1、第九章結構動力學多自由度運動方程的建立9.1 自由度的選擇9.2 動力平衡條件9.3 軸向力的效應第九章 多自由度體系的運動方程單自由度體系兩種描述方法單一的坐標一個變形函數廣義坐標影響近似分析的精度的因素9.1 自由度的選擇主要有：荷載的空間分布荷載的時間歷程結構自身的動力特性剛度、質量及阻尼9.1 自由度的選擇離散體系自由度的描述方法自由度方向的位移幅值廣義坐標表示的一組位移模式的幅值 采用第一種方法9.1 自由度的選擇自由度選擇的原則假定結構的運動梁上一系列離散的位移所確定，原則上，結構的這些點可以任意設置；但實際上，這些點的分布必須與主要的物理特性相適應，并且應該形成一條很好的撓曲線。

2、所考慮的位移分量（自由度）數目取決于分析者的判斷；當然取較大的數目能更好地逼近真實的動力行為，但是在許多情形中，只用二、三個自由度就能獲得極好的結果。每一個節(jié)點上可以取幾個位移分量，例如可以取轉角和縱向位移作為每一個點上的附加自由度。9.1 自由度的選擇圖9-1 一般梁式結構的離散化梁上每一個節(jié)點只取一個位移分量。然而，每一個節(jié)點上可以取幾個位移分量，例如可以取轉角和縱向位移作為每一個點上的附加自由度。每一個自由度其動力平衡條件可寫為當力向量用矩陣形式表示時也可寫成（9-1）（9-2）9.2 動力平衡條件9.2 動力平衡條件 每一抗力可以非常方便地用一組適當的影響系數來表示，例如在自由度1方向

3、上產生的彈性力分量（9-3a） （9-3b） 寫成一般形式為（9-3c） 9.2 動力平衡條件剛度影響系數由j自由度單位位移引起的對應于i自由度的力用矩陣形式表示全部彈性力的關系為或者（9-4） （9-5） （9-6） 9.2 動力平衡條件若假定阻尼與速度有關，全部阻尼力為或者阻尼影響系數由j自由度單位速度引起的對應于i坐標的力（9-7） （9-9） （9-8） 9.2 動力平衡條件慣性力可由質量系數表示為或者質量影響系數由j自由度單位加速度引起的對應于i坐標的力（9-10） （9-11） （9-12） 9.2 動力平衡條件完整的動力平衡方程為（9-13） 計入軸向力的動力平衡方程為軸向荷載產

4、生的產生的這些力可用影響系數表示為（9-14）（9-15）9.3 軸向力的效應或者（9-17） 9.3 軸向力的效應幾何剛度影響系數:由j自由度單位位移和結構中由軸向力分量引起的對應于i坐標的力（9-16） 9.3 軸向力的效應引入上式，結構的動力平衡方程（計及軸向力）為或者（9-18） （9-13） （9-19） （9-20） 第十章結構動力學結構特性矩陣的計算10.1 彈性特性10.2 質量特性10.3 阻尼特性10.4 外荷載10.5 幾何剛度10.6 特性公式的選擇第十章 結構特性矩陣的計算柔度系數在j坐標施加單位荷載引起對應 i 坐標的位移（10-1）10.1 彈性特性10.1 彈性

5、特性圖10-1 柔度影響系數的定義當任意荷載組合下某點1產生的撓度為10.1 彈性特性則全部位移可表示為（10-3） 或者（10-4） 或者（10-5） 10.1 彈性特性剛度系數表示一個自由度發(fā)生單位位移而其它自由度不動時在結構中產生的力.圖10-2 剛度影響系數的定義10.1 彈性特性結構的基本概念應變能應變能等于使體系變形所做的功,即將(10-4) 代入上式得將式（10-6）轉置，并將式（9-6） 代入，可得注意（10-6） （10-7） （10-8） （10-9） 10.1 彈性特性正定/半正定矩陣正定/半正定矩陣10.1 彈性特性剛度矩陣與柔度矩陣的關系左乘剛度矩陣與柔度矩陣互逆10

6、.1 彈性特性按相反的次序對結構施加兩種荷載。第一種情況首先加荷載a再加荷載b，第二種情況則以相反的次序施加荷載，兩者所做的功分別如下：荷載a:荷載b:總和：（10-11） 情況110.1 彈性特性情況2:荷載b:荷載a:總和:（10-12） 10.1 彈性特性Betti定律（10-13） 結構的變形與加荷次序無關，應變能也相等-唯一性、能量守恒圖10-3 兩組獨立的荷載系與產生的變位10.1 彈性特性顯然（10-14） （10-15） 它說明了功的互等定理假如對于這二組力和位移寫出式（10-4） 代入上式。即剛度矩陣也是對稱的。說明柔度矩陣必定是對稱的，同樣（9-6） 代入得（10-13）

7、10.1 彈性特性有限單元剛度 圖10-4 由于左端結點單位位移而產生的梁撓度10.1 彈性特性如圖所示變截面直梁段，單元的兩個節(jié)點位于兩端，通過這兩個節(jié)點可以把這類單元組合成結構，假如只考慮橫向平面位移，每一個節(jié)點只有豎向位移和轉角兩個自由度。上圖表示單元左端發(fā)生每一種類型的一個單位位移而同時又將其它三個節(jié)點位移約束時，所產生的撓度曲線。這些位移函數可以是任意形狀的，只要它們滿足節(jié)點和內部連續(xù)的要求，但是一般假定這些節(jié)點位移作用下等截面梁上所引起的變形形狀，它們是三次Hermite多項式，表示為10.1 彈性特性（10-16a） （10-16b） （10-16c） （10-16d） 位移發(fā)生

8、在右端產生的相應形狀函數為10.1 彈性特性單元的撓曲形狀能用它的節(jié)點位移表示為參照圖10-4，自由度的編號如下（10-17a） （10-17b） 10.1 彈性特性圖10-5 結點產生真實轉角和虛位移的梁10.1 彈性特性由內力虛功產生的內力矩為（10-18） 10.1 彈性特性（10-19） （10-20） （10-21） 令（10-18）與（10-19）相等，該剛度系數表示成因此內力功為所以，與梁彎曲相應的任一剛度系數為10.1 彈性特性直接剛度法的概念（10-23） 當結構全部單元的剛度系數求出后，只要適當疊加各單元的剛度系數就能得到整個結構的剛度，這叫做直接剛度法。假如單元m、n和p

9、都與結構的i節(jié)點相連，該節(jié)點的剛度系數是10.2 質量特性集中質量矩陣假定全部質量集中在某些需要計算平動的點上，將結構分割成段，以節(jié)點作為連接點，每一段的質量在它的節(jié)點上各自集聚成點質量，整個結構上任一節(jié)點集聚的總質量等于該節(jié)點連接的各段分配給此節(jié)點的質量和。對于只須確定平移自由度的體系，集中質量矩陣具有對角形式，其中對角線的項數等于自由度數。假如在任一節(jié)點處有幾個平動自由度，則用同樣的點質量與這個節(jié)點的每一自由度相對應。因為假定質量集中在點上沒有轉動慣量，所以與任何一轉動自由度相關聯的質量為零。所以一般說來，集中質量矩陣為對角矩陣，其中包括與轉動自由度相對應的零對角元素。10.2 質量特性一

10、致質量矩陣圖10-7 結點承受真實的角加速度和虛的位移10.2 質量特性如圖所示的變截面梁，它的自由度是兩端的平移和轉動，假定由用于推導單元剛度中同樣的插值函數來確定跨度內的位移。假定梁左端受單位加速度作用，沿梁長加速度分布為（10-25） 抵抗這個加速度的慣性力為（10-26） 10.2 質量特性把影響與此加速度相關聯的質量影響系數定義為此加速度所產生的慣性力，利用虛位移原理得（10-27） （10-28） 用插值函數表示內部虛位移，并代入（10-26）可導出任意梁段的任何一個質量影響系數為10.2 質量特性這個等式的對稱形式說明質量矩陣是對稱的，當計算質量系數采用同樣的插值函數時，所得的質

11、量矩陣叫一致質量矩陣。常用三次Hermite多項式。利用單元剛度矩陣疊加得到整個單元集合體的質量矩陣。一致質量體系動力分析的計算工作量一般要比集中質量體系大得多。10.3 阻尼特性任何單元體系的阻尼系數為（10-30）單元的阻尼影響系數被確定以后，整個結構的阻尼矩陣就能夠應用與直接剛度法相同的疊加過程來求得。然而阻尼特性實際上是算不出來的。因此常常根據類似結構的實驗方法所確定的阻尼比來表示阻尼，而不用顯式的阻尼矩陣。10.3 阻尼特性10.4 外荷載靜力的合力節(jié)點力可以當作一組與分布荷載靜力等效的集中荷載來確定。實際上這種分析方法就相當于把實際荷載通過支撐于節(jié)點上的一系列簡支梁加到結構上，而支

12、座處產生的反力就變成作用在結構上的集中節(jié)點力。10.4 外荷載10.4 外荷載建立計算各節(jié)點自由度相對應的節(jié)點力，采用虛位移原理導出的節(jié)點力為一致節(jié)點荷載。如圖所示當對應于虛位移的廣義力是（10-31） 一致節(jié)點荷載10.4 外荷載因此，單元廣義荷載一般能表示為（10-32） （10-33） 上式中所用的插值函數必須與計算單元剛度系數時所用的相同，假如改用線性插值函數，式（10-32）將給出靜力的節(jié)點合力。10.4 外荷載某些情況下所施加的荷載可以具有特殊的形式， 荷載分布形式不隨時間變化而只是它的幅值變化，這種情況下的廣義力為它說明廣義力與所施加的荷載具有同樣的時間變化規(guī)律。（10-34a）

13、 （10-34b） 10.5 幾何剛度線性近似10.5 幾何剛度圖10-9 梁的理想化軸向承載機理10.5 幾何剛度計算幾何剛度特性的方法最簡單的近似由上可得，假定全部軸力作用在鉸結剛性桿組成的輔助結構上，鉸位于真梁橫向位移自由要確定的點上，通過傳遞橫向力而無軸力分量的連桿與主梁相連。由于輔助體系中撓曲和軸向力的作用，在連接輔助體系和主梁的連桿中產生了力。即要求主梁具有足夠的抗力以保持輔助體系的穩(wěn)定。10.5 幾何剛度維持輔助體系中的一個代表性區(qū)段i平衡所需要的力，如圖10-10，橫向分量取決于段中的軸向力分量和該段的斜率。力沿著主梁下位移方向作用時為正，寫成矩陣形式為圖10-10 由于輔助連

14、桿中的軸向荷載產生的平衡力10.5 幾何剛度用符號表示為（10-35）（10-37）10.5 幾何剛度一致幾何剛度圖10-11 承受軸向荷載的梁，其結點具有真實轉動和虛線位移10.5 幾何剛度承受軸向荷載的作用而產生任意變化的軸向力N(x)，圖中給出左端產生轉角的梁。根據定義，與此位移分量相關的節(jié)點力是相應的幾何剛度影響系數。這些系數可由虛位移原理以及外功等于內功的方法求得。10.5 幾何剛度正的幾何剛度系數對應于正的位移，建立內力虛功需要從圖11-11的體系中取出長dx的微段，放大如圖11-12。虛位移過程中軸力N(x)在該段上的做功為（10-38）（10-39）外力虛功為10.5 幾何剛度用插值函數橫向位移并積分得（10-40）圖10-12 圖10-11變形梁的微段10.5 幾何剛度如果在推導幾何剛度系數時使用了Hermite插值函數，所得的矩陣為幾何剛度矩陣。假如上式中使用線性插值函數，且整個單元上軸力是常數，則導出（10-35）所示的單元幾何剛度矩陣。一致幾何剛度矩陣可以表示平移和轉動自由度，而線性近似只能涉及平移。一般形式為（10-41）（10-42）令內功等于外功，得幾何剛度系數為計算所有其它特性時如果不考慮轉動自由度，則在寫出運動方程前將其從剛度矩陣中排除。這個過程叫做靜力凝聚。假定轉動和平移自由度已經分離，