第二十一節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)培優(yōu)拓展一、單選題1．（2021·河南·內(nèi)黃縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知兩條直線和，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn),,與函數(shù)的圖像從左至右相交于,．記線段和在軸上的投影長度分別為，，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像計(jì)算四點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求出線段和在軸上的投影長度，，代入，表達(dá)關(guān)于的函數(shù)，整理后，換元法利用基本不等式求最小值.【詳解】作出函數(shù)圖像如圖，如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，，則，，此時(shí)有，，，，解得，，，，線段和在軸上的投影長度分別為，，，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，此時(shí)的最小值為.故選：B.2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，在利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為含參的二次函數(shù)問題，再通過討論參數(shù)來處理二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定的問題進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函數(shù)的最小值為．令，則，故函數(shù)的最小值為等價(jià)于的最小值為，等價(jià)于或，解得．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．3．（2022·福建漳州·高二期末）已知，，，則，，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及不等式放縮進(jìn)行大小比較.【詳解】故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則在同一個(gè)坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由奇偶性的定義及性質(zhì)可得是R上的奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，然后分、和三種情況討論即可求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以是R上的奇函數(shù)，又時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)0，所以的圖像一定經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與的圖像相同，不符合題意．當(dāng)時(shí)，是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以與的圖像可能為選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，若，所以與的圖像可能為選項(xiàng)A或B.故選：D．5．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷的奇偶性與單調(diào)性，由題意列不等式后求解【詳解】由得定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，而，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則可化為，得解得故選：D.6．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）對(duì)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式整理為，令，，在上單調(diào)遞增，分，，三種情況討論，最后得出交集即為所求．【詳解】，即，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，①時(shí)，，即：恒成立，需要在上恒成立，而二次函數(shù)開口向下，所以需要，解得；②當(dāng)時(shí)原不等式顯然恒成立；③時(shí)，恒成立，即恒成立，在上恒成立，又開口向下且對(duì)稱軸為，由及可知，所以在上單調(diào)遞減，時(shí)，，所以需要，解得，綜上可得，的取值范圍是，故選：A．7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線OB與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，經(jīng)過E的線段AC垂直于y軸，垂足為C，若四邊形OABC是平行四邊形，且平行四邊形OABC的面積為4，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】先利用平行四邊形以及平行關(guān)系，得到E和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用四邊形面積，求出a即可.【詳解】設(shè)，由題意，軸，從而，而OABC是平行四邊形，從而，故，又E為AC中點(diǎn)，從而有，而EBO三點(diǎn)共線，即，即解得，即，從而，，從而四邊形面積，故故選：B.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸以及函數(shù)的單調(diào)性，由此列出相應(yīng)的不等式，解得答案.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故由不等式成立可得：，整理得：且，故且，故選：D.二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)同時(shí)滿足①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性判斷a、b的存在性，即可得答案.【詳解】A：為增函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則，結(jié)合及的圖象知，方程無解，故不存在“3倍值區(qū)間”，A錯(cuò)誤；B：為減函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則有，得，又，，所以可取，，所以存在“3倍值區(qū)間”，B正確；C：為增函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”，則，得，所以存在“3倍值區(qū)間”，C正確；D：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可得在上單調(diào)遞增，若存在“3倍值區(qū)間”且，則有，解得，不符合題意，所以不存在“3倍值區(qū)間”，D錯(cuò)誤．故選：BC.10．（2022·廣東·珠海市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，為非零常數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的最大值為D．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖像與的圖像在區(qū)間內(nèi)的個(gè)交點(diǎn)記為，且，則的取值范圍為【答案】BD【分析】利用函數(shù)的周期性變化，結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分析.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，即當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)的最大值為4.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，即當(dāng)，，由圖像有：若函數(shù)的圖像與的圖像在區(qū)間內(nèi)的個(gè)交點(diǎn)記為，且，則的取值范圍為，故D正確.故選：BD.11．（2021·遼寧·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)于任意，，且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，下列函數(shù)在定義域上為下凸函數(shù)的是（

）A．B．C．，D．【答案】ACD【分析】利用下凸函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，由，可知，任意，，且，則，故A正確；對(duì)于B，，，函數(shù)在定義域上不連續(xù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，任意，，且，∴，∵，∴，即，故C正確；對(duì)于D，，可知，任意，，且，∵，，，∴，故D正確．故選：ACD．12．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．函數(shù)過定點(diǎn)C．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為D．函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：（1）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“夢(mèng)想函數(shù)”．若函數(shù)是“夢(mèng)想函數(shù)”，則t的取值范圍是【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，求出的解集為，結(jié)合得到充分不必要條件；B選項(xiàng)，求出對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)恒過定點(diǎn)；C選項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性解不等式；D選項(xiàng)，根據(jù)題意把問題轉(zhuǎn)化為與是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，換元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，進(jìn)而利用二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，解得：，所以，但，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確；對(duì)于B，恒過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義在上的函數(shù)滿足，不妨設(shè)，則，即，令，，則，故單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，由（）變形為（），即，根?jù)單調(diào)遞減，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：單調(diào)遞增，結(jié)合題意可得：即，化簡得：，則與是方程的兩個(gè)根，令，則與是一元二次方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，令，故滿足：，解得：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．（2022·上海靜安·二模）已知函數(shù)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，總有成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】1【分析】分、、、依次討論的范圍，進(jìn)而判斷是否恒成立，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不成立；當(dāng)，，取，，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)于任意，有，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以總有成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)取最大值1，當(dāng)時(shí)取最小值0，則，對(duì)于任意，有，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以總有成立；綜上可得，故實(shí)數(shù)的最大值為1.故答案為：1.14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，存在使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】【分析】恒成立存在性共存的不等式問題，需要根據(jù)題意確定最值比大小解不等式即可.【詳解】根據(jù)題意可得只需即可，由題可知a為對(duì)數(shù)底數(shù)且或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，可得；當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，即，可得.綜上：.故答案為：.15．（2022·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】【分析】雙變量問題，轉(zhuǎn)化為取值范圍的包含關(guān)系，列不等式組求解【詳解】，，由題意得故答案為：.16．（2022·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，若（且），則a的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷為偶函數(shù)，由解析式判斷的單調(diào)性，再討論a的范圍，并利用偶函數(shù)和單調(diào)性求參數(shù)的范圍.【詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，綜上，由，即或，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，所以a的取值范圍為.故答案為：.四、解答題17．（2022·四川瀘州·高一期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，求的值?2)若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知，利用函數(shù)的單調(diào)性建立方程組求解.（2）根據(jù)已知對(duì)式子進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為含參的一元二次方程問題，分類討論進(jìn)行求解.（1）由題意可得，的定義域?yàn)?，?duì)任意且滿足，則，則，故在定義域上單調(diào)遞減.因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，即，所以，且，①所以，即，②?dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①成立；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)，即時(shí)，方程②的解為，代入①不成立：②當(dāng)，且時(shí)，方程②的解為或，將代入①得：，且，所以且，將代入①得：，且，所以且，要使方程有且僅有一個(gè)解，則.綜上，的取值范圍為.18．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)解關(guān)于的不等式;(3)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡求值；（2）判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，利用判別式求參數(shù)范圍.（1）函數(shù)的定義或?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù).，即，，；（2），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，，解得或，所以所求不等式的解集為；（3）函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，，即，，設(shè)，則，即，又在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個(gè)不等的正根；，解得，即的取值范圍為.19．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）對(duì)于函數(shù)．(1)若，且為奇函數(shù)，求的值；(2)設(shè)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可得恒成立，從而得到對(duì)定義域內(nèi)任意恒成立，則，進(jìn)而解得的值；（2）易知函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可求解．（1）解：，，又為奇函數(shù)，，對(duì)定義域內(nèi)任意恒成立，，解得或或（舍去）或（舍去），當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，符合奇函?shù)的條件，當(dāng)時(shí)，，與定義域?yàn)?，符合奇函?shù)的條件，綜上；（2）解：令，則在上為減函數(shù)，又在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則，，即對(duì)任意的恒成立．設(shè)，又，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即．20．（2021·湖南·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)判定并證明的奇偶性和單調(diào)性；(2)求不等式的解集；(3)函數(shù)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)為減函數(shù)，且為奇函數(shù)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求得的定義域，再根據(jù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷即可（2）根據(jù)的定義域與奇偶性，化簡原不等式可得，再解不等式即可得到所求范圍；（3）求得當(dāng)時(shí)，的值域；以及討論，時(shí)，的值域，由題意可得和的值域存在交集，即可得到所求范圍；(1)因?yàn)楹瘮?shù)，由，可得，又，所以為奇函數(shù).設(shè)，則，因?yàn)?，且與均大于0，故，故，即，故為減函數(shù).綜上有為減函數(shù)，且為奇函數(shù)(2)由（1），又的值域?yàn)镽，不等式，即為，則，即，即為，因?yàn)?，故，，解得：，則原不等式的解集為；(3)函數(shù)，若存在，使得成立，當(dāng)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在遞減，可得的值域?yàn)?，由題意可得和的值域存在交集，即有，即；若，則在遞增，可得的值域?yàn)椋深}意可得和的值域不存在交集，綜上可得a的范圍是.21．（2022·湖南·周南中學(xué)高一階段練習(xí)）定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的一個(gè)上界，已知函數(shù)，奇函數(shù)；(1)求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；(2)若函數(shù)在上是以5為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中的定義，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，