1、第二類曲線積分的計算鐘家偉指導老師：X偉偉摘要：本文結(jié)合第二類曲線積分的背景用定義的方法進行第二類曲線積分的計算，重點是利用對稱性，參數(shù)方程，格林公式斯托克斯公式以及兩類曲線積分之間的聯(lián)系對第二類曲線積分進行計算。關(guān)鍵詞：第二類曲線積分二重積分參數(shù)積分對稱性原理斯托克斯公式第二類曲面積分1引言本文介紹第二類曲線積分的定義以及與兩類曲線積分之間的聯(lián)系，重點介紹若干種主要的計算方法。1.1第二類曲線積分的概念介紹了第二類曲線積分的物理學背景，平面和空間第二類曲線積分的定義以及對坐標的第二類曲線積分的定義。1.2第二類曲線積分的計算方法介紹了關(guān)于第二類曲線積分的參數(shù)計算法，利用格林公式和斯托克斯公式

2、計算的方法以及利用對稱性簡化或計算的方法。2.1第二類曲線積分的物理學背景力場F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲線L從點A到點B所作的功一質(zhì)點受變力Fy的作用沿平面曲線L運動,當質(zhì)點從L之一端點A移動到另一端B時,求力Fx,y所做功W.大家知道,如果質(zhì)點受常力F的作用從A沿直線運動到B,那末這個常力F所做功為W=FAB.現(xiàn)在的問題是質(zhì)點所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢?為此,我們對有向曲線L作分割T0,1,.,n1,n,即在AB內(nèi)插入n1個分點M1,M2,.,Mn1,與A=M0,BMn一起把曲線分成n個有向小曲線段Mi1M(i,n),記i小曲線段Mi1M的弧長為i

3、.則分割iT的細度為TS.0,1,.,n1,ni1in設(shè)力Fx,y在x軸和y軸方向上的投影分別為P(x,與Q(x,y),那么Fy=P(x,y),Q(x,y)P(y)iQ(x,y)j由于Mi(x1,y1),M(x,y),則有向小曲線段Mi1Mi(i,在x軸和y軸方向1iiiii上的投影分別為ixx與yyy.記ii1iii1LMiM1i=(x,)從而力Fx,y在iyi小曲線段Mi1Mi上所作的功iF(,i)LMiM1i=Pi,ixi+Qi,ii其中(i,)為小曲線段Mi1Mi上任一點,于是力Fx,y沿L所作的功可近似等于jnnnW=iWiP(Si,)xQ(s,)y當T0時,右端積分和式的極限就是所

4、iiiiii1i1i1求的功.這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分.2.2第二型曲線積分的定義設(shè)P(y),Q(y)為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線L上的函數(shù),對LAB任一AB分割T,它把LAB分成n個小弧段Mi1Mi(i,n)A=M0,BMn.記各個小弧段Mi1M弧長為si,分割T的細度為TS,又設(shè)T的分點的坐標為ii1inMi(xi,yi),并記ixii1,yiyiyi1,(i,.在每個小弧段Mi1M上任取一點i,i,若極限innlimT0i1P(,)iixilimQ(,iT0i1i)yi存在且與分割T與點i,的取法無關(guān),則稱此極限為函數(shù)P(x,Q(x,y)在有向線段iL上的

5、第二類曲線積分,記為ABP(x,y)dxQ(x,y)dy或x,y)dxQ(x,y)dyLAB也可記作P(y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注：(1)若記Fx,y=P(x,Q(x,y),dx,dy則上述記號可寫成向量形Fds.式:L(2)倘若L為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線,x,y,z),Q(y,z),R(為定義在L上的函數(shù),則可按上述辦法定義沿空間有向曲線L的第二類曲線積分,并記為P(z)dxQ(x,y,z)dyx,y,z)dzL按照這一定義,有力場F(x,y)P(y),Q(x,y)沿平面曲線L從點A到點B所作的功為WPdxQdy.第二型曲線積分的鮮明特

6、征是曲線的方向性.對二型曲線積分AB有,定積分是第二型曲線積分中當曲線為x軸上的線段時的特例.可類似地考ABBA慮空間力場F(x,y,P(x,Q(z),y,z)沿空間曲線LAB所作的功.為空間曲線LAB上的第二型曲線積分P(x,dxQ(y,z)dyR(x,y,z)dz.AB2.1對坐標的第二類曲線積分的概念設(shè)函數(shù)在平面P(x，y)上的一條光滑（或分段光滑）曲線上有定義且有界，用分點M(X,Y)(i0,1,2n)iii將曲線L從起點A到B分為n個有向小弧的長度(i,i)li，nn作和式iP(,)X(XX)iiiii11inlilimP()XIiii1i存在，且對曲線L的分點及點的選取方式無關(guān)，則

7、稱此極限為函數(shù)P(x,y)按從A到B的方向沿曲線L對坐標x的曲線積分，記作的曲線積分記作(i,i)nLP(x,y)dxlimP()Xx,yiiii1，其中（x，y）稱為被積函數(shù)，L稱為被積路徑，對L坐標的曲線積分也稱之為第二類曲線積分。類似的，設(shè)函數(shù)（x，）在xy平面上的一條光滑（或分段光滑）曲線（AB）上有定義且有界。若對于L的任意分法和(,)ii的任意取法，極限都存在且唯一，則稱此極限值nlimQ()Yiiii1為函數(shù)（x，y）按從A到B的方向沿曲線L對坐標Y的曲線積分，x,y記作L2.2第二類曲線積分的參數(shù)計算法首先要弄清楚兩類積分的定義，簡單地說，第一類曲線積分就是ln2f(x,yli

8、m(,)siii0i1第二類曲線積分就是nlyQ(x,y)dylimP(,)xQ(,)yiiiiii0i1（）這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分和中是乘的i，si是一小段弧的弧長，i總是正值；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的y坐標的增量xxx1,yyy1iiiiii，xi與yi是可正可負的。當積分的路徑反向時，i不變，而i，yi反號，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號，在這一性質(zhì)上，第二類曲線積分與定積分是一樣的。計算曲線積分的基本方法是利用的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設(shè)曲線l的參數(shù)方程為xx(t),yy(t),t則第一類曲線積分的計算

9、公式為2222dsdxdyx(t)dty(t)dt22x(t)dt(t)dtdt這里要注意，即對t的定積分中，下限比上限小時才有dt0，也就有dtdt，這樣才有上述計算公式。這個問題在計算中也要特別注意。沿l上的點由A變到，即t的下限對應曲線積分的起點，他的上限對應曲線積分的起點，t的上限對應終點。在計算中總要用到曲線的參數(shù)方程，這里列出一些常用曲線的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程為xa(tsint),ya(tcost),0t2有些較簡單的曲線可取x或y為參數(shù)，即可由直角坐標方程。例如，直線yaxb，取可由直角坐標方程得出參數(shù)方程。例如，直角yaxb，取x為參數(shù)，參數(shù)方程即為xyaxb,x又如，拋物

10、線yx，取y為參數(shù)，參數(shù)方程為xy2,2,yy,0y例1設(shè)l為以O(shè)(0,0),B(0,0)為頂點的三角形邊界，計算（）l22(xy)ds（）2222()()lxydxxydy，沿逆時針方向。1）這是第一類曲線積分。l22(xy)ds222222(xy)ds(xy)ds(xy)dsOAABOB線段OA的參數(shù)方程為xx,0 x1y0,OA1222(xy)dsxdx013線段AB的參數(shù)方程為xx,0 x1y1AB12222(xy)ds(x(1x)2dx0223.線段OB的參數(shù)方程為x0,0y1yy,OB1222xydsydyi013所以L2212212(12)(xy3333（2）這是第二類曲線積分。

11、l22(xy(x2)dy2222(xy)dx(x2)dy(xy)dx(x2)dyOABO111222xdxx(1dx(x2)d(1x)0001112(13x2x2360在這個例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問題。2.3利用格林公式計算第二類曲線積分設(shè)D是由分段光滑的曲線l圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)P(x,y)，Q(x,在其上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有格林公式lQPP(x,y)dxQ(x,dy()dxdyxyD其中l(wèi)取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林公式正是這樣的公式。在討論曲線積

12、分與路徑無關(guān)問題中，在許多公式的推導中，在曲線積分的計算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個計算曲線積分的例子。例2.用格林公式計算例1中（2）的第二類曲線積分。解：顯然，這個積分滿足格林公式的條件。用格林公式，22()(2)lxydxxdyD11y(12dxdydy(12y)dx0010(122y)dy16這比例1中的解法簡單一些。例3.計算第二類曲線積分l22(yx(xy)dy,其中l(wèi)為從A（-2,0）到B（2,0）沿橢圓2x4y21的上半部分的曲線。解：l不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿x軸的線段BA而成為封閉曲線。2222(yx(xy)dy(yx)dx(xy)dyl

13、BA(1xdy224Dl22(yx)dx(xy)dy224(yx(xy)dyAB224(yx)dx(xy)dyBA224xdx42163此題重點提到的是針對于非封閉曲線如何利用格林公式通過補形的方法將第二類曲線積分的計算轉(zhuǎn)化為二重積分的計算。2.4利用對稱性計算第二類曲線積分定理1設(shè)L為xoy平面上關(guān)于x軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為yx),(axb)。記分別為L位于x軸的上半部分與下半部分，1,L2分1,L2別在上的投影方向相反，函數(shù)P(y)在L上連續(xù)，那么）當P(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)時，則P(y)dx0L）當P(x,y)關(guān)于為奇函數(shù)時，則P(x,y)dx2P(x,y

14、)dxLL1證明：依定理條件不妨設(shè)1:yy(x)從點a變到點bL2:yy(從點b變到點a于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有P(x,y)dxP(x,y)dxP(x,y)dxLLL12bbPy(x)dxPy(x)dxaabay(x)Px,y(x)dxbaPx,y(x)Py(dx故1）當P(x,關(guān)于為偶函數(shù)時，有bbP(x,y)dxx,y(x)Px,dx0Laa）當P(x,y)位于為奇函數(shù)時，有bP(xPx(xy)Lab2Px,y2Px)aLQ(x,y)dy注1對于有定理1的結(jié)論L注2定理1可用兩句口訣來簡言之，即“反對偶對奇指在軸上的投影方向相反；“對”指關(guān)于軸對稱；“偶”指被積函數(shù)在上關(guān)于為

15、偶函數(shù)；“零”指曲線積分的結(jié)果等于零。口訣“反對奇倍”涵義類似解釋。P(x,y)dxL分還有另一個對稱性的結(jié)論是關(guān)于曲線積定理2設(shè)為平面上關(guān)于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程為yyxaxa，記1,L2分別L為位于y軸的右半部分，(),()1,L2分別在x軸上的投影方向相同，函數(shù)P(x,y)在L上連續(xù)，那么）當P(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)時，則P(x,y)dx0L）當P(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)時，則P(x,y)dx2P(x,y)dxLL1證明：依定理條件不妨設(shè)1:yy(從點0變到a2:yy(從點a變到0(a0).于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有P(x,dxP(x,y)dxP(x,y)dxL

16、LL12a00Px,y(x)dxPy(x)dxa對右端第2個積分，令xt，有0aP(x,y)(dxaaP(t,y(t)dtPx,y(x)dx00因此有LP(x,y)dxaaPy(x)dxPy(x)dx00a0Py(x)Px,y(dx故）當P(x,y)在L上關(guān)于x為奇函數(shù)時，有LP(x,y)dxa0Px,y(x)Py(x)dxa0dx00）當P(x,y)在L上關(guān)于x為偶函數(shù)時，有LaP(x,y)dxy(x)Px,y(dx0a2Px,y(x)dx2Px,y(x)dx0L1Q(x,y)dy注1對于有類似2的結(jié)論。L注2定理1與定理2雖然都是對坐標x的曲線積分，但定理1中積分曲線弧的對稱性及其投影都是

17、針對x軸而言的，而定理2積分曲線弧的對稱性及其投影是分別針對y軸和x軸而言的。另外，被積函數(shù)P(x,的奇偶性也是分別針對不同的變量而言的，故定理2的結(jié)論恰好與定理1相反，定理2用口訣簡言之是：“同對奇零1,L2分別在x軸的投影方向相同，“對”指L關(guān)于y軸對稱“奇”指被積函數(shù)P(x,y)關(guān)于x為奇函對偶倍”的涵義類似解釋。Ixydx例4計算L其中L為拋物線2yx從點A(1,1)到B(1,1)上的一段弧。解：以題設(shè)條件知，該曲線積分滿足定理1中“反對奇倍”的結(jié)論，故有1I2xydx2xxdxL045，其中，1:yx，x從點0變到1.例5計算222I(xy)dx(xysindyL其L為222(0)x

18、yaa按逆時針方向從點A(a,0)到點B(a,0)的上半圓周。解可將原式改寫為3個曲線積分的代數(shù)和，即2222I(xy)dx2xydx(xysiny)dyLLL，依題設(shè)條件分析知，等式右端第一、第二、第三個曲線積分依次滿足定理2中“同對偶對奇零”及及定理1的注1中“反對偶乘零“的結(jié)論，故有22I(xy)dxL222(xy)dxL1022232(xax)dx2aa其中，22Lyax，x從點a變到0.1:2.5利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分斯托克斯（StokesS的積分與沿S的邊界曲線L的積分之間的聯(lián)系。在介紹下述定理之前，先對雙側(cè)面S的側(cè)與邊界L的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在S上指定的一側(cè)，若

19、沿L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人的前進方向為邊界L正向；若沿L行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人的前進方向為邊界線L的負向，這個規(guī)定方法也稱為右手法則，如下圖所示。定理3設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)P,Q,R在（連同L且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則SRRPRQP()dzdx()dxdyyzzyxyPdxQdyRdzL（）其中S的側(cè)面與L的方向按右手法則確定。公式（）稱之此公式為斯托克斯公式。證明：先證SPPdzdxdxdyPdx,zyL（3）其中曲面S由方程zz(x,y)確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為,1zzxy，方向余弦為cos,cos,cos，所以ZcosZcos,xcosyco

20、s若S在xy平面上投影區(qū)為Dxy，L在xy平面上的投影曲線記為，現(xiàn)由第二類曲線積分定義及格林公式有LP(y,z)dxP(x,y,x)dxP(x,x,y)dxdyDxy因為PPzP(y,z(x,y),yyzy所以PPzx,y,z(x,dxdy()dxdyyyzyDDxyxy由于zcos,y從而cos原式PPzPPcos=()dxdy()dxdyyzyyzcosSSSPPdxdy(coscos)yzcosSPPcoscos)dSyzSPPdzdxdxdyzy綜合上述結(jié)果，便得所要證明的（）式。同樣對于曲面S表示xx(y,x)和yy(z,x)時，可得SQQdxdydydzQdyxzL（）和SQRdydzdydzRdsxzL（）將（5）三式相加即得斯托克斯公式（2如果曲線S不能以zy)的形式給出，則用一些光滑曲線把S分割為若干小塊，使每一小塊能和這種形式表示，因而這時斯托克斯公式也能成立。為了便于記憶，斯托克斯公式也常寫成如下形式：dydzdzdxdxdyxyzSLPQRPdxQdyRdz(yz)dx(zx)dy(xy)例，C其中C為橢圓若從軸ox正向看去，此