§5–1純彎曲§5–2純彎曲時的正應力§5–3橫力彎曲時的正應力§5–4彎曲切應力§5–5關于彎曲理論的基本假設§5–6提高彎曲強度的措施

第五章彎曲應力

(Stressesinbeams)deformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形，提出假設應變的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5–2純彎曲時的正應力

(Normalstressesinpurebeams)一、變形幾何關系（Deformation

geometric

relationship

）1、觀察實驗：

由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應變的變化規(guī)律。bdacabcdMM2、變形規(guī)律：⑴橫向線：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。⑵縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。（2）縱向纖維假設：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓，只受單向拉壓。（1）彎曲平面假設：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。3、假設：推論：必有一層變形前后長度不變的纖維——中性層（Neutralsurface）中性軸橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥

中性層凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長中間層與橫截面的交線

——中性軸

梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。dx圖（b）yzxo應變變化規(guī)律直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比圖（a）dx圖（c）yρzyxo’o’b’b’ybboo4、線應變的變化規(guī)律MyzOx?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑ρ所以Hooke’sLaw??直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比應力分布規(guī)律二、物理關系(Physicalrelationship)由縱向線應變的變化規(guī)律→正應力的分布規(guī)律。yzxOMdAzyσdA

橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系這一力系簡化，得到三個內(nèi)力分量中性層的曲率半徑ρ中性軸的位置待解決問題FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得(1)(2)(3)三、靜力關系(Staticrelationship）將應力表達式代入(1)式，得將應力表達式代入(2)式，得將應力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足——彎曲正應力計算公式梁的抗彎剛度TzEIyxMZyzAσ將上式代入式

得：——彎曲變形計算的基本公式M為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩討論(1)應用公式時,一般將M，y

以絕對值代入。根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力(

為正號)。凹入邊的應力為壓應力(為負號)。MyzOxMZyσmaxσmaxMyzOx應力分布圖Zy(2)最大正應力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的點處則公式改寫為引用記號——抗彎截面系數(shù)a)當中性軸為對稱軸時Mσmaxσmaxzyb）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M求得相應的最大正應力應分別以橫截面上受壓和受拉部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy空心矩形截面b0h0zy四、幾種常見截面的IZ

和W

當梁上有橫向力作用時，橫截面上既有彎矩又有剪力，梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。

橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應力又有切應力，切應力使橫截面發(fā)生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應力，純彎曲時所作的平面假設和縱向纖維假設都不成立。一、橫力彎曲(Nonuniformbending)§5-3橫力彎曲時的正應力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應力公式：二、正應力公式的推廣

雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，實驗和彈性力學理論的研究都表明：當跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。三、公式的應用范圍

1、在彈性范圍內(nèi)2、具有切應力的梁3、平面彎曲4、直梁BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K求：1.C截面上K點正應力2.C截面上最大正應力3.全梁上最大正應力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ例5-1簡支梁的載荷及截面尺寸如圖所示。FSx90kN90kN1.求支反力解：FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K2.畫內(nèi)力圖FSx90kN90kN（壓應力）3.C

截面上K點正應力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面最大正應力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.全梁最大正應力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN6.C截面曲率半徑ρFAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K例5-2

求圖示懸臂梁的最大拉、壓應力。已知：№10槽鋼解：1）畫彎矩圖2）查型鋼表3）求應力σcmaxσtmaxx0.5ql2四、梁的正應力強度條件梁內(nèi)的最大工作應力不超過材料的許用應力

若材料為塑性材料，即抗拉強度和抗壓強度相等則進行一步強度計算即可，即

若材料為脆性材料，其抗拉強度和抗壓強度不相等強度計算需要分開兩步進行，即a)當中性軸為對稱軸時yMσmaxσmaxzyM

若材料為脆性材料，其抗拉強度和抗壓強度不相等，強度計算需要分開兩步進行，即b）對于中性軸不是對稱軸的橫截面

若材料為塑性材料，即抗拉強度和抗壓強度相等則進行一步強度計算即可，即彎曲正應力強度條件(2)設計截面(3)確定許可載荷(1)強度校核五、梁的正應力強度條件的應用為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為解：1)求約束反力例5-3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[t]=30MPa，[c]=60MPa.其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz

=763cm4

，試校核此梁的強度。1m1m1mABCD2）畫彎矩圖3）求應力B截面—（上拉下壓）C截面—（下拉上壓）-+4kN2.5kNMxC截面—（下拉上壓）:1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kN4)強度校核A1A2A3A446.2MPa27.2MPa28.2MPaB截面—（上拉下壓）:最大拉、壓應力不在同一截面上17.04MPa（可不求）-+4kN2.5kNMx此梁滿足強度要求。結(jié)論對Z軸對稱截面的彎曲梁，只計算一個截面：對Z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算兩個截面：MMA1A2A3A446.2MPa27.2MPa28.2MPa17.04MPa-+4kN2.5kNMx例5-4

螺栓壓板夾緊裝置如圖所示。已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應力[σ]＝140MP。試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F。