信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)課程目錄

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析2022/12/172課程目錄課程第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析6.1引言6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)6.6離散傅里葉變換（DFT）6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)6.8用離散傅里葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)6.9離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析6.10應(yīng)用實(shí)例—電力系統(tǒng)諧波分析習(xí)題第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6.1引言第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6.1引言2022/12/175離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析，基本內(nèi)容包括：周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）離散傅立葉變換（DFT）用離散傅立葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用實(shí)例6.1引言2022/12/165離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）2022/12/176線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的重要任務(wù)之一，就是要求取系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，為此，需要將任意信號(hào)表示成基本信號(hào)的線性組合。線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)一般都是非常簡(jiǎn)單的，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，表示成基本信號(hào)的線性組合后的任意信號(hào)的響應(yīng)，也就非常容易得到。時(shí)域分析法中，選用的基本信號(hào)是單位沖激信號(hào)，在頻域分析法中，將選用虛指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)，也就是要將任意信號(hào)表示成虛指數(shù)信號(hào)的線性組合。這就是傅里葉表示。6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）2022/12022/12/177對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)x(n)，如果滿足：x(n)=x(n+rN)，r為整數(shù)（6-1）則稱x(n)為周期信號(hào)，且其周期為N（N為正整數(shù)）。虛指數(shù)序列

是一個(gè)周期為N的周期序列。將所有周期為N的虛指數(shù)序列組合起來(lái)，可以構(gòu)成一個(gè)信號(hào)集：，（6-3）在中，由于虛指數(shù)序列的周期性而只有N個(gè)獨(dú)立信號(hào)，因此，可以用信號(hào)集中的N個(gè)獨(dú)立的虛指數(shù)序列的線性組合來(lái)表示一個(gè)任一的周期序列，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)表示。6.2.1DFS變換式2022/12/167對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)x(n)，如果滿足：62022/12/178(6-4)求取DFS的系數(shù):

對(duì)（6-4）式兩邊同乘，并在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n求和：可以證明：故：

（6-7）（6-7）式為DFS正變換式，（6-4）式為DFS反變換式。6.2.1DFS變換式2022/12/1686.2.1DFS變換式2022/12/179例6-3：

求周期序列，

（a為小于1的常數(shù)）的傅里葉級(jí)數(shù)分解。解：由式（6-7）有6.2.1DFS變換式2022/12/169例6-3：2022/12/1710是以N為周期的DFS的系數(shù)

的這一特性與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜有著根本的不同。k從0到N-1的取值部分，稱為主值周期。

離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的周期性表明，離散時(shí)間周期信號(hào)可以而且只能分解為有限個(gè)虛指數(shù)序列的線性組合，因此其不存在收斂性問(wèn)題。

由于k只能取整數(shù)，因此，周期序列的頻譜具有離散性。(2)(3)6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

2022/12/1610是以N為周期的(2022/12/1711

通常，DFS的頻譜系數(shù)是一個(gè)關(guān)于k的復(fù)函數(shù)，當(dāng)xN(n)為實(shí)周期序列信號(hào)時(shí)，由（6-7）式易得：說(shuō)明，

的實(shí)部是k的偶函數(shù)，其虛部是k的奇函數(shù)。說(shuō)明，

的模是k的偶函數(shù)，其幅角是k的奇函數(shù)。6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

2022/12/1611通常，DFS的頻譜系數(shù)2022/12/1712設(shè)周期矩形序列：如圖6-1所示6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/1612設(shè)周期矩形序列：6.2.3周期矩6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/17131：

時(shí)：6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16131：2022/12/17142：時(shí)：即周期矩形序列的頻譜為：6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16142：2022/12/1715n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;Xk=x*WN.^nk/N;%計(jì)算DFS系數(shù)X(k)

subplot(2,1,2);stem(k,Xk,'b');%繪制X(k)圖xlabel('k');title('X(k):N=20,N1=2');gridon;holdon;plot(k,Xk,'r');%繪制X(k)包絡(luò)圖holdoff;6.2.3周期矩形序列的頻譜例%Matlab代碼：周期矩形序列頻譜

N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=[f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0];%產(chǎn)生x(n)

subplot(2,1,1);stem(n,x);%繪制x(n)圖xlabel('n');title('周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2)');axis([-4040-0.01.1]);2022/12/1615n=-2*N+(N1+1)/2:12022/12/17166.2.3周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在，我們來(lái)考查

xN(n)的參數(shù)對(duì)其頻譜的影響。首先，固定半脈寬=2不變，改變周期N。分別取N=10、20、40，可分別得其頻譜圖如圖6-2所示：2022/12/16166.2.3周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在2022/12/17176.2.3周期矩形序列的頻譜

由圖6-2可見(jiàn)，由于

不變，頻譜的正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)也不變，都等于

個(gè)。而隨著周期N的增大，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量增多，譜線的間隔減小，且譜線的幅度也減小。

可以預(yù)見(jiàn)，當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將變?yōu)榉侵芷谛蛄?，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量無(wú)窮增多，譜線的間隔無(wú)窮減小，離散頻譜將變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也無(wú)窮減小。再看，固定xN(n)的周期N=40不變，改變半脈寬，分別取N1

=2、3、4，可分別得其頻譜圖如圖6-3所示：2022/12/16176.2.3周期矩形序列的頻譜6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/1718

由圖6-3可見(jiàn)，由于周期N不變，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量不變，也即譜線間隔不變，而隨著半脈寬

N1的增大，正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)增加，也即頻譜包絡(luò)的主瓣寬度變窄，說(shuō)明信號(hào)的有效帶寬變窄，且幅值增大。6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16182022/12/1719

在6.2.3節(jié)討論周期矩形脈沖序列的頻譜中已經(jīng)看到，當(dāng)脈沖寬度不變而增大周期時(shí)，其譜線間隔及其幅值都隨之減小，但頻譜的包絡(luò)形狀仍保持不變。

當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?，其譜線將變得無(wú)限密集，離散頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也趨于無(wú)窮小量。

因而還用離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示其頻譜顯然是不合適的。為此，需要建立非周期序列的傅里葉表示，此即離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）。6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換2022/12/1619在6.2.3節(jié)討論周期矩形2022/12/1720設(shè)

是周期為N的周期序列，當(dāng)其周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?/p>

，有：根據(jù)DFS的定義式有：即：?。河校嚎傻茫?/p>

（6-18）即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉正變換式。6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2022/12/1620設(shè)是周期為N的周期序2022/12/17216.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換

由有：可見(jiàn)：

表示的是單位頻帶內(nèi)的幅值，是頻譜密度函數(shù)。又：可見(jiàn)：是以Ω為變量的周期為

的連續(xù)周期函數(shù)。通常把區(qū)間

稱為Ω的主值區(qū)間。且有：非周期序列的頻譜具有連續(xù)性的特性。比較（6-7）與（6-18）式可見(jiàn)：

（6-20）即：周期序列離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

就是與其對(duì)應(yīng)的非周期序列離散時(shí)間傅里葉變換

在

點(diǎn)

處的抽樣值。幅值頻譜和相位頻譜。2022/12/16216.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換6.3.2離散時(shí)間傅立葉反變換2022/12/1722由DFS反變換式有：利用（6-20）式有：取有：

即：

（6-21）

即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉

反變換公式。連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)、連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)、離散時(shí)間周期信號(hào)、離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉表示式，在時(shí)域和頻域上，均具有周期性和離散性、非周期性和連續(xù)性的對(duì)于關(guān)系，規(guī)律如下：

時(shí)域周期

頻域離散

時(shí)域非周期

頻域連續(xù)

時(shí)域連續(xù)

頻域非周期

時(shí)域離散

頻域周期6.3.2離散時(shí)間傅立葉反變換2022/12/1622由6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1723（1）矩形脈沖序列矩形脈沖序列為：由定義式有：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12022/12/1724%Matlab代碼：矩形脈沖序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.^n;%產(chǎn)生x(n)dt=2*pi*0.001;w=-4*pi:dt:4*pi;X=x*exp(-j*n'*w);%計(jì)算DTFT[x(n)]6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換subplot(2,1,1),stem(n,x,'.');%繪制x(n)axis([-10,10,-0.3,1.3]);title('x(n)');xlabel('n');subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid;%繪制X(jΩ)title('X(jΩ)');xlabel('Ω/pi');2022/12/1624%Matlab代碼：矩形脈沖序列的D2022/12/1725（2）單邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換單邊指數(shù)序列為：2022/12/1625（2）單邊指數(shù)序列6.3.3典2022/12/1726（3）雙邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換雙邊指數(shù)序列為：此信號(hào)為n的奇函數(shù)，由定義式有：2022/12/1626（3）雙邊指數(shù)序列6.3.3典型2022/12/1727（4）單位樣值序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1627（4）單位樣值序列6.3.3典2022/12/17286.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（5）常數(shù)序列2022/12/16286.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)2022/12/1729（6）符號(hào)函數(shù)序列可視為雙邊指數(shù)序列當(dāng)a趨于1時(shí)的極限。故：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1629（6）符號(hào)函數(shù)序列可視為雙邊指數(shù)序6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（7）單位階躍序列由于：有：2022/12/17306.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（7）單位2022/12/1731由非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換定義式可知，由于任一離散時(shí)間周期信號(hào)均不滿足絕對(duì)可和條件，因而無(wú)法求得其離散時(shí)間傅里葉變換。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)離散時(shí)間周期序列，將其表示成離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即式（6-4）式中，

為周期序列的離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，由式（6-7）有2022/12/1631由非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換定義6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1732由：考慮連續(xù)域里：在離散域情況下，時(shí)域的離散化導(dǎo)致頻域的周期化，周期為2π，因此，可以期望，離散域虛指數(shù)序列的傅里葉變換應(yīng)該是在處的沖擊。這里，我們把

視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，同樣把也視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，欲求周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換，可對(duì)式（6-4）的級(jí)數(shù)展開(kāi)式兩邊取離散時(shí)間傅里葉變換，這要遇到求虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換的問(wèn)題。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1632022/12/17336.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換即：（6-36）

其序列及其頻譜圖如圖6-11所示。為了驗(yàn)證（6-36）式的正確性，對(duì)其求反變換：2022/12/16336.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變2022/12/17346.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換（6-38）2022/12/16346.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1735利用（6-38）式，可對(duì)（6-4）式求離散時(shí)間傅里葉變換：對(duì)右邊，將l的求和打開(kāi)看，當(dāng)l=0時(shí)：當(dāng)l=1時(shí)：6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1636.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1736同理可得6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1636.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1737（6-40）故：這就是周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換式。（6-40）式表明：周期序列

的離散時(shí)間傅里葉變換是由一系列沖激組成，各個(gè)沖激僅出現(xiàn)在基波頻率的各次諧波頻率點(diǎn)上，位于處的沖激強(qiáng)度為由于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

是以N為周期的，所以，也是一個(gè)周期等于N的周期函數(shù)。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1632022/12/17386.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換（6-41）式（6-40）與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換式完全對(duì)應(yīng)，其含義也相同?？疾熘芷谛蛄械碾x散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)與單周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系，可知既可以用DFS的定義式求取，又可以由DTFT變換式求取，比較式（6-7）與式（6-18）可得：2022/12/16386.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變2022/12/1739

離散時(shí)間傅里葉變換同樣有類似于連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的眾多的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能深刻揭示變換的本質(zhì)，而且對(duì)于求取信號(hào)的正反變換具有重要的作用。

離散時(shí)間傅里葉變換的許多性質(zhì)與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換既基本相同，又存在明顯的差異，因此，要特別注意它們的相似之處和不同之處。6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)

離散時(shí)間信號(hào)x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換

對(duì)Ω來(lái)說(shuō)是周期性的，且周期為2π，即：

這一點(diǎn)與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換有著本質(zhì)的區(qū)別。6.5.1周期性6.5.2線性若：則：（6-43）2022/12/1639離散時(shí)間傅里葉變換同樣有類6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/17406.5.3奇偶性設(shè)x(n)為實(shí)序列，由DTFT的定義式（6-18）有：x(n)的共軛的DTFT為：由于x(n)為實(shí)序列，故有：

（6-44）將（6-43）式兩邊寫(xiě)成實(shí)部與虛部的形式，有：即：實(shí)部是Ω的偶函數(shù)，虛部是Ω的奇函數(shù)。同理：幅度頻譜是Ω的偶函數(shù)，相位頻譜是Ω的奇函數(shù)。6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/164066.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1741式（6-47）說(shuō)明，序列時(shí)移后，其幅度頻譜保持不變，僅相位頻譜附加了一個(gè)線性相移。（6-47）6.5.5頻移特性式（6-48）說(shuō)明，序列的頻移對(duì)應(yīng)于時(shí)域的調(diào)制。（6-48）6.5.4時(shí)移特性6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1641式6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1742若：則：式（6-50）表明，序列的時(shí)域卷積，對(duì)應(yīng)于序列頻域的乘積。在求取線性移不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可將時(shí)域卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻域的乘積運(yùn)算來(lái)求解。（6-50）6.5.6時(shí)域卷積特性

進(jìn)一步利用歐拉公式和傅里葉變換的線性特性，可方便得到

、

的離散時(shí)間傅里葉變換。

利用這一性質(zhì)，可以很方便地求取虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換。（6-36）6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1642若6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1743若：則：由DTFT定義式有：上式右端正好為

與的卷積，由于它們都是以2π為周期的周期函數(shù)，卷積的積分區(qū)間是在一個(gè)2π區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，其卷積的結(jié)果亦是以2π為周期的周期函數(shù)，故稱此卷積為周期卷積，記為：（6-51）式（6-51）表明，序列的頻域卷積，對(duì)應(yīng)于序列時(shí)域的乘積。式（6-51）的一個(gè)重要應(yīng)用是序列的時(shí)域截短（或加窗），在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)方面具有重要應(yīng)用。6.5.7頻域卷積特性6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1643若6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1744若：則：由DTFT定義式有：（6-55）式（6-55）表明，序列在時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。6.5.10帕塞瓦爾能量定理6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2022/12/1644若2022/12/17456-1；6-3.1/3；6-4.1/3/6；6-6；6-7；6-8.1/3/5；6-9.1/3/5；6-12；6-15；習(xí)題2022/12/16456-1；習(xí)題信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)課程目錄

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析2022/12/1747課程目錄課程第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析6.1引言6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)6.6離散傅里葉變換（DFT）6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)6.8用離散傅里葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)6.9離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析6.10應(yīng)用實(shí)例—電力系統(tǒng)諧波分析習(xí)題第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6.1引言第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6.1引言2022/12/1750離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析，基本內(nèi)容包括：周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）離散傅立葉變換（DFT）用離散傅立葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用實(shí)例6.1引言2022/12/165離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）2022/12/1751線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的重要任務(wù)之一，就是要求取系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，為此，需要將任意信號(hào)表示成基本信號(hào)的線性組合。線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)一般都是非常簡(jiǎn)單的，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，表示成基本信號(hào)的線性組合后的任意信號(hào)的響應(yīng)，也就非常容易得到。時(shí)域分析法中，選用的基本信號(hào)是單位沖激信號(hào)，在頻域分析法中，將選用虛指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)，也就是要將任意信號(hào)表示成虛指數(shù)信號(hào)的線性組合。這就是傅里葉表示。6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）2022/12022/12/1752對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)x(n)，如果滿足：x(n)=x(n+rN)，r為整數(shù)（6-1）則稱x(n)為周期信號(hào)，且其周期為N（N為正整數(shù)）。虛指數(shù)序列

是一個(gè)周期為N的周期序列。將所有周期為N的虛指數(shù)序列組合起來(lái)，可以構(gòu)成一個(gè)信號(hào)集：，（6-3）在中，由于虛指數(shù)序列的周期性而只有N個(gè)獨(dú)立信號(hào)，因此，可以用信號(hào)集中的N個(gè)獨(dú)立的虛指數(shù)序列的線性組合來(lái)表示一個(gè)任一的周期序列，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)表示。6.2.1DFS變換式2022/12/167對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)x(n)，如果滿足：62022/12/1753(6-4)求取DFS的系數(shù):

對(duì)（6-4）式兩邊同乘，并在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n求和：可以證明：故：

（6-7）（6-7）式為DFS正變換式，（6-4）式為DFS反變換式。6.2.1DFS變換式2022/12/1686.2.1DFS變換式2022/12/1754例6-3：

求周期序列，

（a為小于1的常數(shù)）的傅里葉級(jí)數(shù)分解。解：由式（6-7）有6.2.1DFS變換式2022/12/169例6-3：2022/12/1755是以N為周期的DFS的系數(shù)

的這一特性與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜有著根本的不同。k從0到N-1的取值部分，稱為主值周期。

離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的周期性表明，離散時(shí)間周期信號(hào)可以而且只能分解為有限個(gè)虛指數(shù)序列的線性組合，因此其不存在收斂性問(wèn)題。

由于k只能取整數(shù)，因此，周期序列的頻譜具有離散性。(2)(3)6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

2022/12/1610是以N為周期的(2022/12/1756

通常，DFS的頻譜系數(shù)是一個(gè)關(guān)于k的復(fù)函數(shù)，當(dāng)xN(n)為實(shí)周期序列信號(hào)時(shí)，由（6-7）式易得：說(shuō)明，

的實(shí)部是k的偶函數(shù)，其虛部是k的奇函數(shù)。說(shuō)明，

的模是k的偶函數(shù)，其幅角是k的奇函數(shù)。6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

2022/12/1611通常，DFS的頻譜系數(shù)2022/12/1757設(shè)周期矩形序列：如圖6-1所示6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/1612設(shè)周期矩形序列：6.2.3周期矩6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/17581：

時(shí)：6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16131：2022/12/17592：時(shí)：即周期矩形序列的頻譜為：6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16142：2022/12/1760n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;Xk=x*WN.^nk/N;%計(jì)算DFS系數(shù)X(k)

subplot(2,1,2);stem(k,Xk,'b');%繪制X(k)圖xlabel('k');title('X(k):N=20,N1=2');gridon;holdon;plot(k,Xk,'r');%繪制X(k)包絡(luò)圖holdoff;6.2.3周期矩形序列的頻譜例%Matlab代碼：周期矩形序列頻譜

N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=[f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0];%產(chǎn)生x(n)

subplot(2,1,1);stem(n,x);%繪制x(n)圖xlabel('n');title('周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2)');axis([-4040-0.01.1]);2022/12/1615n=-2*N+(N1+1)/2:12022/12/17616.2.3周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在，我們來(lái)考查

xN(n)的參數(shù)對(duì)其頻譜的影響。首先，固定半脈寬=2不變，改變周期N。分別取N=10、20、40，可分別得其頻譜圖如圖6-2所示：2022/12/16166.2.3周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在2022/12/17626.2.3周期矩形序列的頻譜

由圖6-2可見(jiàn)，由于

不變，頻譜的正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)也不變，都等于

個(gè)。而隨著周期N的增大，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量增多，譜線的間隔減小，且譜線的幅度也減小。

可以預(yù)見(jiàn)，當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將變?yōu)榉侵芷谛蛄?，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量無(wú)窮增多，譜線的間隔無(wú)窮減小，離散頻譜將變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也無(wú)窮減小。再看，固定xN(n)的周期N=40不變，改變半脈寬，分別取N1

=2、3、4，可分別得其頻譜圖如圖6-3所示：2022/12/16176.2.3周期矩形序列的頻譜6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/1763

由圖6-3可見(jiàn)，由于周期N不變，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量不變，也即譜線間隔不變，而隨著半脈寬

N1的增大，正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)增加，也即頻譜包絡(luò)的主瓣寬度變窄，說(shuō)明信號(hào)的有效帶寬變窄，且幅值增大。6.2.3周期矩形序列的頻譜2022/12/16182022/12/1764

在6.2.3節(jié)討論周期矩形脈沖序列的頻譜中已經(jīng)看到，當(dāng)脈沖寬度不變而增大周期時(shí)，其譜線間隔及其幅值都隨之減小，但頻譜的包絡(luò)形狀仍保持不變。

當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?，其譜線將變得無(wú)限密集，離散頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也趨于無(wú)窮小量。

因而還用離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示其頻譜顯然是不合適的。為此，需要建立非周期序列的傅里葉表示，此即離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）。6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換2022/12/1619在6.2.3節(jié)討論周期矩形2022/12/1765設(shè)

是周期為N的周期序列，當(dāng)其周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?/p>

，有：根據(jù)DFS的定義式有：即：?。河校嚎傻茫?/p>

（6-18）即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉正變換式。6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2022/12/1620設(shè)是周期為N的周期序2022/12/17666.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換

由有：可見(jiàn)：

表示的是單位頻帶內(nèi)的幅值，是頻譜密度函數(shù)。又：可見(jiàn)：是以Ω為變量的周期為

的連續(xù)周期函數(shù)。通常把區(qū)間

稱為Ω的主值區(qū)間。且有：非周期序列的頻譜具有連續(xù)性的特性。比較（6-7）與（6-18）式可見(jiàn)：

（6-20）即：周期序列離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

就是與其對(duì)應(yīng)的非周期序列離散時(shí)間傅里葉變換

在

點(diǎn)

處的抽樣值。幅值頻譜和相位頻譜。2022/12/16216.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換6.3.2離散時(shí)間傅立葉反變換2022/12/1767由DFS反變換式有：利用（6-20）式有：取有：

即：

（6-21）

即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉

反變換公式。連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)、連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)、離散時(shí)間周期信號(hào)、離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉表示式，在時(shí)域和頻域上，均具有周期性和離散性、非周期性和連續(xù)性的對(duì)于關(guān)系，規(guī)律如下：

時(shí)域周期

頻域離散

時(shí)域非周期

頻域連續(xù)

時(shí)域連續(xù)

頻域非周期

時(shí)域離散

頻域周期6.3.2離散時(shí)間傅立葉反變換2022/12/1622由6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1768（1）矩形脈沖序列矩形脈沖序列為：由定義式有：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12022/12/1769%Matlab代碼：矩形脈沖序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.^n;%產(chǎn)生x(n)dt=2*pi*0.001;w=-4*pi:dt:4*pi;X=x*exp(-j*n'*w);%計(jì)算DTFT[x(n)]6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換subplot(2,1,1),stem(n,x,'.');%繪制x(n)axis([-10,10,-0.3,1.3]);title('x(n)');xlabel('n');subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid;%繪制X(jΩ)title('X(jΩ)');xlabel('Ω/pi');2022/12/1624%Matlab代碼：矩形脈沖序列的D2022/12/1770（2）單邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換單邊指數(shù)序列為：2022/12/1625（2）單邊指數(shù)序列6.3.3典2022/12/1771（3）雙邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換雙邊指數(shù)序列為：此信號(hào)為n的奇函數(shù)，由定義式有：2022/12/1626（3）雙邊指數(shù)序列6.3.3典型2022/12/1772（4）單位樣值序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1627（4）單位樣值序列6.3.3典2022/12/17736.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（5）常數(shù)序列2022/12/16286.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)2022/12/1774（6）符號(hào)函數(shù)序列可視為雙邊指數(shù)序列當(dāng)a趨于1時(shí)的極限。故：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1629（6）符號(hào)函數(shù)序列可視為雙邊指數(shù)序6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（7）單位階躍序列由于：有：2022/12/17756.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（7）單位2022/12/1776由非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換定義式可知，由于任一離散時(shí)間周期信號(hào)均不滿足絕對(duì)可和條件，因而無(wú)法求得其離散時(shí)間傅里葉變換。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)離散時(shí)間周期序列，將其表示成離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即式（6-4）式中，

為周期序列的離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，由式（6-7）有2022/12/1631由非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換定義6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1777由：考慮連續(xù)域里：在離散域情況下，時(shí)域的離散化導(dǎo)致頻域的周期化，周期為2π，因此，可以期望，離散域虛指數(shù)序列的傅里葉變換應(yīng)該是在處的沖擊。這里，我們把

視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，同樣把也視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，欲求周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換，可對(duì)式（6-4）的級(jí)數(shù)展開(kāi)式兩邊取離散時(shí)間傅里葉變換，這要遇到求虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換的問(wèn)題。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1632022/12/17786.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換即：（6-36）

其序列及其頻譜圖如圖6-11所示。為了驗(yàn)證（6-36）式的正確性，對(duì)其求反變換：2022/12/16336.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變2022/12/17796.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換（6-38）2022/12/16346.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1780利用（6-38）式，可對(duì)（6-4）式求離散時(shí)間傅里葉變換：對(duì)右邊，將l的求和打開(kāi)看，當(dāng)l=0時(shí)：當(dāng)l=1時(shí)：6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1636.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1781同理可得6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1636.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2022/12/1782（6-40）故：這就是周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換式。（6-40）式表明：周期序列

的離散時(shí)間傅里葉變換是由一系列沖激組成，各個(gè)沖激僅出現(xiàn)在基波頻率的各次諧波頻率點(diǎn)上，位于處的沖激強(qiáng)度為由于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

是以N為周期的