1、 二項(xiàng)式定理考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題1二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(ab)nC eq oal(sup1(0),sdo1(n)anC eq oal(sup1(1),sdo1(n)an1bC eq oal(sup1(k),sdo1(n)ankbkC eq oal(sup1(n),sdo1(n)bn(nN*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk1C eq oal(sup1(k),sdo1(n)ankbk，它表示第k1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C eq oal(sup1(0),sdo1(n)，C eq oal(sup1(1),

2、sdo1(n)，C eq oal(sup1(n),sdo1(n).提醒：(ab)n的展開式與(ba)n的展開式的項(xiàng)完全相同，但對應(yīng)的項(xiàng)不相同，而且兩個展開式的通項(xiàng)不同2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端等距離的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C eq oal(sup1(k),sdo1(n)C eq oal(sup1(nk),sdo1(n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)C eq oal(sup1(k),sdo1(n)當(dāng)k eq f(n1,2)(nN*)時，是遞增的當(dāng)k eq f(n1,2)(nN*)時，是遞減的最大值當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)C eq oal(sup3( eq f(n,2),sdo1(n)取得最

3、大值當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)C eq oal(sup3( eq f(n1,2),sdo1(n)與C eq oal(sup3( eq f(n1,2),sdo1(n)相等且同時取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(ab)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C eq oal(sup1(0),sdo1(n)C eq oal(sup1(1),sdo1(n)C eq oal(sup1(2),sdo1(n)C eq oal(sup1(n),sdo1(n)2n(2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即C eq oal(sup1(0),sdo1(n)C eq oal(sup1(2),sdo1(n)C eq

4、oal(sup1(4),sdo1(n)C eq oal(sup1(1),sdo1(n)C eq oal(sup1(3),sdo1(n)C eq oal(sup1(5),sdo1(n)2n1提醒：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個概念二項(xiàng)式系數(shù)是指C eq oal(sup1(0),sdo1(n)，C eq oal(sup1(1),sdo1(n)，C eq oal(sup1(n),sdo1(n)，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)C eq oal(su

5、p1(r),sdo1(n)anrbr是(ab)n的展開式中的第r項(xiàng)()(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)()(3)(ab)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)()(4)通項(xiàng)Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(n)anrbr中的a和b不能互換()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A6B6C24D24A(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C eq oal(sup1(2),sdo1(4)6.故選A.2二項(xiàng)式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2y)5的展開式中x3y2的系數(shù)是()A

6、5 B20C20 D5A二項(xiàng)式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2y)5的通項(xiàng)為Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(5) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x) eq sup10(5r)(2y)r根據(jù)題意，得 eq blc(avs4alco1(5r3，,r2，)解得r2.所以x3y2的系數(shù)是C eq oal(sup1(2),sdo1(5) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3(2)25.故選A.3若 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A10

7、B20 C30 D120B二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，所以n6，Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(6)x6r eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq sup10(r)C eq oal(sup1(r),sdo1(6)x62r，當(dāng)62r0，即當(dāng)r3時為常數(shù)項(xiàng)，T4C eq oal(sup1(3),sdo1(6)20.4(x1)5(x2)的展開式中x2的系數(shù)為_15(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5展開式中含有x2的項(xiàng)為20 x25x215x2.故x2的系數(shù)為15. 考點(diǎn)一二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用形如(ab)n的展開式問題典例11(1)(2021安徽宣城期

8、末)在 eq blc(rc)(avs4alco1(2r(x)f(1,r(3,x) eq sup10(12)的展開式中，有理項(xiàng)共有()A3項(xiàng) B4項(xiàng) C5項(xiàng) D6項(xiàng)(2)(2021天津高考)在 eq blc(rc)(avs4alco1(2x3f(1,x) eq sup10(6)的展開式中，x6的系數(shù)是_(3)在二項(xiàng)式( eq r(2)x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是_(1)A(2)160(3)16 eq r(2)5(1) eq blc(rc)(avs4alco1(2r(x)f(1,r(3,x) eq sup10(12)的展開式的通項(xiàng)為Tr1C eq oal(sup1(r),

9、sdo1(12)(2 eq r(x)12r eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(3,x) eq sup10(r)C eq oal(sup1(r),sdo1(12)212rx eq sup10(f(365r,6)，r0，1，12，當(dāng)r0，6，12時，展開式為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)共3項(xiàng)故選A.(2) eq blc(rc)(avs4alco1(2x3f(1,x) eq sup10(6)的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(6)(2x3)6r eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq sup10(r)C eq oal(sup1(r),s

10、do1(6)26rx184r，令184r6，解得r3，所以x6的系數(shù)是C eq oal(sup1(3),sdo1(6)23 160.(3)由題意，( eq r(2)x)9的通項(xiàng)為Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(9)( eq r(2)9rxr(r0，1，2，9)，當(dāng)r0時，可得常數(shù)項(xiàng)為T1C eq oal(sup1(0),sdo1(9)( eq r(2)916 eq r(2)；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r1，3，5，7，9，有T2, T4, T6, T8, T10共5個項(xiàng)形如(ab)n(cd)m的展開式問題典例12(1)(2020全國卷) eq blc(rc)(avs4alco

11、1(xf(y2,x)(xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A5 B10 C15 D20(2)(x22) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)1)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A3 B2 C2 D3(3)(12x3x2)5的展開式中x5的系數(shù)為_(1)C(2)D(3)92(1)因?yàn)?xy)5的展開式的第r1項(xiàng)Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(5)x5ryr，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(y2,x)(xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C eq oal(sup1(3),sdo1(5)C eq oal(sup1(1),sdo1(5)15.故選C.

12、(2)能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，由多項(xiàng)式乘法的定義可知需滿足：第一個因式取x2項(xiàng)，第二個因式取 eq f(1,x2)項(xiàng)得x2 eq f(1,x2)C eq oal(sup1(4),sdo1(5)(1)45；第一個因式取2，第二個因式取(1)5得2(1)5C eq oal(sup1(5),sdo1(5)2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是5(2)3，故選D.(3)法一：(12x3x2)5(1x)5(13x)5，所以x5的系數(shù)為C eq oal(sup1(0),sdo1(5)C eq oal(sup1(5),sdo1(5)35C eq oal(sup1(1),sdo1(5)(1)C eq oal(sup1(4

13、),sdo1(5)34C eq oal(sup1(2),sdo1(5)(1)2C eq oal(sup1(3),sdo1(5)33C eq oal(sup1(3),sdo1(5)(1)3C eq oal(sup1(2),sdo1(5)32C eq oal(sup1(4),sdo1(5)(1)4C eq oal(sup1(1),sdo1(5)31C eq oal(sup1(5),sdo1(5)(1)5C eq oal(sup1(0),sdo1(5)3092.法二：(12x3x2)5(12x)3x25C eq oal(sup1(0),sdo1(5)(12x)5C eq oal(sup1(1),sd

14、o1(5)(12x)4(3x2)C eq oal(sup1(2),sdo1(5)(12x)3(3x2)2C eq oal(sup1(5),sdo1(5)(3x2)5，所以x5的系數(shù)為C eq oal(sup1(0),sdo1(5)C eq oal(sup1(5),sdo1(5)25C eq oal(sup1(1),sdo1(5)C eq oal(sup1(3),sdo1(4)23(3)C eq oal(sup1(2),sdo1(5)C eq oal(sup1(1),sdo1(3)2(3)292.形如(abc)n的展開式問題典例13(1)將 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x

15、)4)3展開后，常數(shù)項(xiàng)是_(2) eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x)y) eq sup10(6)的展開式中，x3y3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)(1)160(2)120(1) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x)4)3 eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,r(x) eq sup10(6)展開式的通項(xiàng)是C eq oal(sup1(k),sdo1(6)( eq r(x)6k eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,r(x) eq sup10(k)(2)kC eq oal(sup1(k),sdo1(6)x3k.令3k0，得k3.

16、所以常數(shù)項(xiàng)是C eq oal(sup1(3),sdo1(6)(2)3160.(2) eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x)y) eq sup10(6)表示6個因式 eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x)y)的乘積，在這6個因式中，有3個因式選y，其余的3個因式中有2個選x2，剩下一個選 eq f(2,x)，即可得到x3y3的系數(shù)，即x3y3的系數(shù)是C eq oal(sup1(3),sdo1(6)C eq oal(sup1(2),sdo1(3)(2)203(2)120.求近似值和整除問題典例14(1)求0.9966的近似值；(結(jié)果精確到0.001)(2)設(shè)

17、aZ，且0a13，若512 021a能被13整除，求a的值解(1)0.9966(10.004)6C eq oal(sup1(0),sdo1(6)C eq oal(sup1(1),sdo1(6)(0.004)1C eq oal(sup1(2),sdo1(6)(0.004)210.0240.000 240.976. (2)512 021a(521)2 021aC eq oal(sup1(0),sdo1(2 021)522 021C eq oal(sup1(1),sdo1(2 021)522 020C eq oal(sup1(2),sdo1(2021)522 019C eq oal(sup1(2 0

18、20),sdo1(2 021)521C eq oal(sup1(2 021),sdo1(2 021)a，其中C eq oal(sup1(0),sdo1(2 021)522 021C eq oal(sup1(1),sdo1(2 021)522 020C eq oal(sup1(2),sdo1(2 021)522 019C eq oal(sup1(2 020),sdo1(2 021)521能被13整除，只需C eq oal(sup1(2 021),sdo1(2 021)a能被13整除，由0a13，得a10，故a1.幾種求展開式特定項(xiàng)的解法(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)

19、符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k1，代回通項(xiàng)即可(2)對于幾個多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏(3)對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決(4)在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)若(x2a) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x) eq sup10(10)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A eq f(1,3) B eq f(1,2) C1 D2(2)(2021八省聯(lián)考)

20、(1x)2(1x)3(1x)9的展開式中x2的系數(shù)是()A60 B80 C84 D120(3) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,r(3,x)y) eq sup10(6)的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為()A30 B60 C90 D120(4)190C eq oal(sup1(1),sdo1(10)902C eq oal(sup1(2),sdo1(10)903C eq oal(sup1(3),sdo1(10)(1)k90kC eq oal(sup1(k),sdo1(10)9010C eq oal(sup1(10),sdo1(10)除以88的余數(shù)是()A1 B1 C87 D87(5

21、)0.9910的第一位小數(shù)為n1，第二位小數(shù)為n2，第三位小數(shù)為n3，則n1，n2，n3分別為()A9，0，4 B9，4，0C9，2，0 D9，0，2(1)D(2)D(3)B(4)B(5)A(1)由題意得 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x) eq sup10(10)的展開式的通項(xiàng)公式是Tk1C eq oal(sup1(k),sdo1(10)x10k eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq sup10(k)C eq oal(sup1(k),sdo1(10)x102k， eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x) eq sup10(10)的

22、展開式中含x4(當(dāng)k3時)，x6(當(dāng)k2時)項(xiàng)的系數(shù)分別為C eq oal(sup1(3),sdo1(10)，C eq oal(sup1(2),sdo1(10)，因此由題意得C eq oal(sup1(3),sdo1(10)aC eq oal(sup1(2),sdo1(10)12045a30，由此解得a2，故選D.(2)(1x)2(1x)3(1x)9 eq f(（1x）21（1x）8,1（1x）) eq f(（1x）10（1x）2,x).所以x2的系數(shù)為C eq oal(sup1(3),sdo1(10)120，故選D.(3)展開式中含xy的項(xiàng)來自C eq oal(sup1(1),sdo1(6)

23、(y)1 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,r(3,x)5， eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,r(3,x)5展開式通項(xiàng)為Tr1(1)rC eq oal(sup1(r),sdo1(5)x5 eq f(4,3)r，令5 eq f(4,3)r1r3， eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,r(3,x)5展開式中x的系數(shù)為(1)3C eq oal(sup1(3),sdo1(5)，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,r(3,x)y) eq sup10(6)的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為C eq oal(sup1(1),sdo1(6)

24、(1)C eq oal(sup1(3),sdo1(5)(1)360，故選B.(4)190C eq oal(sup1(1),sdo1(10)902C eq oal(sup1(2),sdo1(10)903C eq oal(sup1(3),sdo1(10)(1)k90kC eq oal(sup1(k),sdo1(10)9010C eq oal(sup1(10),sdo1(10)(190)108910(881)108810C eq oal(sup1(1),sdo1(10)889C eq oal(sup1(9),sdo1(10)881.前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.故選B.(5)0.9910(10.

25、01)10C eq oal(sup1(0),sdo1(10)110(0.01)0C eq oal(sup1(1),sdo1(10)19(0.01)1C eq oal(sup1(2),sdo1(10)18(0.01)210.10.004 50.904 5.故選A. 考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題 eq avs4al(典例2)(1)在 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,r(x)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為321，則x2的系數(shù)為()A50 B70 C90 D120(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3

26、a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_(1)C(2)3或1(1)令x1，則 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,r(x)n4n，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,r(x)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以 eq f(4n,2n)2n32，解得n5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(5)x5r eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,r(x) eq sup10(r)C eq oal(sup1(r),sdo1(5)3rx5 eq f(3,2)r，令5 eq f(3,2)r2，得r2，所以x2的系數(shù)為C

27、 eq oal(sup1(2),sdo1(5)3290，故選C.(2)令x0，則(2m)9a0a1a2a9，令x2，則m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.系數(shù)和問題常用“賦值法”求解賦值法是指對二項(xiàng)式中的未知元素賦值，從而求得二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的方法求解有關(guān)系數(shù)和問題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：1，0，1等求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值求值，根據(jù)題意，得出指定項(xiàng)的系數(shù)和跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)在

28、二項(xiàng)式(12x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為()A960 B960 C1 120 D1 680(2)(2021浙江高考)已知多項(xiàng)式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，則a1_；a2a3a4_(3)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：a1a2a7；a1a3a5a7；a0a2a4a6；|a0|a1|a2|a7|.(1)C(2)510(1)因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n1128，所以n17，n8，則展開式共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，因?yàn)?12x)8的展開式的通項(xiàng)Tr1C eq oal(sup1(r),sdo1(8)(2x)rC e

29、q oal(sup1(r),sdo1(8)(2)rxr，所以T5C eq oal(sup1(4),sdo1(8)(2)4x4，其系數(shù)為C eq oal(sup1(4),sdo1(8)(2)41 120.(2)a1即為展開式中x3的系數(shù)，所以a1C eq oal(sup1(0),sdo1(3)(1)0C eq oal(sup1(1),sdo1(4)5；令x1，則有1a1a2a3a4(11)3(11)416，所以a2a3a4165110.(3)解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.a0C eq oal(sup1(0),sdo1(7)1，a1

30、a2a3a72.()2，得a1a3a5a7 eq f(137,2)1 094.()2，得a0a2a4a6 eq f(137,2)1 093.法一：在(12x)7的展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.法二：|a0|a1|a2|a7|即為(12x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x1，則|a0|a1|a2|a7|372 187. 考點(diǎn)三二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題典例31設(shè)m為正整數(shù)， eq blc(rc)(avs4alco1(xy) eq sup10(2m)

31、展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a， eq blc(rc)(avs4alco1(xy) eq sup10(2m1)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若15a8b，則m_7 eq blc(rc)(avs4alco1(xy) eq sup10(2m)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為aC eq oal(sup1(m),sdo1(2m)， eq blc(rc)(avs4alco1(xy) eq sup10(2m1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為bC eq oal(sup1(m1),sdo1(2m1)，因?yàn)?5a8b，所以15C eq oal(sup1(m),sdo1(2m)8C eq oal(sup1(m1),s

32、do1(2m1)，即15 eq f(（2m）！,m！m！)8 eq f(（2m1）！,m?。╩1）！)，解得m7.項(xiàng)的系數(shù)的最值問題 eq avs4al(典例32)已知( eq r(3,x)x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，則在 eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x) eq sup10(2n)的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_，系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為_8 06415 360 x4由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知， eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(

33、1,x) eq sup10(10)的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T6C eq oal(sup1(5),sdo1(10)(2x)5 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)58 064.設(shè)第k1項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則Tk1C eq oal(sup1(k),sdo1(10)(2x)10k eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq sup10(k)(1)kC eq oal(sup1(k),sdo1(10)210kx102k，令 eq blc(avs4alco1(C eq oal(sup1(k),sdo1(10)210kC eq oal(sup1(k1),sdo1(10)210k1，,C eq oal(sup1(k),sdo1(10)210kC eq oal(sup1(k1),sdo1(10)210k1，) 得 eq blc(avs4alco1(C eq oal(sup1(k),sdo1(10)2C eq oal(sup1(k1),sdo1(10)，,2C eq oal(sup1(k),sdo1