結(jié)構(gòu)動力學(xué)能量法動內(nèi)力勢能：設(shè)位移函數(shù)。局限性，不能同時考慮多種函數(shù)，頻率偏高，動位移精度好動內(nèi)力精度低?？紤]梁的軸向、彎曲、剪切和扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)變能：1)或者：2)動能：1)或者：2)動能：根據(jù)能量守恒，即最大動能等于最大勢能，可以求出結(jié)構(gòu)的頻率。根據(jù)能量守恒，即最大動能等于最大勢能，可以求出結(jié)構(gòu)的頻率。若只考慮彎曲變形，梁的頻率為：如果還有集中質(zhì)量則，

如果還有集中質(zhì)量則，「&JF心（廠氏3盤= [lpfy2a他+乏＞尸3J° *=丄式中的y為位移函數(shù)，只要滿足位移邊界條件即可。以上兩式也叫瑞雷商。從式（7）還可以推導(dǎo)出：必E叭尸（磯）:爲(wèi)JT叱（耳）血8）9）應(yīng)用：如圖，8）9）應(yīng)用：如圖，T=VTf：Tl其周期：例題：兩邊簡支的梁，取卩總=卅一2厶滬十yff=—2

這比精確值偏高10.9%余能：保持勢能的優(yōu)點，只設(shè)一個位移函數(shù)，可以推廣到板殼及有限元中，計算頻率精度特高，接近實際頻率，動位移差，動內(nèi)力精度高。1、彎曲梁動力計算的最小余能公式fzM2(x)Q2(x)N2(x)、』V一亦口二J( + + )dx—乙u?R (1)2EJ 2rGA 2EA0式中：最后一項為支座沉陷的余能。結(jié)構(gòu)運動方程：[EJy"(x)]"—mw2y(x)+Ny"(x)二0 (2)該方程比靜力問題多了-mw2y(x)這一項，可以把它比擬成彈性地基上的梁。

TOC\o"1-5"\h\z[EJy〃(x)]〃+ky(x)+N]y〃(x)=0 (3)該簡支梁彎曲變形余能為：lf21/P x x2口二2 (x—tx)2dx+-^2EJ2 2 2k01如果梁是放在彈性系數(shù)為k的地基上時，其彈簧的余能為:/血(x)]2dx2k0口j(畑—問2y(x)]2)dx2EJ 2m?20其中M(x)為假想慣性力引起的彎矩函數(shù)?？紤]剪切變形影響時式(5)可以改寫成：口二J(M2(x)+Q2(x)—[m?2y(x生2EJ 2pGA 2m?2 “0asm4)7)則假想慣性力為：q(x)二mw2y(x)dQ(4)7)則假想慣性力為：q(x)二mw2y(x)dQ(x)=-q(x)dx可以得到：1 兀x 兀 兀xQ(x)二m?2acos+Na—cos兀 1 1 1M(x)二m?2a(—}冗1 11T.兀x“.兀x2sin—+Nasm—i1J將式(10)代入(6)l得到n=—1—(—)4m2?4a2 +2EJ兀 2 2yGA兀[m2?4a2 ]1ll2()2m2?4a2 一 +2 2m?2(8)(9)10)11)N 13N ,N2 Na2兀2im?2a2 + i—m?2a21+ia21+—2EJ 兀22yGA 4EJ 2yGAl式(11)對m?2a取導(dǎo)數(shù):an115 i13aln13= m?2a+ m?an115 i13aln13= m?2a+ m?2a+++aa(m?2a)2EJ兀4 2uGA兀2 22EJ兀2N+一—al=02uGA得到N13 N1—1—1 2EJ兀2 2pGA?2=m15m13+2EJ兀4 2uGA兀2N12 N1—1 —1—EJ兀2uGAm14 m12+EJ兀4uGA兀2式中：分母第一項為彎曲變形?2的倒數(shù)，第二項為剪切變形?2bs令N=0時可以得到：11=1*1?2?2?2bs14)如果將常軸力n由壓力變?yōu)槔Α剑?1）變?yōu)?[m2?4a22-]口=丄(厶4m2?4a2丄+丄(厶2m2?4a2丄—2EJ兀 22uGA兀 2 2m?215)N l3 N N2+m?2a2——一 1—m?2a21一ia21一2EJ 兀22uGA 4EJNa2兀22uGAl對仲取導(dǎo)數(shù)’得到N兀2?2= 1—m1216)此為弦橫向振動的基頻。若令式（13）中的?2=0，則可求得1N=（17）1 1121EJ兀2uGA強(qiáng)迫振動的余能方法：y（x,t）=asin巴sin0t1均布荷載引起的彎矩和剪力20)21)pGA兀20)21)pGA兀3an* 1l5n 1 13nalN13 N= mU2a+ mU2a—++a+ i—ala(mU2a)2EJ兀4 2yGA兀2 2 2EJ兀2 2yGA0.129l5q2EJ兀22ql3yGA冗322)=0M(x)=—(l-x)xq2Q(x)=—(l-x)—2于是式(10)變成：TOC\o"1-5"\h\z1 兀兀 兀 兀兀 —Q(x)=mU2acos+Na—cos+ (/—x)兀 1 i1 1 2M(x)=mU2a(—}2sin巴+Nasin竺+—(l—x)x兀 l i l2ll l[l l[m2U4a2]]=2EJ(齊)4m2U4a右+帀GA(齊)2m2U4a2廠FL+N門 13 N N27Na2兀20.12915qmU2a+mU2a2 + —mU2a21+ia21++ + +2EJ 兀22rGA 4EJ 2yGAl 2EJ兀2—l3maU2求得a為：a=(1—0.129l4qEJ兀2a=(1—0.129l4qEJ兀2EJ兀24ql2yGA兀yGA)(1—23)TOC\o"1-5"\h\zNl