第4節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入最新考綱1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念知

識

梳

理a內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實(shí)部為

，虛部為____若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R)

ba=c且b=da=c且b=-dx軸2.復(fù)數(shù)的幾何意義Z(a，b)3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(

)(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(

)(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).(

)(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(

)解析(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小.答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√診

斷

自

測2.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a＝(

) A.－3 B.－2 C.2 D.3

解析

因?yàn)?1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3.

答案

A3.(2017·全國Ⅲ卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于(

) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析由題意，得z＝－1－2i，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.

答案C4.(2017·江蘇卷)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________.∴z＝2＋i.答案2＋i考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于(

)A.3，－2 B.3，2 C.3，－3 D.－1，4解析

(1)由(1＋i)2＝2i為純虛數(shù)知選C.(3)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.答案

(1)C

(2)C

(3)A規(guī)律方法1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.2.解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.p2：若z2＝－1，滿足z2∈R，而z＝±i，不滿足z∈R，故p2不正確；p3：若z1＝1，z2＝2，則z1z2＝2，滿足z1z2∈R，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故p3不正確；p4：因復(fù)數(shù)z∈R，所以z的虛部為0，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故p4正確.答案

(1)D

(2)B考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

) A.(1，1) B.(－1，－1) C.(1，－1) D.(－1，1) (2)(2017·北京卷)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)解析(1)因?yàn)閦＝i(1＋i)＝－1＋i，故復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，1).答案

(1)D

(2)BA.E B.F C.G D.H(2)(2016·北京卷)設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝________.解析

(1)由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i，(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.答案

(1)D

(2)－1考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算(2)因?yàn)閕607＝(i2)303·i＝－i，－i的共軛復(fù)數(shù)為i.(3)由題意(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2