湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)院09（7）余（1）對(duì)任何a,bN，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，ba.（2））對(duì)任何a,bN，在ab，ab，ab中有且只有一個(gè)成立.（1）“”ab，則B,B,使A~B,，BB,~A,ba“”ba，則B,B,使B,~A，A~B,B,ab綜上對(duì)任何a,bN，abba（2）由（1）abbaab與ab不可能同時(shí)成立，假設(shè)ab與ab同時(shí)成立，則B,B,使A~B,且A~B，B~B,與B為有限集矛盾，ab與ab不可能同時(shí)成立，綜上，對(duì)任何a,bN，在ab，ab，ab中有且只有一個(gè)成立..證明：對(duì)任何a,bN設(shè)M為使等式abba成立的所有b組成的集合先證a11a，設(shè)滿(mǎn)足此式的a組成集合k，顯然有1+1=1+1成立1k，設(shè)ak，a11a，則a1(a)(a1)(1a)1aak，kN，取定a，則1M，設(shè)bM,abba，則ab(ab)(ba)ba bM,MN對(duì)任何a,bN，abba證明：唯一性：取定a，反證：假設(shè)至少有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,g，對(duì)bN，有f(b),g(b)N，設(shè)M是由使f(b)g(b)成立的所有的b組成的集合，f(b)g(b)a11M 設(shè)bN則f(b)g(b)f(b)ag(b)af(b)g(b)，bM，MN即bN，f(b)g(b) 當(dāng)a1時(shí)，bN，111,1bbb11b1 1k，設(shè)aK，bN，有a,b與它對(duì)應(yīng)，且1aa，ababa，對(duì)bN，令ababba1a11a1aababbabab1(abb)(a1)abaaK KN 12345678ABab，BAbaabABab 3134 3231(31)453332(32)563433(33)672）3412313 3231313633323239343333312p24—12、證明：1）(mn)mn(mn)mn1(m1)nmn2）(mn)nmm(mn)mn1mn(m1)nmm f(1,n)n1 f(m1,1)f(m,2)f(m1,n1)f(m,f(m1,n))求證：1）f(2,n)n22）f(3,n)2n23）f(4,n)2n12證明：1)當(dāng)n1時(shí)，f(2,1)f(11,1)f(1,2)2112結(jié)論成立，假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(2,k)k2，f(2,k1)f(11,k1)f(1,f(2,k))f(1,k2)(k2)1(k1)22）當(dāng)n1時(shí)，f(3,n)f(21,n)f(2,2)22212結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(3,k)2k2f(3,k1)f(21,k1)f(2,f(3,k))f(2,2k2)2k222(k1)23）當(dāng)n1時(shí)，f(4,1)f(31,1)f(3,2)2222112結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(4,k)2k1

2f(4,k1)f(3,f(4,k))f(3,2k12)2(2k12)22k22[a,b],[c,d],[e,f]Z，證明：“”已知[a,b][c,d]則adbc“”已知[a,b][c,d][1,1]則[ad,bc][1,1]，adbcp62—4、已知a,bN，求證([a,b])[a,b]證明：[a,b][b,a] ([a,b])[b,a][a,b]p62—7、已知a,b,cN，求證當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)[a,b][c,d]證明：“”已知adbc，[a,b][c,d][ad,bc]因?yàn)閍dbc “”已知[a,b][c,d]則[a,b][c,d][ad,bc]因?yàn)閇ad,bc]是負(fù)數(shù)，adbc((k1,2,...,n)，必存在一個(gè)bj(j1,2,...,n)使得ap62—9、已知,Z，求證：1）證明：設(shè)[a,b],[c,d]

，2）1）[ac,bd](ac)(bd)而ab,cd(ac)(bd)(ab)(cd)abcd2）[acbd,adbc] acbd(adbc)而ab,cdacbd(adbc)a(cd)b(dc)(ab)(cd)abcdp63—12、n名棋手每?jī)蓚€(gè)比賽一次，沒(méi)有平局，若第k名勝負(fù)的次數(shù)各為a

,bk1,2,........,n，求證：a2a21

...a2

b2b21 證明：對(duì)于a b a2

b2

(k,j1,2,...,n)

a2

a2

...a2

b2

b2證明：由已知：s,tZ使10abps，10cdptb10aps,d10cptadbc10acapt(10accps)p(csat)padbcp63—17、設(shè)2不整除a，求證8a21證明：因?yàn)?不整除a，所以存在唯一一對(duì)q,rZ，使a2qr，其中0r2r1，a24q24q1a214q(q1) 8a21證明：因?yàn)椋鹤C明：因?yàn)椋?（a1,a2,......a（a1,a2,......ap63—20、設(shè)aZ，求證a(a1)(a2)(a3)1是奇數(shù)的平方a(a1)(a2)(a3)1[(a1)1](a1)[(a2)(a2)1]1[(a1)2(a1)][(a2)2(a2)]1(a1)2(a2)22(a1)(a2)1[(a1)(a2)1]2a1,a2肯定一奇一偶(a1)(a2)肯定為偶數(shù)(a1)(a2)1肯定為奇數(shù)2

(1n)n2而（1+n）-n=1個(gè)位數(shù)碼不能為247也不可能成立，若個(gè)位數(shù)碼為9

,）=（a

,a

,......a

n,）是a1,a2,......an的公因數(shù)中的最大數(shù)

,）=（a

,a

,......a

證明：因?yàn)?a,b)1 “”由定理4 x,yZ使axby(a,b)1“”設(shè)(a,b)d則da,db，daxby d1d(a,b)1證明：若a,b都為0，則(0,0)m(0,0)顯然成立000

(a,b)max'mby'(ma,mb)而max'mby'm(ax'by')因?yàn)閤,yZ，ax

axbyax

ax'by'm(ax

by0)max'mby'm(a,b)max'mby'm(a,b)(ma,mb)而(ma,mb)amx

(ma,mb)m(a,b)推論：設(shè)d是a,b的公因數(shù)，則(a/d,b/d)1的充要條件是d(a,b)證明：“”d是a,b的公因數(shù)dN dd(a/d,b/d)(a,b)“”因?yàn)閐(a,b) x,yZ，使axbyd x,yZ，使(a/d)x(b/d)y1(a/d,b/d)1定理七：若(a,c)1，bZ，b,c中至少有一個(gè)不為0，則(ab,c)(b,c) x,yZ使abxcy(ab,c)因?yàn)?a,c)1 (ab,c)b,(ab,c)c 因?yàn)?b,c)(ab,c)(ab,c)(b,c)推論：若(a,c)1，(b,c)1，則(ab,c)1證明：因?yàn)?b,c)1，b,c不為零(ab,c)(b,c)1p64—33、已知n是奇數(shù)，nab,nab，求證n(a,b)證明：因?yàn)閚ab,nab n(ab)(ab),n(ab)(ab)n2a,n2bn2(a,b)，因?yàn)閚是奇數(shù)，n(a,b)p64—36、已知(a,b)d,(a',b')d'，求證(aa',ab',a'b,bb')dd證明：(aa',ab')a(a',b')ad',(a'b,bb')bd'(aa',ab',a'b,bb')(ad',bd')dd'

p64—40、已知aN，求證a,2a,......na中n的倍數(shù)的個(gè)數(shù)等于(n,a)dada1,2da1,......nda1因?yàn)閐1所以其中一定包括na1,2na1,......(d1)na1,dnap64p64—44、已知整數(shù)a,n都大于1，a1是素?cái)?shù)，求證a2且n是素?cái)?shù)p66p66—69、已知p是奇素?cái)?shù)，求證1）123...(p1)0(modp)證明：當(dāng)(n,a)1時(shí)，nna結(jié)論成立，當(dāng)(n,a)d時(shí)，d1，令ada1，(n,a1)1，則a,2a,......na可改寫(xiě)為1都是n的倍數(shù)，共有d個(gè)p64—42、已知p是異于3的奇素?cái)?shù)，求證24p21證明：p是異于3的奇素?cái)?shù)，p21為偶數(shù)，p3p219p21(p1)(p1)其中p1,p1都為合數(shù)，且都大于3p1,p1都可被2、3中的一個(gè)整除，若2p1，則由p1(p1)22p1，因?yàn)閜13,p13 24p21證明：反證n不是素?cái)?shù)當(dāng)a2時(shí)an1不是素?cái)?shù)與已知矛盾，所以n是素?cái)?shù)1

(a,c)(b,c)

ab(a,b)

,c)([a,b],c)p p 2）12p13p1...(p1)p11(modp)證明：1）因?yàn)?1,p)1,(2,p)1,...,(p1,p)11p1(modp)，2p2(modp)，3p3(modp)…(p1)pp1(modp)12p3p...(p1)p(123...(p1))(modp)

p(p1)

p(p1)證明：設(shè)證明：設(shè)a的標(biāo)準(zhǔn)分解式為ap12p3p...(p1)p0(modp)2）1p11(modp)，2p11(modp)，3p11(modp)…(p1)p11(modp)12p13p1...(p1)p11(modp)證明：pq10(modp)，qp11(modp)，pq1qp11(modp)同理pq1qp11(modq)pq1qp11(mod[p,q])即pq1qp11(modpq)p66—72、已知p是素?cái)?shù)，N，求證(1)(p)(p2)...(p)p證明：因?yàn)閜是素?cái)?shù)，所以(pk)pkpk1,kN(p)p1,(p2)p2p,....,(p)pp1因?yàn)?1)1 (1)(p)(p