關(guān)于無窮小與無窮大無窮小的比較第1頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五

定義1.12

若函數(shù)在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,為無窮小量．簡稱無窮?。?.4.1無窮小例如，當(dāng)時，，，是無窮小量；當(dāng)時，是無窮小量當(dāng)時，，是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母，，來表示無窮小量．第2頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五注意：

（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮小

（2）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，例如:

當(dāng)時,為無窮小當(dāng)時,就不是無窮小第3頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和．即其中．第4頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五無窮小的代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

無限個無窮小之和仍是無窮小。性質(zhì)2

有界變量與無窮小之積仍是無窮小。推論1

常數(shù)與無窮小之積是無窮小。推論2

有限個無窮小之積是無窮小。第5頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五

定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱 當(dāng)(或)時為無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大第6頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五

如果函數(shù)當(dāng)時為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為第7頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五而且，把正值的無窮大叫做正無窮大，把負(fù)值的無窮大叫做負(fù)無窮大，分別記為例如，（1）

無窮大是個變量，不是常數(shù)

（2）

無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)

注意：

第8頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五時，,時，是無窮小例1

指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？

解時，,時，是無窮小時，,時，是無窮大解時，,時，是無窮大時，,時，是無窮大第9頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五解時，，所以時，是無窮小時，,所以時，是正無窮大第10頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小第11頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大第12頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小

時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是無窮大第13頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五時，是無窮小時，是正無窮大第14頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五第15頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五解因為，所以是有界變量；例2

求．當(dāng)時，是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無窮小量．即．第16頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五練習(xí)求下列函數(shù)的極限第17頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五，，．我們記，，，它們都是時的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較第18頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五，，趨于零的情況10100100010000

0.10.010.0010.0001

0.20.020.0020.00020.010.00010.0000010.00000001第19頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個無窮小量，(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價無窮小量．(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．第20頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五21關(guān)于等價無窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)

~，

~，且存在，則證明：第21頁，共23頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五22在求極限時，利用定理，分子分母的無