第二章隨機變量及其分布本章要求離散型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度隨機變量函數(shù)的概率分布1本章要求1.掌握隨機變量及其分布函數(shù)的概念;2.理解離散型隨機變量及其分布律的概念；掌握較簡單的離散型隨機變量的分布律的計算；掌握兩點分布、二項分布與泊松分布；3.掌握連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)、性質(zhì)及有關(guān)計算；掌握均勻分布、指數(shù)分布及其計算；熟練掌握正態(tài)分布及其計算,4.了解隨機變量函數(shù)的概念，會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布;重點：隨機變量的分布律與概率密度函數(shù)的概念、性質(zhì)和計算，隨機變量函數(shù)的分布，幾種常見分布。2

關(guān)于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機變量2.1離散型隨機變量32.1.1隨機變量的概念定義.

設(shè)S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個eS，有一實數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機變量的特點:

1、X的全部可能取值是互斥且完備的2、X的部分可能取值描述隨機事件4隨機變量的分類：隨機變量52.1.2離散型隨機變量定義若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …6(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，2

分布律的性質(zhì)7例某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。解：設(shè)Ai第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

82.1.3(0-1)分布與二項分布1.(0-1)分布

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或9若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記作X~B（n,p)

分布律為：2.

定義

設(shè)將試驗獨立重復(fù)進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.10例從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:11例

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理

設(shè)隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解

設(shè)X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}

＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…12上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.132.1.4泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().據(jù)得:泊松(Poisson)分布滿足分布律的基本性質(zhì)14泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布15例設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

解:由題意,16例

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進貨數(shù)銷售數(shù)此題特注17求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9件或注意:P34例2-9;2-10,比上述例題容易182.2隨機變量的分布函數(shù)定義

設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.2.1分布函數(shù)的概念.19當(dāng)

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例設(shè)隨機變量X的分布律為當(dāng)

0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=X求X的分布函數(shù)F(x).解F(x)=P(X

x)20當(dāng)

1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=121故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.22的分布函數(shù)圖232.2.2分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。24一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例設(shè)隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。25例向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標.假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時,F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k×1=1262.3

連續(xù)型隨機變量及其概率密度

1.定義

對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)2.3.1

連續(xù)型隨機變量及其概率密度27密度函數(shù)的幾何意義為28密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

例設(shè)隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:?29(3)若x是f(x)的連續(xù)點，則例設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為,求f(x)30（4）對任意實數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=a}＝0。于是31例已知隨機變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}32注意:P40例2-14┄2-117,例題多331.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)若r.vX的概率密度為：記作2.3.2均勻分布與指數(shù)分布

34

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；35

例

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位36

為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，372.指數(shù)分布

若

X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為指數(shù)分布在可靠性理論與排隊論中有廣泛應(yīng)用38例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解本問題屬于條件概率39例某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0，t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當(dāng)t≤0時，當(dāng)t>0時，=1-{在t時刻之前無汽車過橋}于是P{X＝k}＝次數(shù)有何發(fā)現(xiàn)？概率密度就是指數(shù)分布，F(xiàn)（t）就是其分布函數(shù)40請欣賞41其中為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為

,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量2.3.3.正態(tài)分布42

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個特性：43(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布444.標準正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。45分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為46一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P195附表1)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則標準化P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.906647例設(shè)隨機變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?例設(shè)

XN(,2),求

P{-3<X<+3}本題結(jié)果稱為3

原則.在工程應(yīng)用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.利用48例

一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中49解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h

.看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求50因為X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99即

h=170+13.98184設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.所以.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.因而=2.33,51標準正態(tài)分布的上分位點設(shè)則稱點為標準正態(tài)分布的上分位點.若數(shù)滿足條件522.4.1離散型隨機變量函數(shù)的概率分布

2.4隨機變量函數(shù)的概率分布設(shè)X一個隨機變量，分布律為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…-101例已知XPk求：Y=X2的分布律YPk10若y＝g(x)是一元單值實函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.53解：當(dāng)X

取值

1，2，5時，

Y取對應(yīng)值

5，7，13，例設(shè)X求

Y=2X+3的概率函數(shù).～而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故54或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）一般地XPkY=g(X)55注意：P51例2-25，2-26562.4.2連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布

1、一般方法

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“

分布函數(shù)法”則可先求Y的分布函數(shù)