第6章空間問題的基本理論與解答目錄1第6章目錄1目錄主要內(nèi)容§6-1平衡微分方程§6-2幾何方程及物理方程§6-3軸對稱問題的基本方程§6-4按位移求解空間問題§6-5半空間體受重力及均布壓力§6-6半空間體在邊界上受法向集中力§6-7按應(yīng)力求解空間問題2目錄主要內(nèi)容§6-1平衡微分方程2§6.1平衡微分方程在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。3§6.1平衡微分方程在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)(b)4§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面體，§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程由x軸向投影的平衡微分方程

,

得

因?yàn)?/p>

x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標(biāo)具有對等性，其方程也必然具有對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標(biāo)輪換得到。6§6.1平衡微分方程由x軸向投影的平衡微分方程§6.1平衡微分方程由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，，，空間問題的平衡微分方程精確到三階微量7§6.1平衡微分方程由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理§6.1平衡微分方程設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:在上的應(yīng)力邊界條件8§6.1平衡微分方程設(shè)在邊界上，§6.1平衡微分方程如果邊界面是坐標(biāo)面，則邊界條件可以得到簡化。例如邊界面為正、負(fù)x面，則l=±1，m=n=0，應(yīng)力邊界條件簡化為：9§6.1平衡微分方程如果邊界面是坐標(biāo)面，則邊界條§6.1平衡微分方程如果某一小部分邊界上，如S1上，精確的應(yīng)力邊界條件（（d）式）難以滿足時，按照圣維南原理，可以用等效的主矢量和等效的主矩的條件來代替。有兩種表達(dá)方式：（1）在同一小邊界面S1上，應(yīng)力是主矢量和主矩分別等于對應(yīng)的面力主矢量和主矩（6個等式條件）；（2）在小邊界S1附近，切出一小部分的脫離體，列出脫離體的力的平衡條件。10§6.1平衡微分方程如果某一小部分邊界上，如S1上，精確的§6.1平衡微分方程思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點(diǎn)A,B的x向正應(yīng)力分量。11§6.1平衡微分方程思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)§6.2幾何方程及物理方程

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：(a)12§6.2幾何方程及物理方程空間問題的幾何方§6.2幾何方程及物理方程從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。13§6.2幾何方程及物理方程從幾何方程同樣可§6.2幾何方程及物理方程--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。14§6.2幾何方程及物理方程--沿x,y,z向的剛§6.2幾何方程及物理方程若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)15§6.2幾何方程及物理方程若在§6.2幾何方程及物理方程(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變定義為：16§6.2幾何方程及物理方程(d)其中由于小變形假定，略去§6.2幾何方程及物理方程空間問題的物理方程

(x,y,z).

(e)可表示為兩種形式：17§6.2幾何方程及物理方程空間問題的物理方程(§6.2幾何方程及物理方程⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。18§6.2幾何方程及物理方程⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求§6.2幾何方程及物理方程空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：19§6.2幾何方程及物理方程空間問題的應(yīng)力，§6.2幾何方程及物理方程思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量。20§6.2幾何方程及物理方程思考題若形變分量§6.3軸對稱問題的基本方程

采用柱坐標(biāo)表示。

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的。

空間軸對稱問題

21§6.3軸對稱問題的基本方程采用柱坐標(biāo)§6.3軸對稱問題的基本方程對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。22§6.3軸對稱問題的基本方程對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只§6.3軸對稱問題的基本方程而由得出為。平衡微分方程：23§6.3軸對稱問題的基本方程而由得出為§6.3軸對稱問題的基本方程

幾何方程：其中幾何方程為24§6.3軸對稱問題的基本方程幾何方程：其中幾何方程為§6.3軸對稱問題的基本方程物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)25§6.3軸對稱問題的基本方程物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d§6.3軸對稱問題的基本方程應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中26§6.3軸對稱問題的基本方程應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中26§6.3軸對稱問題的基本方程邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡單。在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。27§6.3軸對稱問題的基本方程邊界條件：在柱§6.3軸對稱問題的基本方程思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。28§6.3軸對稱問題的基本方程思考題試由空間軸對§6.4按位移求解空間問題1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。2.將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。

在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：29§6.4按位移求解空間問題1.取u,§6.4按位移求解空間問題其中體積應(yīng)變3.將式(a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：30§6.4按位移求解空間問題其中體積應(yīng)變§6.4按位移求解空間問題其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空間問題其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空間問題4.將式代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件仍為:32§6.4按位移求解空間問題4.將式代入應(yīng)力邊界條§6.4按位移求解空間問題（2）上的應(yīng)力邊界條件(c)；（3）上的位移邊界條件(d)。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b)；歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移必須滿足：

33§6.4按位移求解空間問題（2）上的應(yīng)力邊界條件(c§6.4按位移求解空間問題在空間問題中，按位移求解方法尤為重要：3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。34§6.4按位移求解空間問題在空間問題中，按位移求解§6.4按位移求解空間問題按位移求解空間軸對稱問題:在柱坐標(biāo)中，可以相似地導(dǎo)出：位移

應(yīng)滿足：

（1）V內(nèi)的平衡微分方程，35§6.4按位移求解空間問題按位移求解空間軸對稱問題§6.4按位移求解空間問題軸對稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變（2）上的應(yīng)力邊界條件。

（3）上的位移邊界條件。36§6.4按位移求解空間問題軸對稱的拉普拉§6.4按位移求解空間問題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件（式（c））。2、試導(dǎo)出空間軸對稱問題中用位移表示的平衡微分方程（書中式（8-4）），并將上的應(yīng)力邊界條件用位移來表示。思考題37§6.4按位移求解空間問題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊§6.5半空間體受重力及均布壓力設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布壓力q。38§6.5半空間體受重力及均布壓力設(shè)有半空間§6.5半空間體受重力及均布壓力采用按位移求解：

考慮對稱性：本題的任何x面和y面均為對稱面，可設(shè)位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。39§6.5半空間體受重力及均布壓力采用按位移§6.5半空間體受重力及均布壓力（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程，積分兩次,得40§6.5半空間體受重力及均布壓力（1）將位移(a)代入平衡§6.5半空間體受重力及均布壓力相應(yīng)的應(yīng)力為41§6.5半空間體受重力及均布壓力相應(yīng)的應(yīng)力為41§6.5半空間體受重力及均布壓力（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為由式(d)求出A，得應(yīng)力解為42§6.5半空間體受重力及均布壓力（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)§6.5半空間體受重力及均布壓力位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。若z=h為剛性層，則由可以確定B。若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；43§6.5半空間體受重力及均布壓力位移解為其中B為z向剛體平§6.5半空間體受重力及均布壓力側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即44§6.5半空間體受重力及均布壓力側(cè)面壓力與§6.5半空間體受重力及均布壓力當(dāng)時，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大,說明物體的剛度極小，接近于流體。當(dāng)時，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。討論：45§6.5半空間體受重力及均布壓力討論：45§6.5半空間體受重力及均布壓力思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位移求解？46§6.5半空間體受重力及均布壓力思考題1、如果圖中的問題改§6.6半空間體在邊界上受法向集中力本題為空間軸對稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解，位移而和應(yīng)滿足:

設(shè)有半空間體,在o點(diǎn)受有法向集中力F。47§6.6半空間體在邊界上受法向集中力本題為空間軸對稱問題?！?.6半空間體在邊界上受法向集中力（1）平衡微分方程（書中（8-4））其中48§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（1）平衡微分方程（書§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力邊界條件為（3）由于z=0邊界上o點(diǎn)有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：49§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（2）在z=0的邊§6.6半空間體在邊界上受法向集中力布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。50§6.6半空間體在邊界上受法向集中力布西內(nèi)§6.6半空間體在邊界上受法向集中力其中51§6.6半空間體在邊界上受法向集中力其中51（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng)當(dāng)§6.6半空間體在邊界上受法向集中力應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn)O。

邊界面上任一點(diǎn)的沉陷：52（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性?！?.6半空間體在邊界上受法向集中力若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對積分，便得到書上公式。53§6.6半空間體在邊界上受法向集中力若單位§6.7按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。2.其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

54§6.7按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空§6.7按應(yīng)力求解空間問題因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題55§6.7按應(yīng)力求解空間問題因此,位移邊§6.7按應(yīng)力求解空間問題3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出6個相容方程：（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。56§6.7按應(yīng)力求解空間問題3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程:§6.7按應(yīng)力求解空間問題再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12））。4.假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在上，應(yīng)滿足書中式（7-5）。57§6.7按應(yīng)力求解空間問題再代入物理方程，§6.7按應(yīng)力求解空間問題（1）V內(nèi)的3個平衡微分方程；其中：(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：（4）對于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的3個應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的6個相容方程；58§6.7按應(yīng)力求解空間問題（1）V內(nèi)的3個平衡微分方程；其§6.7按應(yīng)力求解空間問題（2）形變滿足相容方程,對應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程,對應(yīng)的位移不存在,物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件,導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程,導(dǎo)出相容方程。對于相容方程說明如下：所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。59§6.7按應(yīng)力求解空間問題（2）形變滿足相容方程,§6.7按應(yīng)力求解空間問題（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為6個。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。60§6.7按應(yīng)力求解空間問題（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的§6.7按應(yīng)力求解空間問題式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因?yàn)槲⒎址匠烫岣唠A數(shù)會增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。61§6.7按應(yīng)力求解空間問題式是由方程§6.7按應(yīng)力求解空間問題在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡化求解的方程。應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。62§6.7按應(yīng)力求解空間問題在按應(yīng)力求解空間問題中，第六章例題例題1例題2例題3例題463第六章例題例題1例題2例題3例題463例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？64例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的（x,y,z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為時，它的表面法線的方向余弦為65（x,y,z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為65當(dāng)面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).66當(dāng)面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界例題2

試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。

(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。

(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。67例題2試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(aqqooxxzz68qqooxxzz68解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對于(a)，有約束條件；對于(b)，有對稱條件。69解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的則可解出：而兩者的，因此，由物理方程：70則可解出：而兩者的，因此，由物理方程：70例題３

圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點(diǎn)，試寫出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P71例題３xyobbaaz圖7-5P71解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是給定的，因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；72解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。應(yīng)力主矢量和主矩的正負(fù)號和正負(fù)方向，則根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)號和正負(fù)方向來確定。對于一般的空間問題，列積分的應(yīng)力邊界條件時，應(yīng)包括6個條件。對于圖示問題這6個積分的邊界條件是：73而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主7474例題4

平面應(yīng)力解答的近似性－－試從空間問題按應(yīng)力求解的方法，來導(dǎo)出和考察平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題的基本理論。75例題475解：（1）對于平面應(yīng)變問題，在常截面的很長柱體（可以假設(shè)為無限長），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對稱面，可以推論出，76解：76從式可以得出，在式中，表示等式左邊的物理量僅為x,y的函數(shù)。77從式可以得出，77將式代入空間問題的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力和位移邊界條件，可以得出平面應(yīng)變問題的全部方程和條件，而其余的方程和條件均為自然滿足。例如，將式代入空間問題的相容方程（書中式（8-10）、（8-11））得出而其余5式全部自然滿足。78將式代入空間因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的理論。（2）對于平面應(yīng)力問題，在很薄的板中,只受x,y方向的體力、面力和約束，且不沿板厚方向（z向）變化；又在板面上無任何面力的條件下，由板面的邊界條件79因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變及板很薄的條件，假設(shè)在彈性體內(nèi)因此，只有平面應(yīng)力和存在；并進(jìn)一步假設(shè)這就是平面應(yīng)力問題。由上兩式，還可得出80及板很薄的條件，假設(shè)在彈性體內(nèi)80將式代入空間問題的相容方程（書中式），除了得出式外，還得出81將式代入空間問題的相容方程在一般的情況下，由式得出的顯然不能滿足相容方程。由此可見，平面應(yīng)力問題的假設(shè)

不能保證所有的相容條件都得到滿足。因此，平面應(yīng)力問題的理論是近似的。82在一般的情況下，由式得出的本章結(jié)束83本章結(jié)束83第6章空間問題的基本理論與解答目錄84第6章目錄1目錄主要內(nèi)容§6-1平衡微分方程§6-2幾何方程及物理方程§6-3軸對稱問題的基本方程§6-4按位移求解空間問題§6-5半空間體受重力及均布壓力§6-6半空間體在邊界上受法向集中力§6-7按應(yīng)力求解空間問題85目錄主要內(nèi)容§6-1平衡微分方程2§6.1平衡微分方程在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。86§6.1平衡微分方程在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)(b)87§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面體，§6.1平衡微分方程88§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程由x軸向投影的平衡微分方程

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x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標(biāo)具有對等性，其方程也必然具有對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標(biāo)輪換得到。89§6.1平衡微分方程由x軸向投影的平衡微分方程§6.1平衡微分方程由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，，，空間問題的平衡微分方程精確到三階微量90§6.1平衡微分方程由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理§6.1平衡微分方程設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:在上的應(yīng)力邊界條件91§6.1平衡微分方程設(shè)在邊界上，§6.1平衡微分方程如果邊界面是坐標(biāo)面，則邊界條件可以得到簡化。例如邊界面為正、負(fù)x面，則l=±1，m=n=0，應(yīng)力邊界條件簡化為：92§6.1平衡微分方程如果邊界面是坐標(biāo)面，則邊界條§6.1平衡微分方程如果某一小部分邊界上，如S1上，精確的應(yīng)力邊界條件（（d）式）難以滿足時，按照圣維南原理，可以用等效的主矢量和等效的主矩的條件來代替。有兩種表達(dá)方式：（1）在同一小邊界面S1上，應(yīng)力是主矢量和主矩分別等于對應(yīng)的面力主矢量和主矩（6個等式條件）；（2）在小邊界S1附近，切出一小部分的脫離體，列出脫離體的力的平衡條件。93§6.1平衡微分方程如果某一小部分邊界上，如S1上，精確的§6.1平衡微分方程思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點(diǎn)A,B的x向正應(yīng)力分量。94§6.1平衡微分方程思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)§6.2幾何方程及物理方程

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：(a)95§6.2幾何方程及物理方程空間問題的幾何方§6.2幾何方程及物理方程從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。96§6.2幾何方程及物理方程從幾何方程同樣可§6.2幾何方程及物理方程--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。97§6.2幾何方程及物理方程--沿x,y,z向的剛§6.2幾何方程及物理方程若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)98§6.2幾何方程及物理方程若在§6.2幾何方程及物理方程(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變定義為：99§6.2幾何方程及物理方程(d)其中由于小變形假定，略去§6.2幾何方程及物理方程空間問題的物理方程

(x,y,z).

(e)可表示為兩種形式：100§6.2幾何方程及物理方程空間問題的物理方程(§6.2幾何方程及物理方程⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。101§6.2幾何方程及物理方程⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求§6.2幾何方程及物理方程空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：102§6.2幾何方程及物理方程空間問題的應(yīng)力，§6.2幾何方程及物理方程思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量。103§6.2幾何方程及物理方程思考題若形變分量§6.3軸對稱問題的基本方程

采用柱坐標(biāo)表示。

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的。

空間軸對稱問題

104§6.3軸對稱問題的基本方程采用柱坐標(biāo)§6.3軸對稱問題的基本方程對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。105§6.3軸對稱問題的基本方程對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只§6.3軸對稱問題的基本方程而由得出為。平衡微分方程：106§6.3軸對稱問題的基本方程而由得出為§6.3軸對稱問題的基本方程

幾何方程：其中幾何方程為107§6.3軸對稱問題的基本方程幾何方程：其中幾何方程為§6.3軸對稱問題的基本方程物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)108§6.3軸對稱問題的基本方程物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d§6.3軸對稱問題的基本方程應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中109§6.3軸對稱問題的基本方程應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中26§6.3軸對稱問題的基本方程邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡單。在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。110§6.3軸對稱問題的基本方程邊界條件：在柱§6.3軸對稱問題的基本方程思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。111§6.3軸對稱問題的基本方程思考題試由空間軸對§6.4按位移求解空間問題1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。2.將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。

在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：112§6.4按位移求解空間問題1.取u,§6.4按位移求解空間問題其中體積應(yīng)變3.將式(a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：113§6.4按位移求解空間問題其中體積應(yīng)變§6.4按位移求解空間問題其中拉普拉斯算子114§6.4按位移求解空間問題其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空間問題4.將式代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件仍為:115§6.4按位移求解空間問題4.將式代入應(yīng)力邊界條§6.4按位移求解空間問題（2）上的應(yīng)力邊界條件(c)；（3）上的位移邊界條件(d)。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b)；歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移必須滿足：

116§6.4按位移求解空間問題（2）上的應(yīng)力邊界條件(c§6.4按位移求解空間問題在空間問題中，按位移求解方法尤為重要：3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。117§6.4按位移求解空間問題在空間問題中，按位移求解§6.4按位移求解空間問題按位移求解空間軸對稱問題:在柱坐標(biāo)中，可以相似地導(dǎo)出：位移

應(yīng)滿足：

（1）V內(nèi)的平衡微分方程，118§6.4按位移求解空間問題按位移求解空間軸對稱問題§6.4按位移求解空間問題軸對稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變（2）上的應(yīng)力邊界條件。

（3）上的位移邊界條件。119§6.4按位移求解空間問題軸對稱的拉普拉§6.4按位移求解空間問題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件（式（c））。2、試導(dǎo)出空間軸對稱問題中用位移表示的平衡微分方程（書中式（8-4）），并將上的應(yīng)力邊界條件用位移來表示。思考題120§6.4按位移求解空間問題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊§6.5半空間體受重力及均布壓力設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布壓力q。121§6.5半空間體受重力及均布壓力設(shè)有半空間§6.5半空間體受重力及均布壓力采用按位移求解：

考慮對稱性：本題的任何x面和y面均為對稱面，可設(shè)位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。122§6.5半空間體受重力及均布壓力采用按位移§6.5半空間體受重力及均布壓力（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程，積分兩次,得123§6.5半空間體受重力及均布壓力（1）將位移(a)代入平衡§6.5半空間體受重力及均布壓力相應(yīng)的應(yīng)力為124§6.5半空間體受重力及均布壓力相應(yīng)的應(yīng)力為41§6.5半空間體受重力及均布壓力（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為由式(d)求出A，得應(yīng)力解為125§6.5半空間體受重力及均布壓力（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)§6.5半空間體受重力及均布壓力位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。若z=h為剛性層，則由可以確定B。若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；126§6.5半空間體受重力及均布壓力位移解為其中B為z向剛體平§6.5半空間體受重力及均布壓力側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即127§6.5半空間體受重力及均布壓力側(cè)面壓力與§6.5半空間體受重力及均布壓力當(dāng)時，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大,說明物體的剛度極小，接近于流體。當(dāng)時，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。討論：128§6.5半空間體受重力及均布壓力討論：45§6.5半空間體受重力及均布壓力思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位移求解？129§6.5半空間體受重力及均布壓力思考題1、如果圖中的問題改§6.6半空間體在邊界上受法向集中力本題為空間軸對稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解，位移而和應(yīng)滿足:

設(shè)有半空間體,在o點(diǎn)受有法向集中力F。130§6.6半空間體在邊界上受法向集中力本題為空間軸對稱問題?！?.6半空間體在邊界上受法向集中力（1）平衡微分方程（書中（8-4））其中131§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（1）平衡微分方程（書§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力邊界條件為（3）由于z=0邊界上o點(diǎn)有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：132§6.6半空間體在邊界上受法向集中力（2）在z=0的邊§6.6半空間體在邊界上受法向集中力布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。133§6.6半空間體在邊界上受法向集中力布西內(nèi)§6.6半空間體在邊界上受法向集中力其中134§6.6半空間體在邊界上受法向集中力其中51（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng)當(dāng)§6.6半空間體在邊界上受法向集中力應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn)O。

邊界面上任一點(diǎn)的沉陷：135（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性?！?.6半空間體在邊界上受法向集中力若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對積分，便得到書上公式。136§6.6半空間體在邊界上受法向集中力若單位§6.7按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。2.其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

137§6.7按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空§6.7按應(yīng)力求解空間問題因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題138§6.7按應(yīng)力求解空間問題因此,位移邊§6.7按應(yīng)力求解空間問題3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出6個相容方程：（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。139§6.7按應(yīng)力求解空間問題3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程:§6.7按應(yīng)力求解空間問題再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12））。4.假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在上，應(yīng)滿足書中式（7-5）。140§6.7按應(yīng)力求解空間問題再代入物理方程，§6.7按應(yīng)力求解空間問題（1）V內(nèi)的3個平衡微分方程；其中：(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：（4）對于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的3個應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的6個相容方程；141§6.7按應(yīng)力求解空間問題（1）V內(nèi)的3個平衡微分方程；其§6.7按應(yīng)力求解空間問題（2）形變滿足相容方程,對應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程,對應(yīng)的位移不存在,物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件,導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程,導(dǎo)出相容方程。對于相容方程說明如下：所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。142§6.7按應(yīng)力求解空間問題（2）形變滿足相容方程,§6.7按應(yīng)力求解空間問題（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為6個。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。143§6.7按應(yīng)力求解空間問題（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的§6.7按應(yīng)力求解空間問題式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因?yàn)槲⒎址匠烫岣唠A數(shù)會增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。144§6.7按應(yīng)力求解空間問題式是由方程§6.7按應(yīng)力求解空間問題在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡化求解的方程。應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。145§6.7按應(yīng)力求解空間問題在按應(yīng)力求解空間問題中，第六章例題例題1例題2例題3例題4146第六章例題例題1例題2例題3例題463例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？147例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的（x,y,z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為時，它的表面法線的方向余弦為148（x,y,z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為65當(dāng)面力