史上最全的排列組合難題大總結(jié)一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略TOC\o"1-5"\h\z例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求，應該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩'位置.，先排末位共有c3■——■然后排首位共有c4最后排其它位置共有a3|/由分步計數(shù)原理得C4c3A3288c1八3二1C4A4C3位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素.若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有A5A2A2480種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？解：分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A：種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種A：不同的方法，由分步計數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有A5A4種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為^0四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：a7/a3（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A；種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有A4種方法。思考：可以先讓甲乙而坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習題：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？Ci5o五.重排問題求哥策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有乙種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有PM制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn種練習題：.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法78.環(huán)排問題線排策略一例6.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A4并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）!種排法即7!C吆等飛BE@eA—，ABCDEFGHAF‘一'H一般地,n個不同元素作圓形排列，共有（n-1）!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有1Amn練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解:8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有A2種，再排后4個位置上的特殊元素丙有A14種，其余的5人在5個位置上任意排列有A：種，則共有A4A4A5種前排后排般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.解：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有C；種方法.再把4個元素（包含一個復合元素）裝入4個不同的盒內(nèi)有A：種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有C；A：解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？練習題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務，且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有192種.小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,5在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把1,5,2,4當作一個小集團與3排隊共有a2種排法，再排小集團內(nèi)部共有A2A2種排法,222由分步計數(shù)原理共有A2A2A2種排法.練習題：.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為A2A5A4255.5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有A2A5A5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有C；種分法。o|oo|o|oo|o|oo|o

口口/口口口B將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為Cnm11練習題：.10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？c94.xyzw100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C1303103十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C；,只含有1個偶數(shù)的取法有C；C；,和為偶數(shù)的取法共有C；C；C3。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有c5c；C39有些排列組合問題，正面直接考慮比較復雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.練習題：我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的

抽法有多少種？十二.平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？222解：分二步取書得C6c4c2種方法，但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書為ABCDEF若第一2_2_2步取AB,第二步取CD,第二步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則C6c4C2中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A；種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共有CjCjC=/A；種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以A：(n為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。練習題：1將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少分法？(C；3C；C：/A2)2.10名學生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法(1540)3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(C：C；a6/a290)十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究22只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有C3c3種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員_2_2.C5c3c4種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有C5C5種，由分類計數(shù)原理共有_2_2_1_1_2_2_2_1_1_2C3c3C5C3C422C5C5種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題：.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有”.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人，2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只船或3只船，但小孩不能單才乘一只船，這3人共有多少乘船方法.(27)本題還有如下分類標準：以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮貨T的5個空隙中插入3個不亮的燈有C；種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？(120)十五.實際操作窮舉策略

例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有C；種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號千,3,4,5號盒3號珠裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2C；種3號盒3號盒4號盒5號盒對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習題：.同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9）.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有72種十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5X7X11X13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：c5c；c53c54c；練習：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線4解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共C81258,每個四面體有3對異面直線，正方體中的8個頂點可連成358174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略，把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決，然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成，從而得到問題的答案，每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17.25人排成5X5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3X3方隊中選3人的方法有C3c；C；種。再從5X5方陣選出3X3方陣便可解決問題.從5X5方隊中選取3行3列有C；C；選法所以從5X5方陣選不在同一行也不在33111同一列的3人有C5c5c3c2C1選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法,從而進下一步解決原來的問題A走到B的最短路徑有多少練習題：A走到B的最短路徑有多少3種？(C735)十八.數(shù)字排序問題查字典策略324105大的數(shù)?例18.由0,1,2,3,4,5324105大的數(shù)?解：N2A2A44a3AA1297數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典的法應從高位向低位查，依次求出其符合要求的個數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。練習：用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)是3140十九.樹圖策略例19.3人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳求后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有N10對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果練習：分別編有1,2,3,4,5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅(i1,2,3,4,5)的不同坐法有多少種？N44二十.復雜分類問題表格策略例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標有A、B、CDE五個字母，現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色齊備，則共有多少種不同的取法紅111223黃123121蘭321211取法c5c4c5c：c5c3c；c3C；C；C；C；一些復雜的分類選取題，要滿足的條彳比較多，無從入手，經(jīng)常出現(xiàn)重復遺漏的情況，用表格法，則分類明確，能保證題中須滿足的條件，能達到好的效二H^一：住店法策略解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解^例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有^分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得75種.

染色問題的計數(shù)方法區(qū)域染色問題根據(jù)乘法原理，對各個區(qū)域分步染色，這是處理這類問題的基本的方法。例1要用四種顏色給四川、青藏、西藏、云南四省（區(qū)）的地圖染色（圖1）每一?。▍^(qū)）一種顏色，只要求相鄰的?。▍^(qū)）不同色，則不同染色的方法有多少種？分析先給四川染色有4分析先給四川染色有4種方法，再給青海染色有方法，接著給西藏染色有2種方法，最后給云南染色有2種方法，根據(jù)乘法原理，不同的染色方法共有4X3X2X2=48種根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，分別計算出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同年拾方法種數(shù)。例2（2003年全國高考題）如圖2,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？分析依題意至少要選用3種顏色。（1）當選用三種顏色時，區(qū)域32與4必須同色，區(qū)域3分析依題意至少要選用3種顏色。（1）當選用三種顏色時，區(qū)域32與4必須同色，區(qū)域3與5必須同色，有A4種。（2）當用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色，則區(qū)域3與5不同色，有A：種；若區(qū)域3與5同色,則區(qū)域2與4不同色，有A：種，故用四種顏色時共有由加法原理可知滿足題意的著色方法共有A：+2a：=24+2X24=72種。3.根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計3.根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同染色方法數(shù)。例3用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的四個小方格內(nèi)（圖3）,每格涂一種顏色，相鄰的兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法?圖3

圖3….4(1)四格涂不同的顏色，方法數(shù)為*;(2)….4(1)四格涂不同的顏色，方法數(shù)為*;(2)有且僅有兩格涂相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同顏色,涂法種數(shù)為212C5A4；(1)兩組對角小方格涂相同顏色，涂法種數(shù)為因此，所求的涂法種數(shù)為a；+2c：a22+A5=260種根據(jù)相間區(qū)域使用顏色的種類分類討論例4如圖4,一個六邊形的6個區(qū)域A日CD、E、例4如圖4,一個六邊形的域染同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用域染同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用的顏色可供選擇，則有多少種不同的著色方法。解：(1)當相間區(qū)域ACE著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，B、DF各有3種著色方法故有4X3X3X3=108種方法(2)當相間區(qū)域AC、E著兩種不同顏色時，有22.C3A4種著色萬法，此時B、DF有3X2X2種著色方法，故共有X3X2X2=432種著色方法。(1)當相間區(qū)域A、C、

E著三種不同顏色時，有

3A：種著色方法，此時

B、DF各有2種著色根據(jù)共用了多少種顏色分類討論；(2)頂點此時根據(jù)共用了多少種顏色分類討論；(2)頂點此時法。頂點B顏并使

那么3萬法，此時共有A4X2X2X2=192種萬法。故總計有108+432+192=732種方法二點染色問題點染色問題，要注意對各點依次染色，主要方法有：(1)根據(jù)相對頂點是否同色分類討論。例5將一個四棱錐S-ABCD勺每個頂點染上一種顏色，同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法1滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染S,再從余下的四種顏色中任選兩種染AB、C、D四點，，12只能A與C,B與D分別同色，故有C5A4=60種萬(1)若恰用四種顏色，可先從五種顏色中任選一種染S,再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B,由于A2色可以交換，故有a4種染法；再從余下的兩種顏色種任選1211一種染D或C,而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有C5A4c2c2=240

中方法。(1)若恰用五種顏色，有A；=120種染法。綜上，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。對顏色故分C、S顏X2對顏色故分C、S顏X2S、A、B染色，有5X4X3=60種染色方法。由于C點的可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，類討論：C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D與A、不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的色，D有2種顏色可供選擇，從而對CD染色有1X3+2=7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法數(shù)是60X7=420種而是否空間圖形則5表述方式不同，5來解決。您不妨一試。無關(guān)而是否空間圖形則5表述方式不同，5來解決。您不妨一試。無關(guān)但具B、C同，有今要有多(1)用五種顏色給圖中的5個車站的候車牌A、DE染色，要求相鄰兩個車站間的候車牌的顏色不多少種不同的染色方法(圖6)(2)如圖7所示為一張有5個行政區(qū)劃的地圖，用5種顏色給地圖著色，要求相鄰的區(qū)域不同色，共少種方案？三、線段染色問題，要注意對各條線段依次討論，主要方法有:(1)根據(jù)共用了多少種顏色分類討論；根據(jù)相對的線段是否同色分類討論。用紅、黃、藍、白、四種顏色染矩形ABCD勺四條邊，每條邊只染一種顏色,8)且使相鄰兩邊染不同的顏色，如果顏色可能反復使用，共有多少種不同的染色方法(圖8)TOC\o"1-5"\h\z”,一一一一，、,，4一，色,A84種BC染色有4X3=12種染色方法。DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論:解法1(色,A84種BC染色有4X3=12種染色方法。DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論:(2)使用三種顏色染色，則必須將一組對邊染成同一一112—故有C4c2A3種；使用兩種顏色時，則兩組對邊必須分別同色,A2種。一4112因此，所求的染色方法數(shù)為a4+C4c2A3+解法2染色按AB-BC-CD-DA的順序進行，對AR由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇；當CD與AB不同色時，CD有2種可供選擇的顏色，DA有2種可供選擇的顏色，從而對CDDA染色有1X3+2X2=7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法數(shù)為12X7=84種。利用相同的方法可解決例7中央電視臺“正大綜藝”節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自4個單位，分別在圖9中4