不等式的證明(一）不等式的證明(一）

教學目標（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；（2）把握用比較法、綜合法和分析法來證簡潔的不等式；（3）能敏捷依據(jù)題目選擇適當?shù)刈C明方法來證不等式；（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培育同學分析問題、解決問題的力量；（6）通過不等式證明，培育同學規(guī)律推理論證的力量和抽象思維力量；（7）通過組織同學對不等式證明方法的意義和應用的參加，培育同學勤于思索、擅長思索的良好學習習慣.教學建議（一）教材分析1.學問結構2.重點、難點分析重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；②綜合性問題選擇適當?shù)淖C明方法.（1）不等式證明的意義不等式的證明是要證明對于滿意條件的全部數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入詳細的數(shù)值去驗證式子是否成立.（2）比較法證明不等式的分析①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.由于，因此，證明，可轉化為證明與之等價的.這種證法就是求差比較法.由于當時，，因此，證明可以轉化為證明與之等價的.這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式時，肯定要留意的前提條件.③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.其中，作差是依據(jù)，變形是手段，推斷符號才是目的.變形的目的全在于推斷差的符號，而不必考慮差值是多少.變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等.總之.能夠推斷出差的符號是正或負即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——推斷商式與1的大小關系”，需要留意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.（3）綜合法證明不等式的分析①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式動身，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.③綜合法證明不等式的規(guī)律關系是：….（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）

④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.（4）分析法證明不等式的分析①從求證的不等式動身，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，留意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的依據(jù).②分析法的思路是“執(zhí)果導因”：從求證的不等式動身，探究使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.③用分析法證明不等式的規(guī)律關系是：….（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）

④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出訪結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特殊對于條件簡潔而結論復雜的題目往往更是行之有效.（5）關于分析法與綜合法①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思索方法.②在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題動身，一步一步地探究下去，最終達到題設的已知條件.即推理方向是：結論已知.綜合法則是從數(shù)學題的已知條件動身，經過逐步的規(guī)律推理，最終達到待證結論或需求問題.即：已知結論.③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要查找結論的充分條件.綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要查找已知的必要條件.④各有其優(yōu)缺點：從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思索，方向明確，思路自然，有盼望勝利；綜合法由因導果，往往枝節(jié)橫生，不簡單達到所要證明的結論.從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清楚.也就是說，分析法利于思索，綜合法宜于表達.⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探究證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法常常是結合在一起使用的.（二）教法建議①選擇例題和習題要留意層次性.不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.老師在教學中要留意例題支配要由易到難，由簡潔到綜合，層層深化，啟發(fā)同學理解各種證法的意義和規(guī)律關系.老師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯(lián)系，對學問進行拓展、延長，使同學溝通學問，有效地提高解題力量.②在教學過程中，應通過細心設置的一個個問題，激發(fā)同學的求知欲，調動同學在課堂活動中樂觀參加.通過同學參加教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累閱歷，能夠總結出比較法的實質是把實數(shù)的大小挨次通過實數(shù)運算變成一個數(shù)與0(或1)比較大??；復雜的習題能夠利用綜合法進展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.③同學素養(yǎng)較好的，老師可在教學中適當增加反證法和用函數(shù)單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.第一課時教學目標1.把握證明不等式的方法——比較法；2.熟識并把握比較法證明不等式的意義及基本步驟.教學重點比較法的意義和基本步驟.教學難點常見的變形技巧.教學方法啟發(fā)引導式.教學過程（－）導入新課（老師活動）老師提問：依據(jù)前一節(jié)學過的學問，我們如何用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)與的大?。?（同學活動）同學思索問題，找同學甲口答問題.（同學甲回答：，，，）［點評］（待同學回答問題后）要比較兩個實數(shù)與的大小，只要考察與的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）設計意圖：通過老師設置問題，引導同學回憶所學的學問，引出用比較法證明不等式，導入本節(jié)課學習的學問.（二）新課講授【嘗摸索索，建立新知】（老師活動）老師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目[問題]求證老師引導同學分析、思索，討論不等式的證明.（同學活動）同學討論證明不等式，嘗試完成問題.（得出證明過程后）［點評］①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.③理論依據(jù)是：④由，，知：要證明只要證；要證明這種證明不等式的方法通常叫做比較法.設計意圖：關心同學構建用比較法證明不等式的學問體系，培育同學化歸的數(shù)學思想.【例題示范，學會應用】（老師活動）老師板書例題，引導同學討論問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.例1求證（同學活動）同學在老師引導下，討論問題.與老師一道完成問題的論證.［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.證明：∵＝＝，∴.［點評］①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定.③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能推斷.變形的目的全在于推斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要敏捷處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.例2已知都是正數(shù)，并且，求證：［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.證明：＝＝.由于都是正數(shù)，且，所以.∴.即：[點評]①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數(shù).1.當時，2.當時，.以后要記住.設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的學問，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.【課堂練習】（老師活動）打出字幕（練習），要求同學獨立思索.完成練習；請甲、乙兩同學板演；巡察同學的解題狀況，對正確的證法賜予確定和鼓舞，對偏差點撥和訂正；點評練習中存在的問題.[字幕]練習：1.求證2.已知，，，d都是正數(shù)，且，求證（同學活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.設計意圖，把握用比較法證明不等式，并會敏捷運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調整課堂教學.【分析歸納、小結解法】（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.（同學活動）與老師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、推斷符號.要敏捷把握配方法和通分法對差式進行恒等變形.設計意圖：培育同學分析歸納問題的力量，把握用比較法證明不等式的方法.（三）小結（老師活動）老師小結本節(jié)課所學的學問.（同學活動）與老師一道小結，并記錄筆記.本節(jié)課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，推斷符號才是目的.把握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課連續(xù)學習對差式變形的常用方法.設計意圖：培育同學對所學學問進行概括歸納的力量，鞏固所學學問.（四）布置作業(yè)1.課本作業(yè)：P16.1，2，3.2.思索題：已知，求證：3.討論性題：設，，都是正數(shù)，且，求證：設計意圖，課本作業(yè)供同學鞏固基礎學問；思索題供學有余力的同學完成，培育其敏捷把握用比較法證明不等式的力量；討論性題是為培育同學創(chuàng)新意識.（五）課后點評1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導入新課時，老師提出問題，讓同學回憶所學學問中，是如何比較兩個實數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.2.在建立新知過程中，老師引導同學分析討論證明不等式，使同學在嘗摸索索過程中形成用比較法證明不等式的感性熟悉.3.例1，例2兩道題主