(B)Ax0n r(B)+ 已知（n）a1，a2，-，ak 線性無關(guān)，Amn矩陣，且秩為 n，Aa1，Aa2

32、，-，Aa已知（n）a1，a2，-，ak 線性無關(guān)，Amn矩陣，且秩為 n，Aa1，Aa2，-，Aak分c1，c2，-，ck，使得 c1 Aa1c2 Aa2ck Ak = 即A（c1a1+c2a2+ -+cka k ） =（潛臺詞：請對比，若AAc1a1c2a 2ck ak Ax 0 但是，r(A)n，Aa1，a2，-，akAx 0 0 故c1a1+c2a2+-+ckak=方式2 AB（a1，a 2，-，a n）（bi=（a1 11 +a 2 b21 +-+an bn1 ，a1 b+a 2 b 2n + -+n bn其中，A（bi j）表示沒有分塊的ns宏觀可乘：把各分塊看成一個元素，滿足階數(shù)

33、規(guī)則微觀可乘：A 的列向量與B 的元素相乘。即數(shù)乘向量ABA結(jié)論 ABA 秩r(AB) 方式AB =（a ij）（B）=（AB（板塊沒有數(shù)學(xué)編輯功能，讀者自己寫出來觀察。微觀可乘：ABABB結(jié)論 ABBr(AB) 2所得結(jié)論，秩 r (AB) min（r(A) （Amnr(A)（板塊沒有數(shù)學(xué)編輯功能，讀者自己寫出來觀察。微觀可乘：ABABB結(jié)論 ABBr(AB) 2所得結(jié)論，秩 r (AB) min（r(A) （Amnr(A) （m 則r (B)Ax0nABmnm n，則行列式 |AB| = （mn）（nm）= （m m）， ABm而r (AB) min（r(A) ，r(B)） n m ，AB

34、=（1，-，n）與非零行向量=(1-，n)，秩 r 分左列右行，滿足階數(shù)規(guī)則（n1）（1n）=（nn）；乘積個n1，故rmin（r() ，r1對于非零向量，不仿設(shè)10，1011 0是個n 階非零陣 ，r() 只秩 r()=AB=（A）（b1，b 2，-，b 微觀可乘：AB=（1，-，n）與非零行向量=(1-，n)，秩 r 分左列右行，滿足階數(shù)規(guī)則（n1）（1n）=（nn）；乘積個n1，故rmin（r() ，r1對于非零向量，不仿設(shè)10，1011 0是個n 階非零陣 ，r() 只秩 r()=AB=（A）（b1，b 2，-，b 微觀可乘：AB設(shè)AnA（即A的充分必要條件是 分析 AAA =（a1，

35、a -，a AA=（a1，a2，-，an）（a1，a2，-，an）=（aiaj （畫外音：從宏觀可乘的角度看，這是“左列右行得矩陣”。如果AAA =（ a ia j ）=如果AA=（ aiaj 好表明了A（了吧。*設(shè)Amn，r(A)n ； Bnsr(AB)=分由乘積關(guān)系有已 r (AB) r (B) = 如果 mn，則 B(A)ABr(B) r(AB)，只rr 今mnBb1，b 2，-，b 24，A 是mn 階矩陣，r(A)n 時，Ab1，Ab2k 它們都是AB的列向量。這表明 r（了吧。*設(shè)Amn，r(A)n ； Bnsr(AB)=分由乘積關(guān)系有已 r (AB) r (B) = 如果 mn，

36、則 B(A)ABr(B) r(AB)，只rr 今mnBb1，b 2，-，b 24，A 是mn 階矩陣，r(A)n 時，Ab1，Ab2k 它們都是AB的列向量。這表明 r(AB) k ，兩r(AB)=5 兩類特殊情形“形式內(nèi)積”(a1，a2an（c1，c2，cn）=A（c1，c2， ，cn）（ns 階陣B）=B= （a1 a2a3，a1 + 2a2 +4a3，a13a2 + 9a 3），試求 |B|=B a1+a2+a3a1 + 2a2 +4a3 a1 + 3a2 + nn代式與行列式展開定理是這部分的重點1.式nijn1ai的Aij(1)的(i+j)次方ijnn代式與行列式展開定理是這部分的重

37、點1.式nijn1ai的Aij(1)的(i+j)次方ij aij aij 。既表示位于行列式第案i 行第 j某一行（列）元數(shù)的代式有下述兩個特點（1） 它們的“外加符號” (1)的(i+j)（2） 即便在行列式中將第i行元素劃掉，它們的代式的信息仍然2.式的基本作用就是給n已知nD，i，1 i nai1 Ai1 + ai2 Ai2 + in in =ij ai1 Aj1 + ai2 A j2 +ai n Aj n = 從右向左，叫 n 階行列式 D 按第 i（情形。i定理的后式表明，第 i思考（1）n32nD（下D（下思考（2） 已知nD，c1 Ai1 +c2 A從右向左，叫 n 階行列式 D

38、 按第 i（情形。i定理的后式表明，第 i思考（1）n32nD（下D（下思考（2） 已知nD，c1 Ai1 +c2 A+-+cn Ai = c1，c2，-，c代替了（或說，具體化了）Di 行。逆向思維，它等于Di系數(shù)行而得到的新行列式 D已知四階行列式D32A21 +A23 A24 = 0 A21 +A23 A24 等于將D212 行與第 3設(shè)AnBA1（n1）nBx0僅僅劃去方陣A1|A|的第 1第 1程組 Bx = 0例設(shè)n 階行列式D 的第 1 行是 n 個可導(dǎo)函數(shù)其它行的元都實數(shù)則 Dn。對D1nn1D1別換成其導(dǎo)數(shù)后得到的 n（潛臺詞：自己寫個三階情形，好好想想。（3）_nn方程的線

39、性方程組 Ax如果 D =|A|0例設(shè)n 階行列式D 的第 1 行是 n 個可導(dǎo)函數(shù)其它行的元都實數(shù)則 Dn。對D1nn1D1別換成其導(dǎo)數(shù)后得到的 n（潛臺詞：自己寫個三階情形，好好想想。（3）_nn方程的線性方程組 Ax如果 D =|A|0 x=（D1D，-，DnD）；Dj 是將Djb格萊姆法則的證明過程，是運用代式的“正交消元法”。值得一看n 個未知量 n 個方程的齊次線性方程組 Ax0是 n 個 維向量線性無關(guān)的充分必要條件是，它們排成的行列式不為 （4）A 是 |A|0A 的任一行元素的代式，與A的每個行向量都正交。A式，都是齊次線性方程組 Ax0遇到nn(3)與思考(4)3nA每個

40、n 階方陣 A 相應(yīng)有行列式|A|；|A|有 nn轉(zhuǎn)置方式排成 n 階方陣 A*，稱為 A由 A*AA* A*A = |A| 0Ax=b A*Ax=A*b|A|x=A*b x=A*式與 A*遇到nn(3)與思考(4)3nA每個 n 階方陣 A 相應(yīng)有行列式|A|；|A|有 nn轉(zhuǎn)置方式排成 n 階方陣 A*，稱為 A由 A*AA* A*A = |A| 0Ax=b A*Ax=A*b|A|x=A*b x=A*式與 A*已知三階方陣Aa33= |A| = 1，若b =（0，0，1）方程組Ax = b|A|，a13a13 +a23a2+ a 33 =a 33a33 1，所以 a13 = a23 = 0

41、；AAx = b3 個未知量 3已知|A|3 列（0，0，1）。若把|A|的第 1 或第 2b =（0，0，1），就會有兩列成比列，故D1 = D2 = 0（C）4定義 矩陣ArA理解已知矩陣Ar Ar0 排成該子式的rrrAr行(或列)向量線性無關(guān)。 它們是A（等價性原理（不證） 矩陣的秩，即是它的行(或列)向量組的秩。Ax = 0rrr知量。方程組的通解中必定含有 nrnrAx = 0 解向量集的秩 定義 矩陣ArA理解已知矩陣Ar Ar0 排成該子式的rrrAr行(或列)向量線性無關(guān)。 它們是A（等價性原理（不證） 矩陣的秩，即是它的行(或列)向量組的秩。Ax = 0rrr知量。方程組的

42、通解中必定含有 nrnrAx = 0 解向量集的秩 nr 如果系數(shù)矩陣的列向量組線性無關(guān)，即秩 r = n唯一的零（零向量）nn = 0理解已知矩陣A 的秩為 Ar + 10如果要計算矩陣內(nèi)的參數(shù)值，選取含有參數(shù)的 r + 1理解A 是 r(A，n） （畫外音：可以稱為，矩陣秩的第一個“不超過”，“自然不超過”。若A則r (A) 非零列向量或行向量視為列矩陣或行矩陣，顯然其秩為 n 階方陣Ar (A) = n，就稱 A*A*nA（1）若|A|0r(A*)r(A) n1 時 (A*) = 分（1） 若|A| 0，AA* A*A= ，即AA* A*A|A|E ，（1）若|A|0r(A*)r(A)

43、n1 時 (A*) = 分（1） 若|A| 0，AA* A*A= ，即AA* A*A|A|E ，A*滿秩。 A*|A|A若r (A) n1 ，則 A 的 所有 n10|A|的代式都為 0 ，A* 是零矩陣。 r (A*) = *（3）r(A)=n1的情形是一個高級問題。恒等式”用于論矩陣的秩。若r(A)n1An10，A*r (A*) 的任意一個列向量，與AAxA*Ax 0r(A*) 方程組 Ax0nr(A)n(n1)夾得 r (A*) = ）“秩”的概念先向熱1已有 387 次閱讀2010-02-12 08:581必定相同。（由后述“基本定理”保證。）最大無關(guān)組的基本作用是，它可以將組內(nèi)每一個

44、向量唯一地線性表示。*能是自己的系數(shù) 1 ，其它的系數(shù)為 01必定相同。（由后述“基本定理”保證。）最大無關(guān)組的基本作用是，它可以將組內(nèi)每一個向量唯一地線性表示。*能是自己的系數(shù) 1 ，其它的系數(shù)為 0（* ）*0項,，得到但是，取10。 （反證法結(jié)合構(gòu)造法。一個在研考題中最常見卻又最簡單的事實是，如果一個向量組共有 k量，又已知其中的 k1 個向量線性無關(guān)。則向量組的秩為 k11 ,2 3 線性相關(guān)；向量組 2 ,3 4 （1）2 3 （2）1 ,（* ）*0項,，得到但是，取10。 （反證法結(jié)合構(gòu)造法。一個在研考題中最常見卻又最簡單的事實是，如果一個向量組共有 k量，又已知其中的 k1 個

45、向量線性無關(guān)。則向量組的秩為 k11 ,2 3 線性相關(guān)；向量組 2 ,3 4 （1）2 3 （2）1 ,23 1,232,34性無關(guān)，所以，2,31,2312 3 線性表示。（且唯一地線性表示。把1的線性表示式代入。） 2 3 ,3 4 。2甲向量組的秩 R（甲） 乙向量組的秩 R（乙秩R（甲） 秩 R（乙）n+1 個 n例把1的線性表示式代入。） 2 3 ,3 4 。2甲向量組的秩 R（甲） 乙向量組的秩 R（乙秩R（甲） 秩 R（乙）n+1 個 n例數(shù)學(xué)卷常常會有題目*3范圍限定在 n“如果一個 n如果一個 n 維向量集合的秩為 k ，又成功向量空間，就稱其為 k全體 n 維向量組成的集合叫 n三nm意實數(shù) c ，向量 c（畫外音：是不是解向量，代入齊次線性方程組去驗算一下嘛。量。一個齊次線性方程組的全體解向量是 n*3范圍限定在 n“如果一個 n如果一個 n 維向量集合的秩為 k ，又成功向量空間，就稱其為 k全體 n 維向量組成的集合叫 n三nm意實數(shù) c ，向量 c（畫外音：是不是解向量，代入齊次線性方程組去驗算一下嘛。量。一個齊次線性方程組的全體解向量是 nn 維向量集合由全體 元有序數(shù)組（a1，a2，-，an）組成階矩陣是 mn運算。對于 n有限個無窮小量的線性組合是無窮小量。 （“線性組合”表示運算結(jié)果-