關(guān)于概率統(tǒng)計建模的理論與方法1第1頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2一、隨機(jī)變量及其分布

1.二項(xiàng)分布例1.能量供應(yīng)問題

假定有

個工人間歇性地使用電力，估計所需要的總負(fù)荷。

首先我們要知道，或者是假定，每個工人彼此獨(dú)立工作，而每一時刻每個工人都以相同的概率p需要一個單位的電力。那么，同時使用電力的人數(shù)就是一個隨機(jī)變量，它服從所謂的二項(xiàng)分布。用X表示這個隨機(jī)變量，記做，且

這是非常重要的一類概率分布。其中E(X)＝np，D(X)=np(1-p)。

第2頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3

其次，要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來估計出，p值是多少？例如，一個工人在一個小時里有12分鐘在使用電力，那么應(yīng)該有最后，利用公式我們求出隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X012345678910P0.1073740.2684350.301990.2013270.088080.0264240.0055050.0007860.0000740.0000040.000000累積概率0.1073740.375810.67780.8791260.9672070.9936310.9991360.9999220.99999611為直觀計，我們給出如下概率分布圖：第3頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4可以看出，

也就是說，如果供應(yīng)6個單位的電力，則超負(fù)荷工作的概率只有0.000864，即每中，才可能有一分鐘電力不夠用。還可以算出，八個或八個以上工人同時使用電力的概率就更小了，比上面概率的1/11還要小。

問題：二項(xiàng)分布是一個重要的用來計數(shù)的分布。什么樣的隨機(jī)變量會服從二項(xiàng)分布？

進(jìn)行n次獨(dú)立觀測，在每次觀測中所關(guān)心的事件出現(xiàn)的概率都是p，那么在這n次觀測中事件A出現(xiàn)的總次數(shù)是一個服從二項(xiàng)分布B（n，p）。第4頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五5

練習(xí)：用MATLAB計算本題binopdf(x,n,p)計算x中每個值對應(yīng)的二項(xiàng)分布概率binocdf(x,n,p)

計算x中每個值對應(yīng)的分布函數(shù)值

例如binopdf(0:10,10,0.2)第5頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五62.Poisson分布例2.Rutherford對裂變物質(zhì)的觀測

英國著名物理學(xué)家Rutherford（1871－1937）在其放射性物質(zhì)試驗(yàn)中，觀測在時間間隔ΔT內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的α粒子數(shù)。實(shí)際試驗(yàn)時，取時間間隔為ΔT=7.5秒，觀測了N＝2608次，將每次觀測到的粒子數(shù)記錄下來，列在下表中第1，2行：粒子數(shù)X0123456789>=10頻數(shù)n57203383525532408273139452716頻率f0.0218560.0778370.1468560.2013040.2039880.1564420.1046780.0532980.0172550.0103530.006135概率p0.0208580.0807220.1561970.2014940.1949450.1508880.0973230.0538050.0260280.0111920.006547第6頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五7

我們用X表示ΔT=7.5秒內(nèi)觀測到的α粒子數(shù)，它是一個隨機(jī)變量，服從什么分布呢？在2608次觀測中，共觀測到10094個α粒子數(shù)，平均每次觀測到λ=M÷N＝10094÷2608≈3.87個α粒子數(shù)，用參數(shù)為λ=3.87的Poisson分布P計算一下：

將計算結(jié)果列在上表中最后一行，與列在第3行的實(shí)際頻率比較，比較的圖示在下圖中。（Excel）第7頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五8

可以看出，認(rèn)為X服從參數(shù)為3.87的Poisson分布還是非常合理的。在后面統(tǒng)計部分,我們會用Pearson－擬合檢驗(yàn)法來證明這種合理性第8頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五9

問題：Poisson分布是又一類非常重要的用來計數(shù)的離散型分布，它依賴于一個參數(shù)。什么樣的隨機(jī)變量會服從Poisson分布呢？練習(xí)：用MATLAB計算本題poisspdf（x，λ），計算poisson概率，例如，poisspdf(0:9,3.87)第9頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五10

在給定的觀測范圍內(nèi)（例如給定時間內(nèi)，給定區(qū)域內(nèi)等等），事件會發(fā)生多少次？把觀測范圍分成n個小范圍：給定事件在每個小范圍內(nèi)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，發(fā)生多少次取決于小范圍的大??；2.在不同的小范圍內(nèi)發(fā)生多少事件相互獨(dú)立；3.在小范圍里發(fā)生的事件數(shù)多于一個的概率，和小范圍的大小相比可以忽略不計，用表示在小范圍內(nèi)事件發(fā)生一次的概率。

那么在給定范圍內(nèi)發(fā)生的總事件數(shù)X近似服從,

為給定范圍內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的近似平均值。令，則為給定范圍內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的準(zhǔn)確平均值，這時這正是Poisson分布，其中參數(shù)

第10頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五113.正態(tài)分布則稱此隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記做

，其中都是給定的參數(shù)，

。稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用表示其分布函數(shù)，其密度函數(shù)為時，我們有

隨機(jī)變量X如果有密度函數(shù)第11頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五12

大量連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布在處理數(shù)據(jù)時是非常有用處的。我們在統(tǒng)計部分會大量用到它。下面是正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像：第12頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五134.指數(shù)分布

稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布或標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布，若它有密度函數(shù)它的分布函數(shù)為第13頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五14設(shè)是給定常數(shù)，則Y的分布函數(shù)為其密度函數(shù)為這是一般的指數(shù)分布。第14頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五15b＝0的指數(shù)分布的密度函數(shù)圖像如下所示（指數(shù)密度）：可見，隨著的減小，隨機(jī)變量取到較大值的概率增加事實(shí)上，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

指數(shù)隨機(jī)變量經(jīng)常用來刻畫壽命。

第15頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五165.

多維隨機(jī)變量

我們經(jīng)常需要考慮量與量之間的關(guān)系，如果這些量是隨機(jī)變量，那么就需要把多個隨機(jī)變量放在一起，考慮多元隨機(jī)變量。設(shè)是n元隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)是一個n元函數(shù)：

利用這個分布函數(shù)就可以討論這n個隨機(jī)變量之間各種各樣的關(guān)系。第16頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五17(1)邊際分布與獨(dú)立性相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)(2)相關(guān)系數(shù)

兩個隨機(jī)變量X,Y之間的相關(guān)系數(shù)定義為其中

相關(guān)系數(shù)刻畫了隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度，越接近于0，線性相關(guān)關(guān)系越弱。第17頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五18

第18頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五19

綜上所述，我們知道在概率論里學(xué)過許多分布，當(dāng)然，還有許多分布我們沒有學(xué)過。但是，在實(shí)踐中我們可能會遇到各種各樣的分布，甚至還有沒被發(fā)現(xiàn)的分布。在處理數(shù)據(jù)的時候，我們要搞清楚：1.數(shù)據(jù)是哪個或哪些指標(biāo)的取值？2.這個或這些指標(biāo)是不是隨機(jī)變量或隨機(jī)向量？3.如果是，那么它服從什么分布？4.用統(tǒng)計方法確定分布？5.分布確定后，用概率方法求出問題的解。下面我們就討論用統(tǒng)計方法確定分布的問題。第19頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五20二、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述與分析1.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻率直方圖當(dāng)我們確定討論的指標(biāo)的確是隨機(jī)變量后，剩下的關(guān)鍵任務(wù)就是確定它的分布。那么它的觀測數(shù)據(jù)就是我們賴以解決問題的基本資料，叫做樣本，而這個隨機(jī)變量就叫做總體。這些數(shù)據(jù)反映了該隨機(jī)變量分布的基本特征。我們可以利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)造一個分布函數(shù)，理論上可以證明它很接近于那個未知分布。這個分布函數(shù)就叫做經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。第20頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五21

在例2，我們確定所討論的指標(biāo)—在時間間隔ΔT秒內(nèi)放射出的α粒子數(shù)X，是一個隨機(jī)變量。且有該隨機(jī)變量的n＝2608個觀測值，這就是一個容量為2608的樣本。在沒有其他信息的情況下，首先應(yīng)該給出該樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：例6.例2續(xù)(經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))在這里我們可求出這個經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如下：第21頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五22第22頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五23這個函數(shù)的圖像如下（Poisson2）：

如果熟悉Poisson分布的分布函數(shù)圖像的話，就可以從這個圖像判斷出，X可能服從參數(shù)為3.87的Poisson分布。從這個經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)容易解決概率計算問題：第23頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五24

當(dāng)然，由于是離散型的隨機(jī)變量，我們可能更熟悉如下頻率分布圖像：也就是說，對于離散型隨機(jī)變量，我們更常用的方法是繪制這種頻率分布圖。為了判斷分布的類型，對于離散型隨機(jī)變量，要繪制頻率分布圖！作業(yè)：用MATLAB計算本例。第24頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五25例7、超市問題（頻率直方圖）隨機(jī)抽取某大學(xué)超市137位顧客的購買金額的實(shí)際記錄（單位：元），數(shù)據(jù)如下。請問購買金額服從什么分布？65.209.9029.7261.1016.9214.3824.1316.9929.334.399.8085.9622.5037.1932.318.4035.0341.706.084.906.2820.401.807.902.5015.0529.2711.1011.0826.1017.5023.0523.123.0012.8813.189.0044.094.0045.4533.6921.9217.003.4016.306.6011.3642.308.007.4014.986.0544.9440.1460.051.5029.5818.306.0031.104.8016.343.2024.536.677.7249.4010.0316.3023.6012.705.0025.357.9264.801.393.0013.600.9020.2027.2021.9313.280.9010.095.0027.4535.604.222.0020.902.0011.078.974.158.703.5017.2460.343.3027.4832.0055.4815.125.6112.400.9511.8018.6037.342.0034.079.1011.590.7028.0013.202.004.503.973.666.253.9019.6016.882.002.8025.162.865.7010.254.059.004.203.501.902.76第25頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五26

用X表示顧客的購買金額，那么它應(yīng)該是一個連續(xù)型的隨機(jī)變量。對于連續(xù)型的隨機(jī)變量，我們一般就不作它的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)了，而是改作它的頻率直方圖。一般認(rèn)為，X應(yīng)該服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望為其實(shí)不然，其頻率直方圖如下圖所示：（超市）第26頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五27它很像參數(shù)為的指數(shù)分布密度函數(shù)，如圖中紅色曲線所示。所以我們就認(rèn)為X的分布是這樣的一個指數(shù)分布。例如，給定可以求出

表明該店顧客一次消費(fèi)金額在20元以下的人數(shù)占到近七成。這是什么原因呢？原來這是一家小型社區(qū)超市，人們只來買日用品，不在這里買大件。這對超市的經(jīng)營管理是一個重要信息。對于連續(xù)型隨機(jī)變量，要繪制頻率直方圖！作業(yè)：1、用Excel完成本例；2、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。第27頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五28

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、頻率分布圖和頻率直方圖可以幫助我們了解隨機(jī)變量的類型。當(dāng)我們已經(jīng)了解到隨機(jī)變量的分布類型后，該隨機(jī)變量的分布一般就取決于一個或幾個參數(shù)了。如果知道了這些參數(shù)，就可以把分布完全確定下來。那么，如何確定這未知參數(shù)呢？（參數(shù)估計）第28頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.常用統(tǒng)計量及其分布第29頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第30頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.幾個在統(tǒng)計中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4（1）正態(tài)分布),(2smN密度函數(shù)：222)(21)(smsp--=xexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(smsp--￥-ò=其中m為均值，2s為方差，+￥<<￥-x.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-￥-ò=Fp

分布函數(shù)第31頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第32頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第33頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五返回F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線第34頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五三、參數(shù)估計第35頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.點(diǎn)估計的求法(一）矩估計法第36頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(二）極大似然估計法第37頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.區(qū)間估計的求法第38頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1、已知DX，求EX的置信區(qū)間2．未知方差DX，求EX的置信區(qū)間(一)數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間（二）方差的區(qū)間估計返回第39頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.參數(shù)檢驗(yàn)：如果觀測的分布函數(shù)類型已知，這時構(gòu)造出的統(tǒng)計量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗(yàn)稱為參數(shù)檢驗(yàn).

參數(shù)檢驗(yàn)的目的往往是對總體的參數(shù)及其有關(guān)性質(zhì)作出明確的判斷.

對總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受假設(shè)或拒絕假設(shè).2.非參數(shù)檢驗(yàn)：如果所檢驗(yàn)的假設(shè)并非是對某個參數(shù)作出明確的判斷，因而必須要求構(gòu)造出的檢驗(yàn)統(tǒng)計量的分布函數(shù)不依賴于觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗(yàn)叫非參數(shù)檢驗(yàn).

如要求判斷總體分布類型的檢驗(yàn)就是非參數(shù)檢驗(yàn).四、假設(shè)檢驗(yàn)第40頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟是：第41頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（一）單個正態(tài)總體均值檢驗(yàn)1、參數(shù)檢驗(yàn)第42頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第43頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（二）單個正態(tài)總體方差檢驗(yàn)第44頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（三）兩個正態(tài)總體均值檢驗(yàn)第45頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（四）兩個正態(tài)總體方差檢驗(yàn)第46頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五47例9、續(xù)例2（離散型）

例2中認(rèn)為在時間間隔內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的α粒子數(shù)X服從Poisson分布，是否合理？我們現(xiàn)在解決這個問題。這是一個非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題，原假設(shè)為

H0:X服從Poisson分布當(dāng)然其對立假設(shè)就是X不服從Poisson分布。2.非參數(shù)檢驗(yàn)第47頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五48檢驗(yàn)的第一步要解決的問題是，如果H0成立，那么它服從參數(shù)為多少的Poisson分布？要先估計未知參數(shù)。因?yàn)檫@時所以用點(diǎn)估計法有，可知如果H0成立，那么

檢驗(yàn)的第二步要解決的問題是，觀測數(shù)據(jù)是否支持原假設(shè)？如果原假設(shè)成立，

那么X的分布如表中1、4行所示，我們可以計算出在總共N＝2608次觀測中X取每個值的理論頻數(shù)Npk：粒子數(shù)X012345678910頻數(shù)n57203383525532408273139452716頻率f0.0218560.0778370.1468560.2013040.2039880.1564420.1046780.0532980.0172550.0103530.006135理論概率pk0.0208580.0807220.1561970.2014940.1949450.1508880.0973230.0538050.0260280.0111920.006547理論頻數(shù)Npk54.39863210.5227407.3614525.4962508.4176393.5152253.8173140.324767.8820829.1892917.07489第48頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五49第49頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五50第50頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五51第51頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五52（二）概率紙檢驗(yàn)法

概率紙是一種判斷總體分布的簡便工具.使用它們，可以很快地判斷總體分布的類型.概率紙的種類很多.返回第52頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五五、MATLAB統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用2.基本統(tǒng)計量3.常見概率分布的函數(shù)4.頻數(shù)直方圖的描繪5.參數(shù)估計6.假設(shè)檢驗(yàn)7.綜合實(shí)例返回第53頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用

例1

上海市區(qū)社會商品零售總額和全民所有制職工工資總額的數(shù)據(jù)如下統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令第54頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（1）年份數(shù)據(jù)以1為增量，用產(chǎn)生向量的方法輸入。命令格式：x=a:h:bt=78:87（2）分別以x和y代表變量職工工資總額和商品零售總額。

x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4]y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]（3）將變量t、x、y的數(shù)據(jù)保存在文件data中。

savedatatxy

（4）進(jìn)行統(tǒng)計分析時，調(diào)用數(shù)據(jù)文件data中的數(shù)據(jù)。

loaddataToMATLAB(txy)方法1第55頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（1）輸入矩陣：data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]（2）將矩陣data的數(shù)據(jù)保存在文件data1中：savedata1data（3）進(jìn)行統(tǒng)計分析時，先用命令：loaddata1

調(diào)用數(shù)據(jù)文件data1中的數(shù)據(jù)，再用以下命令分別將矩陣data的第一、二、三行的數(shù)據(jù)賦給變量t、x、y：

t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要調(diào)用矩陣data的第j列的數(shù)據(jù)，可用命令：

data(:,j)方法2ToMATLAB(data)返回第56頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.基本統(tǒng)計量對隨機(jī)變量x，計算其基本統(tǒng)計量的命令如下：均值：mean(x)中位數(shù)：median(x)標(biāo)準(zhǔn)差：std(x)

方差：var(x)偏度：skewness(x)

峰度：kurtosis(x)例對例1中的職工工資總額x，可計算上述基本統(tǒng)計量。ToMATLAB(tjl)返回第57頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.常見概率分布的函數(shù)Matlab工具箱對每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值與方差：stat隨機(jī)數(shù)生成：rnd

（當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.）第58頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五在Matlab中輸入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)（1）密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma)(當(dāng)mu=0,sigma=1時可缺省)ToMATLAB(liti2)如對均值為mu、標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：第59頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五ToMATLAB(liti3)（3）逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出x，使得P{X<x}=P.此命令可用來求分位數(shù).（2）概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)ToMATLAB(liti4)第60頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五ToMATLAB(liti5)（4）均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正態(tài)分布N(3,52)的均值與方差.

命令為：[m,v]=normstat(3,5)

結(jié)果為：m=3,v=25（5）隨機(jī)數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n).產(chǎn)生mn階的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣.例6

命令：M=normrnd([123;456],0.1,2,3)

結(jié)果為：M=0.95672.01252.88543.83345.02886.1191ToMATLAB（liti6）

此命令產(chǎn)生了23的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣，各數(shù)分別服從N(1,0.12),N(2,22),N(3,32),N(4,0.12),N(5,22),N(6,32)返回第61頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（1）給出數(shù)組data的頻數(shù)表的命令為：

[N,X]=hist(data,k)

此命令將區(qū)間[min(data),max(data)]分為k個小區(qū)間（缺省為10），返回數(shù)組data落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個小區(qū)間的中點(diǎn)X.（2）描繪數(shù)組data的頻數(shù)直方圖的命令為：

hist(data,k)4.頻數(shù)直方圖的描繪返回第62頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五5.參數(shù)估計（1）正態(tài)總體的參數(shù)估計

設(shè)總體服從正態(tài)分布，則其點(diǎn)估計和區(qū)間估計可同時由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)

此命令在顯著性水平alpha下估計數(shù)據(jù)X的參數(shù)（alpha缺省時設(shè)定為0.05），返回值muhat是X的均值的點(diǎn)估計值，sigmahat是標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計值,muci是均值的區(qū)間估計,sigmaci是標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計.第63頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（2）其它分布的參數(shù)估計

有兩種處理辦法:a.取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；b.使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計命令.（1）[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點(diǎn)估計及其區(qū)間估計.（2）[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X

的參數(shù)的點(diǎn)估計及其區(qū)間估計.（3）[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X

的參數(shù)的點(diǎn)估計及其區(qū)間估計.返回第64頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五6.假設(shè)檢驗(yàn)

在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).（1）總體方差sigma2已知時，總體均值的檢驗(yàn)使用z-檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中sigma為已知方差，alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.

返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.第65頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

例7Matlab統(tǒng)計工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat.中提供了美國1993年一月份和二月份的汽油平均價格（price1,price2分別是一，二月份的油價，單位為美分），它是容量為20的雙樣本.假設(shè)一月份油價的標(biāo)準(zhǔn)偏差是一加侖四分幣（=4），試檢驗(yàn)一月份油價的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令：

loadgas然后用以下命令檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)返回：h=0，sig=0.8668，ci=[113.3970116.9030].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=0,表示不拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)均值115

是合理的.2.sig-值為0.8668,遠(yuǎn)超過0.5,不能拒絕零假設(shè)

3.95%的置信區(qū)間為[113.4,116.9],它完全包括115,且精度很高..

ToMATLAB（liti7）第66頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（2）總體方差sigma2未知時，總體均值的檢驗(yàn)使用t-檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.

返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.第67頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=[116.8120.2].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)油價均值115是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[116.8120.2],它不包括

115,故不能接受假設(shè).3.sig-值為4.9517e-004,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受零假設(shè).ToMATLAB（liti8）例8試檢驗(yàn)例8中二月份油價Price2的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115，price2為二月份的油價，不知其方差，故用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest(price2,115)第68頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（3）兩總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)使用t-檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x，y的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于y的均值”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于y的均值”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于y的均值”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.

返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為與x與y均值差的的1-alpha置信區(qū)間.第69頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五返回：h=1，sig=0.0083，ci=[-5.8,-0.9].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)“油價均值相同”是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[-5.8,-0.9],說明一月份油價比二月份油價約低1至6分.3.sig-值為0.0083,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受“油價均相同”假設(shè).ToMATLAB（liti9）例9試檢驗(yàn)例8中一月份油價Price1與二月份的油價Price2均值是否相同.解用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest2(price1,price2)第70頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（4）非參數(shù)檢驗(yàn)：總體分布的檢驗(yàn)Matlab工具箱提供了兩個對總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)的命令:（1）h=normplot(x)（2）h=weibplot(x)

此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài).

此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形態(tài).返回第71頁，共77頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例10

一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)故障.故障是完全隨機(jī)的，并假定生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障機(jī)會均相同.工作人員是通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障紀(jì)錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下：

45936262454250958443374881550561245243498264074256570659368092665316448773460842811535938445275525137814743888245388626597758597554969751562895477160940296088561029283747367735863869963455557084416