1、靜1內容小結1. 高斯公式及其應用公式:2應用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 可推出閉曲面積分為零的充要條件: 與曲面無關的充要條件（只與邊界線有關）即(略)。32. 通量與散度 設向量場P, Q, R, 在域G內有一階連續(xù)偏導數, 為則向量場通過有向曲面 的通量(流量) G 內任意點處的散度為 4三、環(huán)流量與旋度 11.7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關的條件(簡介)四、向量微分算子(簡介) 第十一章 5一、 斯托克斯公式 定理1. 設光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, (斯托克斯公式)在內的一個空間的側與 的正向符

2、合右手法則, 在包含域內具有連續(xù)一階偏導數,則有6注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域, 則斯故格林公式是斯托另要注意P, Q, R的搭配, 及公式的記憶!托克斯公式就是格林公式克斯公式的特例.7為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:(切記此兩類情況下的斯托克斯公式)8例1. 利用斯托克斯公式計算積分其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標面所截三角形解: 記三角形域為, 取上側,則的整個邊界, 方向如圖所示. 9例1. 利用斯托克斯公式計算積分其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標面所截三角形另解: 記三角形域為, 取上側,則的整個邊界, 方向如圖所示

3、. 10截立方體 (x,y,z )|0 x,y,z1的截痕的邊界.解: 設為平面 x+y+z = 1.5其中為平面例2.計算從x軸正向看為逆時針方向.的上側被 所圍的部分 ,11利用斯托克斯公式得則其法線的方向余弦12例3. 與平面 y = z 的交線 ,方向為從z軸正向看為順時針。解: 設為平面 z = y 上被 所圍橢圓域,且取下則其法線 n =(0,1,-1)方向余弦側,計算積分為柱面其中13利用斯托克斯公式得14例4.(P247 11)求力沿有向閉曲線所作的功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐解：從z 軸正向看去標面所截成三角形的整個邊界,設三角形區(qū)域為 , 方向向

4、上,則沿順時針方向.15何來?16*二、空間曲線積分與路徑無關的條件(介紹 )定理2. 設 G 是空間一維單連通域, 具有連續(xù)一階偏導數,則下列五 個條件(1) 對G內任一分段光滑閉曲線 , 有(2) 對G內任一分段光滑曲線, 與路徑無關函數P, Q, R, 在域G內相互等價:17(3) 在G內存在某一函數 u, 使(4) 在G內處處有且(用行列式記)18(4)即在G內處處有(5) 在G內，力為保守力.19與路徑無關, 并求解: 令例3*. 驗證積分的原函數yxzxyz=1,=1,=1. 積分與路徑無關；20因此21簡單情況下求原函數可按下列方法所以22令 , 引進一個向量記作向量rot A

5、稱為向量場A的稱為向量場A定義: 沿有向旋度 .三、環(huán)流量與旋度閉曲線 的環(huán)流量.23設某剛體繞定軸 l 轉動,M為剛體上任一點, 建立坐標系如圖,則角速度為 ,旋度的力學意義:24點 M 的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)25(切記此兩類情況下的斯托克斯公式)內容小結1. 斯托克斯公式26場論中的三個重要概念設梯度:散度:旋度:則 向量微分算子27稱為Nabla算子或哈密頓(Hamilton)算子28思考與練習則提示:習題11-7 6 (P245) 事實上只需要r具有二階連續(xù)偏導數,29作業(yè)P2452 (1),(3),(4) ; 3(1),(3) ; 4(1); 5 (2) ; 作業(yè)P246 總習題十一3 (2) , (4) ; 4 (2) 530例6.證明: 設(常向量)則單位外法向向量, 試證設 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 31例6*.證明: 設(常向量)則單位切向量, 試證設 L 為簡單閉曲線 , a 為任意固定向量,T 為L的 32例7. 設 是曲