Ch10曲線積分與曲面積分重積分—定積分概念的推廣

被積函數(shù)積分域計(jì)算定積分

y=f(x)區(qū)間[a,b]二重積分z=f(x,y)平面區(qū)域D

化為二次積分三重積分u=f(x,y,z)空間區(qū)域Ω

化為三次積分進(jìn)一步：曲線積分z=f(x,y)平面弧段

L

化為定積分

u=f(x,y,z)空間弧段Γ

化為定積分曲面積分

u=f(x,y,z)曲面片S

化為二重積分§1第一類（對(duì)弧長(zhǎng)的）曲線積分問題的提出第一類曲線積分的概念第一類曲線積分的性質(zhì)第一類曲線積分的計(jì)算第一類曲線積分的幾何、物理應(yīng)用一、問題的提出實(shí)例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量二、第一類曲線積分的概念1.定義積分弧段積分路徑被積函數(shù)被積表達(dá)式弧長(zhǎng)元素弧微分積分和式注3.推廣2.物理意義三、第一類曲線積分的性質(zhì)四、第一類曲線積分的計(jì)算定理證明注特殊情形：推廣:例1解例2解例3解oxy五、第一類曲線積分的幾何、物理應(yīng)用例4xoy解例5解練習(xí)解§2第一類（對(duì)面積的）曲面積分概念的引入第一類曲面積分的定義第一類曲面積分的計(jì)算一、概念的引入實(shí)例:

曲面的質(zhì)量xyz∑二、第一類曲面積分的定義1.定義積分曲面被積函數(shù)被積表達(dá)式面積元素積分和式注2.物理意義3.第一類曲面積分的性質(zhì)三、第一類曲面積分的計(jì)算—化為二重積分例1解例2解例3解由對(duì)稱性知：例4解（左、右兩部分曲面投影區(qū)域相同）例5解例6解小結(jié)(1)第一類曲面積分的概念；(2)第一類曲面積分的計(jì)算是將其化為投影區(qū)域上的二重積分計(jì)算.（按照積分曲面的不同情況分為三種）§3第二類（對(duì)坐標(biāo)的）曲線積分問題的提出第二類曲線積分的概念第二類曲線積分的計(jì)算一、問題的提出實(shí)例:

變力沿曲線作功問題分割近似求和取極限二、第二類曲線積分的概念1.定義注2.推廣3.性質(zhì)即第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、第二類曲線積分的計(jì)算定理注例1解一oxyA(1,-1)B(1,1)oxyA(1,-1)B(1,1)解二例2解B(1,1)oxyB(1,1)oAxy結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，但是路徑不同，積分結(jié)果相同.例3解結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，但是路徑不同，積分結(jié)果不同.例4解例5解一解二§4格林公式及其應(yīng)用區(qū)域連通性的分類格林

(Green)公式格林公式的應(yīng)用一、區(qū)域連通性的分類

設(shè)

D為平面有界區(qū)域，如果

D內(nèi)任一閉曲線所圍成的區(qū)域都包含在

D中，則稱

D為平面單連通區(qū)域，否則稱

D為平面復(fù)連通區(qū)域.單連通區(qū)域DD復(fù)連通區(qū)域二、格林

(Green)公式邊界曲線

L的正向：當(dāng)一個(gè)人沿邊界行走時(shí)，區(qū)域D總在他的左邊.定理證明yxoDabABcdCEyxoDABcdCED同理可證兩式相加得l1l2l3Dl1l2l3注三、格林公式的應(yīng)用例1解一解二例1例2解例3解一解二CxyoCxyo注計(jì)算平面區(qū)域的面積計(jì)算平面區(qū)域面積的方法例4解小結(jié)1.區(qū)域連通性的分類；2.二重積分與第二類曲線積分的關(guān)系；格林公式3.格林公式的應(yīng)用.曲線積分與路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的條件二元函數(shù)的全微分的求積§4格林公式及其應(yīng)用格林公式的散度與旋度形式一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義定義GyxoBA定理1二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明GyxoBACGyxoBA定理2證明注兩條件缺一不可.M(1,2)例1解A(1,0)xyo(0,0)注若曲線積分與路徑無關(guān)，可任意選擇路徑；一般選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段.M(1,2)A(1,0)(0,0)xyo例2解注若曲線積分與路徑無關(guān)，是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的任何路徑積分都相等；若只有有限條路徑積分相等，則不能說明曲線積分與路徑無關(guān).三、二元函數(shù)的全微分的求積定理3證明yoxG例3解B(x,y)A(x,0)xyo(0,0)例4解B(1,1)A(1,0)xyo(0,0)注四、格林公式的散度與旋度形式定義1定義2定義3例5解定義4§5第二類（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分基本概念第二類曲面積分的定義第二類曲面積分的計(jì)算概念的引入兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、基本概念觀察以下光滑曲面的側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)1.曲面的分類(1)雙側(cè)曲面；(2)單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面若給定曲面上一點(diǎn)

M處法向量的指向后，將其沿曲面上任意不經(jīng)過邊界的閉曲線連續(xù)移動(dòng)回到點(diǎn)

M處時(shí)，法向量仍為原來的指向，則稱該曲面為雙側(cè)曲面.典型單側(cè)曲面莫比烏斯帶

(M?bius)2.曲面?zhèn)鹊囊?guī)定曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).指定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.3.曲面的投影思考題解二、概念的引入實(shí)例:

流向曲面∑指定側(cè)的流量Σ1.分割xyzo∑xyzo∑2.近似3.求和4.取極限三、第二類曲面積分的定義1.定義類似可定義注2.物理意義3.性質(zhì)四、第二類曲面積分的計(jì)算注計(jì)算第二類曲面積分時(shí)，必須注意該有向曲面所取的側(cè).例1解例2解xyz例3解注類似可考慮在

yOz面及

zOx面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系例4解例5解高斯

(Guass)公式通量與散度§6高斯公式通量與散度牛頓-萊布尼茲公式：區(qū)間上的定積分與其端點(diǎn)的函數(shù)值之間的關(guān)系.格林公式：平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的第二類

曲線積分之間的關(guān)系.高斯公式：空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的第二類曲面積分之間的關(guān)系.一、高斯

(Gauss)公式定理注例1解例2解一解二例2解三例2練習(xí)例3解例4證明二、通量與散度1.通量的定義例5解2.散度的定義3.通量與散度的物理意義例6解§7斯托克斯公式環(huán)量與旋度斯托克斯(Stokes)公式環(huán)量與旋度一、斯托克斯

(Stokes)公式定理

是有向曲面的邊界曲線右手法則便于記憶形式另一種形式注斯托克斯公式格林公式特殊情形例1解例2解例3解一解二解三二、環(huán)量與旋度1.環(huán)量的定義2.旋度的定義3.斯托克斯公式的物理意義第10章曲線積分與曲面積分習(xí)題課課堂練習(xí)舉例主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、概念

曲線積分定義第一類曲線積分第二類曲線積分二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系聯(lián)系平面曲線空間曲線三、計(jì)算1.化為定積分平面空間定限始點(diǎn)→終點(diǎn)2.格林公式封閉非閉封閉非閉添加輔助曲線注四、曲線積分與路徑無關(guān)五、曲線積分的應(yīng)用1.曲線L的弧長(zhǎng)3.平面區(qū)域的面積2.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量4.變力沿曲線作功例1解例2解例3解一解二例4解例5解例6解一解二例7解例8解例9解例10解yxAB練習(xí)主要內(nèi)容一、概念

曲面積分第