浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)跨區(qū)招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題

4分，共

40分）1．（4

分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）把

26個英文字母按規(guī)律分成

5組，現(xiàn)在還有

5個字母

D、M、Q、X、Z，請你按原規(guī)律補(bǔ)上，其序次依次為（

）1）F，R，P，J，L，G，（）2）H，I，O，（）3）N，S，（）4）B，C，K，E，（）5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M2．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若，則式子++等于（）A．﹣4x+3B．5C．2x+3D．4x+33．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若不論k取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x=1，則a+b=（）A．B．C．D．4．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若，則m﹣20072=（）A．2007B．2008C．20082D．﹣200825．（4分）（2014?余姚市校級自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整數(shù)解的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．46．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A（﹣2，2），B（3，2），C是坐標(biāo)軸上的一點，若△ABC是直角三角形，則滿足條件的點共有（）A．1個B．2個C．4個D．6個7．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）一個各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6的骰子，連續(xù)扔擲二次，分別出現(xiàn)數(shù)字m、n，獲取一個點P（m，n），則點P既在直線y=﹣x+6上，又在雙曲線上的概率為（）A．B．C．D．8．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象以下列圖，以下結(jié)論：①b＞0，②c＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正確的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個9．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右側(cè)的矩形，設(shè)a=1，則這個正方形的面積為（）A．B．C．D．10．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）二次函數(shù)y=﹣x2+6x﹣7，當(dāng)x取值為t≤x≤t+2時，y最大值=﹣（t﹣3）2）+2，則t的取值范圍是（A．t=0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不對二、填空題（每題6分，共30分）11．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的不等式mx﹣2≤O的負(fù)整數(shù)解只有﹣1，﹣2，則m的取值范圍是．12．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）用三種邊長相等的正多邊形地轉(zhuǎn)鋪地，其極點在一起，恰好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．13．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，點P、Q在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，直角極點A、B均在x軸上，則點B的坐標(biāo)為．14．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若關(guān)于x，y方程組的解為，則方程組的解為．15．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）墻角處有若干大小相同的小正方體堆成以下列圖的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右側(cè)用平行光線照射時，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走個小正方體．三、解答題（共50分）16．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，矩形ABCD紙片，E是AB上的一點，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好與AD邊上的點F重合，求AB、BC的長．17．（8分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，已知ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．18．（13分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）某種電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點離水平川面不得小于6米．1）如圖1，若水平距離間隔80米建筑一個電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的地址離地面最少應(yīng)有多少米的高度？（2）如圖2，若在一個坡度為1：5的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的地址離地面高度為20米的塔柱．①求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的近來距離為多少米？②這種情況下，直接寫出下垂的電纜與地面的近來距離為多少米？19．（13分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，直線AD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x﹣1，與拋物線交于點A（在x軸上）、點D，拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，﹣3），（1）求拋物線的剖析式；（2）P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）若點F是拋物線的極點，點G是直線AD與拋物線對稱軸的交點，在線段AD上可否存在一點P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；（4）點H拋物線上的動點，在x軸上可否存在點Q，使A、D、H、Q這四個點為極點的四邊形是平行四邊形？若是存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；若是不存在，請說明原由．20．（10分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只幸虧第2層至第33層中某一層停一次，關(guān)于每個人來說，他往下走一層樓梯感覺1分不滿意，往上走一層樓梯感覺3分不滿意，現(xiàn)在有32個人在第一層，而且他們分別住在第2至第33層的每﹣層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達(dá)到最?。孔钚≈凳嵌嗌?？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．2013年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)跨區(qū)招生數(shù)學(xué)試卷參照答案與試題剖析一、選擇題（每題4分，共40分）1．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）把26個英文字母按規(guī)律分成5組，現(xiàn)在還有5個字母D、M、Q、X、Z，請你按原規(guī)律補(bǔ)上，其序次依次為（）1）F，R，P，J，L，G，（）2）H，I，O，（）3）N，S，（）4）B，C，K，E，（）5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M【解答】解：（1）不是對稱圖形，5個子母中不是對稱圖形的只有：Q，Z；（2）有兩條對稱軸，而且兩對稱軸互相垂直，則規(guī)律相同的是：X；（3）是中心對稱圖形，則規(guī)律相同的是：Z；（4）是軸對稱圖形，對稱軸是一條水平的直線，滿足規(guī)律的是：D；（5）是軸對稱圖形，對稱軸是豎直的直線，滿足規(guī)律的是：M．故各個空，序次依次為：Q，X，Z，D，M．應(yīng)選D．2．（4

分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）

若

，則式子

+

+等于（

）A．﹣4x+3

B．

5C．2x+3D．4x+3【解答】解：∵

，x﹣1≤0，x﹣3＜0，2x+1≥0，∴++==|x﹣1|+|x﹣3|+|2x+1|=1﹣x+3﹣x+2x+1=5．應(yīng)選B．3．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若不論

k取什么實數(shù)，關(guān)于

x的方程

（a、b

是常數(shù)）的根總是

x=1，則

a+b=（

）A．

B．

C．

D．【解答】解：把

x=1代入得：

﹣

=1，去分母得：4k+2a﹣1+kb﹣6=0，即（b+4）k=7﹣2a，∵不論k取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程﹣=1的根總是x=1，∴

，解得：

a=

，b=﹣4，∴a+b=﹣，應(yīng)選

C．4．（4分）（

2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若

，則

m﹣20072=（

）22A．2007B．2008C．2008D．﹣2008【解答】解：依照二次根式有意義的條件得：m﹣2008≥0，解得：m≥2008，則|2007﹣m|=m﹣2007，原式=m﹣2007+=m，=2007，2m﹣2008=2007，2m﹣2007=2008，應(yīng)選：B．5．（4分）（2014?余姚市校級自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整數(shù)解的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：6xy+4x﹣9y﹣7=3y（2x﹣3）+2（2x﹣3）﹣1，=（2x﹣3）（3y+2）﹣1=0，所以（2x﹣3）（3y+2）=1，由于方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整數(shù)解，所以2x﹣3和3y+2也為整數(shù)，所以2x﹣3=3y+2=1也許2x﹣3=3y+2=﹣1，1=2，y1=﹣（不合題意舍去）x2=1，y2=﹣1所以，方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整數(shù)解為則方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整數(shù)解的個數(shù)為

x=1，y=﹣1；1組，應(yīng)選：

A．6．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中有兩點

A（﹣2，2），B（3，2），C是坐標(biāo)軸上的一點，若△ABC是直角三角形，則滿足條件的點共有（

）A．1個B．2個C．4個D．6個【解答】解：∵A，B的縱坐標(biāo)相等，∴AB∥x軸，AB=3﹣（﹣2）=5．∵C是坐標(biāo)軸上的一點，過點

A向

x軸引垂線，可得一點，過點

B向

x軸引垂線，可得一點，以

AB為直徑作圓可與坐標(biāo)軸交于

4點．∴依照直徑所對的圓周角是

90°，滿足條件的點共有

4個，為

C，D，E，H．加上

A、B共

6個．應(yīng)選

D．7．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）

一個各面分別標(biāo)有數(shù)字

1、2、3、4、5、6

的骰子，連續(xù)扔擲二次，分別出現(xiàn)數(shù)字

m、n，獲取一個點

（Pm，n），則點

P既在直線

y=﹣x+6上，又在雙曲線

上的概率為（

）A．B．C．D．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∵共36種等可能的結(jié)果，點P既在直線y=﹣x+6上，又在雙曲線上的有：（2，4），（4，2），∴點P既在直線y=﹣x+6上，又在雙曲線上的概率為：=．應(yīng)選C．8．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）二次函數(shù)2①b＞0，②cy=ax+bx+c的圖象以下列圖，以下結(jié)論：＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正確的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個【解答】解：∵拋物線張口向下，∴a＜0；又∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，x=﹣＞0，b＞0，所以①正確；∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，c＜0，所以②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，所以③正確；當(dāng)x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，所以④正確；∵對稱軸為直線x=1，而拋物線與x軸的一個交點在點（0，0）與（1，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（1，0）與（2，0）之間，∴當(dāng)x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，所以⑤不正確．應(yīng)選C．9．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右側(cè)的矩形，設(shè)a=1，則這個正方形的面積為（）A．B．C．D．【解答】解：依照圖形和題意可得：a+b）2=b（a+2b），其中a=1，則方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=所以正方形的面積為（1+2，）=應(yīng)選：D．10．（4分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）二次函數(shù)y=﹣x2+6x﹣7，當(dāng)x取值為t≤x≤t+2時，y最大值=﹣（t﹣3）2）+2，則t的取值范圍是（A．t=0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不對22【解答】解：∵y=﹣x+6x﹣7=﹣（x﹣3）+2，2ymax=f（3）=2，與ymax=﹣（t﹣3）+2矛盾．當(dāng)3≥t+2時，即t≤1時，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，與ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．當(dāng)3≤t，即t≥3時，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）2+2與題設(shè)相等，故t的取值范圍t≥3，應(yīng)選C．二、填空題（每題6分，共30分）11．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的不等式mx﹣2≤O的負(fù)整數(shù)解只有﹣1，﹣2，則m的取值范圍是．【解答】解：解不等式mx﹣2≤0移項得：mx≤2只有不等號方向改變，不等式才可能只有兩個負(fù)整數(shù)解﹣1，﹣2．所以m＜0．則不等式的解集是：x≥依照題意得：﹣3＜≤﹣2，且m＜0解得：﹣1≤m＜﹣．12．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）用三種邊長相等的正多邊形地轉(zhuǎn)鋪地，其極點在一起，恰好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．【解答】解：由題意知，這3種多邊形的3個內(nèi)角之和為360度，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，那么這三個多邊形的內(nèi)角和可表示為：++=360，兩邊都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，兩邊都除以2得，++=．故答案為：++=．13．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，點P、Q在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，直角極點A、B均在x軸上，則點B的坐標(biāo)為（1+，0）．【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，∴直線OP：y=x，聯(lián)立y=（x＞0）可得P（2，2）；∴A（2，0），由于直線OP∥AQ，可設(shè)直線AQ：y=x+h，則有：2+h=0，h=﹣2；∴直線AQ：y=x﹣2；聯(lián)立y=（x＞0）可得Q（1+，﹣1），即B（1+，0）．故答案為：（1+，0）．14．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）若關(guān)于x，y方程組的解為，則方程組的解為．【解答】解：由題意得：，∴方程組

可變形為：∴

對吻合條件的

a1，b1，a2，b2都建立．故答案為：

．15．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）墻角處有若干大小相同的小正方體堆成以下列圖的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制）線照射時，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走

，但希望搬完后從正面、從上面、從右側(cè)用平行光27個小正方體．【解答】解：第1列最多可以搬走9個小正方體；第2列最多可以搬走8個小正方體；第3列最多可以搬走3個小正方體；第4列最多可以搬走5個小正方體；第5列最多可以搬走2個小正方體．9+8+3+5+2=27個．故最多可以搬走27個小正方體．故答案為：27．三、解答題（共50分）16．（6分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，矩形ABCD紙片，E是AB上的一點，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好與AD邊上的點F重合，求AB、BC的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）∵F在AD上，∠EFC=90°，∴∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC，（3分）∴．（4分）∵BE：EA=5：3設(shè)BE=5k，AE=3k∴AB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k（5分）在△EBC中，依照勾股定理得222BE+BC=ECCE=15，BE=5k，BC=10k∴k=3（6分）AB=8k=24，BC=10k=30（7分）17．（8

分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，已知

ABCD是圓

O的內(nèi)接四邊形，

AB=BD，BM⊥AC于

M，求證：AM=DC+CM．【解答】證明：在MA∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，

上截取

ME=MC，連接

BE，∴=，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BCE=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，AE=CD，AM=AE+EM=DC+CM．18．（13分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）某種電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點離水平川面不得小于6米．1）如圖1，若水平距離間隔80米建筑一個電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的地址離地面最少應(yīng)有多少米的高度？（2）如圖2，若在一個坡度為米的塔柱．

1：5的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的地址離地面高度為

20①求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的近來距離為多少米？②這種情況下，直接寫出下垂的電纜與地面的近來距離為多少米？2，【解答】解：（1）y=×40=1616+6=22米；固定電纜的地址離地面最少應(yīng)有22米的高度．2）如圖，以點A為原點，建立坐標(biāo)系，∵斜坡的坡度為1：5，CD=50m，∴CE=10m，∴點B的坐標(biāo)為（50，10），設(shè)拋物線的剖析式為y=2x+bx，10=×2500+50b，解得，b=﹣，∴拋物線的剖析式為

y=

x2﹣

x=

（x﹣15）2﹣2.25，∴設(shè)拋物線的極點為M，則

M（15，﹣2.25），作

MF⊥CD，交

DE于點

G，交

CD于點

F，MF=20﹣2.25=17.75m，又∵DF=15m，F(xiàn)G=DF=3m，MG=MF﹣FG=17.75﹣3=14.75m；即下垂的電纜與地面的近來距離為14.75m．19．（13分）（2013?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，直線AD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x﹣1，與拋物線交于點A（在x軸上）、點D，拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，﹣3），（1）求拋物線的剖析式；（2）P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）若點F是拋物線的極點，點G是直線AD與拋物線對稱軸的交點，在線段AD上可否存在一點P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；（4）點H拋物線上的動點，在x軸上可否存在點Q，使A、D、H、Q這四個點為極點的四邊形是平行四邊形？若是存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；若是不存在，請說明原由．【解答】解：（1）令y=0，則﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），設(shè)拋物線剖析式為y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在拋物線上，∴，解得，所以，拋物線剖析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）∵P是線段AD上的一個動點，過

P點作

y軸的平行線交拋物線于

E點，∴設(shè)點P（x，﹣x﹣1），則點E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，2=﹣x+x+2，=﹣（x﹣）2+，聯(lián)立，解得，，所以，點D的坐標(biāo)為（2，﹣3），P是線段AD上的一個動點，∴﹣1＜x＜2，∴當(dāng)x=時，PE有最大值，最大值為；3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴點F的坐標(biāo)為（1，﹣4），點G的橫坐標(biāo)為1，y=﹣1﹣1=﹣2，∴點G的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，∵四邊形GFEP為平行四邊形，PE=GF，∴﹣x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去），此時，y=﹣1，∴點P的坐標(biāo)為（0，﹣1），故，存在點P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；（4）存在．原由以下：①當(dāng)點H在x軸下方時，∵點Q在x軸上，∴HD∥AQ，∴點H的縱坐標(biāo)與點D相同，是﹣3，2此時，x﹣2x﹣3=﹣3，整理得，x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2（舍去），HD=2﹣0=2，∵點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，∴點Q的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（1，0）；②當(dāng)點H在x軸上方時，依照平行四邊形的對稱性