55552019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)本試卷共5頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={xlx2-5x+6>0},B={xlx-1<0}，則AHB=A.(-8,1)B.(-2，1)C.(-3,-1)D.(3，+8)2.設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限uuur3.已知AB=(2,3)，uuuruuruuuuruuurAC=(3，t)，lBC1=1，則AB-BC=A.-3B.-2C.2D.34.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為M，地月距離為R，L2點到月球的距離為r,根122MMMr據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：(R+r)2+胃=(R+r)R?設(shè)d=R，由于Q的值很小，3a3+3a4+a5小因此在近似計算中?3a3，則r的近似值為B．M廠aR2MiM廠D.3MR15．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到小，3a3+3a4+a5小因此在近似計算中?3a3，則r的近似值為B．M廠aR2MiM廠D.3MR15．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分．7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù)B.平均數(shù)6.7.8.9.C.方差若a>b,則A.ln(ab)>0C.a3-b3>0設(shè)a,B為兩個平面，則a〃B的充要條件是A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行C.a,B平行于同一條直線D.B.D.B.D.極差3a<3b|a|>|b|a內(nèi)有兩條相交直線與B平行a，B垂直于同一平面X2y2若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓一+一=1的一個焦點，則p=3ppA.2B.3C.4D.8兀兀兀下列函數(shù)中，以一為周期且在區(qū)間(一，一)單調(diào)遞增的是242A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|1°?已知址(0,一)，一血一山如1,則sina=B.1B.A.-D.

x2y211.設(shè)F為雙曲線C：—-二=1(a>0,b>0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2二a2a2b2交于P,Q兩點?若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A.B.73C.2D.、'512.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)=2f(x)，且當xe(0,1］時，f(x)=x(x-1).若對任意8xe(-g，m］，都有f(x)>-9，則m的取值范圍是A.(7]B.-8A.(7]B.-8,3k3—8,—I4C.-8，C.-8，2D.-8,3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)二-eax.若f(ln2)=8,則a=.15.△15.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=n2c,B=3，則△ABC的面積為16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為(本題第一空2分，第二空3分．)三、解答題：共70三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。一)必考題：共60分。17．(12分)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE丄EC「證明：BE丄平面EB1C1；若AE=A1E，求二面角B-EC-C的正弦值.18．(12分)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.求P(X=2)；求事件“X=4且甲獲勝”的概率.19．(12分)已知數(shù)列｛a｝和｛b｝滿足a,=1，b,=0，4a二3a—b+4，4b二3b—a—4.11n+1nnn+1nn證明：｛an+bn｝是等比數(shù)列，｛an-bn｝是等差數(shù)列；求｛an｝和｛bn｝的通項公式.20．(12分)已知函數(shù)f(x)=Inx—丄主1.x—1(1)討論fx)的單調(diào)性，并證明fx)有且僅有兩個零點；(2)設(shè)x0是fx)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.21．（12分）已知點A(-2,0),B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-1.記M的軌跡為曲線C.2(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE丄x軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.證明：HPQG是直角三角形；求厶PQG面積的最大值.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)在極坐標系中，O為極點，點M(卩腫詁巴>0)在曲線C:P=4sin9上，直線l過點A(4,0)且與om垂直，垂足為P.兀當90=3時，求p0及i的極坐標方程；當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.23．［選修4—5：不等式選講］(10分)已矢口f(x)=1x-aIx+1x-21(x-a).(1)當a=1時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若xw(—2，1)時，f(x)<0，求a的取值范圍.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)?參考答案1.A2.C3.C4.D5.A6.C7.B8.D9.A10.B11.A12.B13.0.9814.-315.6J316.26；邁-117.解：（1）由已知得，BC丄平面ABBA，BEu平面ABBA,111111故BC丄BE.11又BE丄EC，所以BE丄平面EBC.111（2）由（1）知ZBEB二90°.由題設(shè)知Rt^ABE今RtAABE，所以ZAEB=45°,111故AE二AB,AA—2AB.1uuuruuru以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，1DA1為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,uuuruuuruuurCB—（1,0,0），CE—（1,—1,1）,則C（0，1，0），B（1，1，0），C（0，1，2），E（1，0，1）1uuuurCC1—（0,0,2）．設(shè)平面EBC的法向量為"=（x，y，x）,貝9uuurCB-n—0,Fx—0,<uuu即彳CE-n—0,〔x—y+z—°,22?22?所以可取"=(0,-1,一1).設(shè)平面ECC的法向量為加=(x,y,z)，則1uuuurCC-m=0,F2z二0,<uuu1即彳CE-m二0,[x—y+z-0-所以可取加=(1,1,0).十口n-m1于是C0S<5>=帛一2所以,面角所以,面角B-EC-C1的正弦值為解：(1)X=2就是10：10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5x0.4+(1—0.5)x(1—0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.解：(1)由題設(shè)得4(a+b)二2(a+b)，即a+b=[(a+b).n+1n+1nnn+1n+12nn又因為a1+b1=l，所以｛a+b｝是首項為1,公比為1的等比數(shù)列.11nn2由題設(shè)得4(a—b)-4(a—b)+8，即a—b-a—b+2.n+1n+1nnn+1n+1nn又因為a,-b,=l,所以｛a—b｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.11nn2)由(1)知，2)由(1)知，a+bnn12n—1a—b—2n—1.nn1111+n——2n2所以a—怎[(a+b)+(a—b)]n2nnnnb=][(a+b)—(a-b)]—-n2nnnn2n20.解：(1)f(x)的定義域為(0,1)U(1,+8).12因為廣(x)_x+口>0，所以E在(°，12因為廣(x)_x+口>0，所以E在(°，】)’1，+8)單調(diào)遞增.因為f(e)=1-斗<0,e一1e2+1e2—3f(e2)_2一_>0，所以f(x)在(1,+8)有唯一零點x.，e2一1e2一11即/(x1)=0.又0<—<1

1x1二一lnx+1X+1—1X一111二一/(x1)二0,故/'(x)在(0,1)有唯一零點一.1X綜上，f(x)有且僅有兩個零點.1(2)因為一二e-lnX0,故點B(-lnx0,x001)x0在曲線y=ex上.x+1由題設(shè)知f(x)二0，即lnx0=—00x一10—-lnx，故直線AB的斜率k_0-一lnx一x00\o"CurrentDocument"1x+1——xx一1—00x+1一一0一x\o"CurrentDocument"x一100111曲線y=ex在點B(-lnx0,—)處切線的斜率是一，曲線y_ln一在點A(x0，lnx0)處切線的斜率也是一,0xx00x000所以曲線y=lnx在點A(x°，lnX。)處的切線也是曲線y=ex的切線.yy1x2y221.解：(1)由題設(shè)得?_一入，化簡得〒+—■_1(|一圧2)，所以C為中心在坐標原點，焦x+2x一2242點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.(2)(i)設(shè)直線PQ的斜率為k則其方程為y=kx(k>0).y_kx2x2y2得一_i=.一+二_1Jl+2k2〔422記u_，則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).1+2k2于是直線QG的斜率為2，方程為y=2(X-u).y_2(x-u),12得x2y2—^―_1〔42(2+k2)x2一2uk2x+k2u2一8=0.①設(shè)GW,人），則一和Xg是方程①的解’故Xg=警彤，由此得yG2+設(shè)GW,人），則一和Xg是方程①的解’故Xg=警彤，由此得yG2+k2Guk32+k2從而直線PG的斜率為uk3―uk2+k2u(3k2+2)—u2+k2所以PQ丄尸6,即厶PQG是直角三角形.(ii)由(i)得IPQI二2^.1+k2,IPGI二2",也+1，所以△pqg的面積2+k2S=1|PQIIPGI=8k(1+k2)=8([+k).2(1+2k2)(2+k2)1+2(1+k)2k1設(shè)t=k+，則由k>0得t》，當且僅當k=1時取等號.k因為S=1+22在［2,+廠單調(diào)遞減,所以當t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為號.16因此，APQG面積的最大值為9.22.解：（1）因為M（p,0）在C上，當9時，p=4sin￡=2爲.ooo3o3兀由已知得IOPI=IOAIcos3=2.（兀、設(shè)Q（P,0）為l上除P的任意一點.在Rt^OPQ中，pcos0—-=IOPI二2,I3丿兀（c兀）經(jīng)檢驗，點P（2,廳）在曲線pcos0-廳—2上.3k3丿C兀I所以，l的極坐標方程為pcos0—=2.k3丿(2)設(shè)P(p,0)，在Rt